苏州市三校2023-2024学年高二上学期阶段检测（10月份）数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1．已知等差数列的前n项和为，，，则
A．55 B．60 C．65 D．75
2．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为
A． B． C．1 D．-1
3．已知数列的前4项为：l，，，，则数列的通项公式可能为
A． B． C． D．
4．已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A． B．
C． D．
5．点在曲线上，则的取值范围为
A． B． C． D．
6．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为
A． B． C． D．
7．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为
A． B． C．和 D．和
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9．已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是
A．直线l与圆相交
B．若点Q为圆上的动点，则的取值范围为
C．与直线l平行且截圆的弦长为2的直线为或
D．圆C上存在两个点到直线的距离为
10．以下四个命题表述正确的是
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
11．如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为,短轴为,长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为,再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是
A．当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆
B．
C．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
D．平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点到直线的距离为，则的最小值为
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最小值为，最大值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为 .
14．在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则 .
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，动点满足，若动点在圆：，则的取值范围为 .
16．已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）在公差为的等差数列中，已知，且.
(1)求；
(2)若，求.
18．（本小题满分12分）已知点，圆的半径为1.
(1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3．
(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
(2)若点N的坐标为，求过点N且被圆E截得的弦长与CD等长的直线的一般式方程．
20.（本小题满分12分）
已知双曲线的两条渐近线分别为，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)为坐标原点，过双曲线上一点作直线分别交直线，于，两点（，分别在第一、第四象限），且，求的面积.
21.（本小题满分12分）
已知点在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．苏州市三校2023-2024学年高二上学期阶段检测（10月份）
数学答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1. C 2. A 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 8. C
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9. BD 10. BC 11. BC 12. ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13. ，或 14. 15. 16.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（1）由，，
，解得或，当时，，
当时，；
（2）由， ，所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，
所以==.
18.（1）由题意得圆标准方程为，当切线的斜率存在时，设切线方程为，由，解得：，当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；所以切线的方程为或.
（2）由圆心在直线上，设，设点，由，
得：，化简得：，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上.又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，解得：或.
19.（1）由题意知，设圆心，半径为，
则，解得，∴等腰梯形ABCD的外接圆E的方程为：
（2）若过N的直线斜率不存在，则该直线为，
圆心到该直线距离为2，∴该直线被圆E截得的弦长为：，符合题意；
若过N的直线斜率存在，则设该直线为即，
圆心到该直线距离为，∵过点N且被圆E截得的弦长与CD等长，
∴解得，∴该直线为即.
综上所述，过点N且被圆E截得的弦长与CD等长的直线的一般式方程或.
20.（1）因为双曲线的渐近线分别为，，
所以，，所以双曲线的离心率为；
（2）由（1）得，则可设双曲线，
因为在双曲线上，所以，则双曲线的方程为，
又点，分别在与上，设，，
因为，所以，
则，，又，同理得，设的倾斜角为，且，则，
所以.
21.（1）由关系式，结合椭圆的定义，
点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
∴，，，∴点M的方程为.
（2）联立方程，则，
设，，则，，，直线l：与圆O相切，则，
，
∵，∴，解得，
.
当且仅当取等号.所以弦长的最大值为2.
22.（1）法一．由解得，∴双曲线E的标准方程为．
法二．左右焦点为，，
，∴双曲线E的标准方程为．
（2）直线CD不可能水平，故设CD的方程为，
联立消去x得，
，，，
AC的方程为，令，得，
BD的方程为，令，得，
，
解得或，即或（舍去）或（舍去），
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为，
联立，消去x得，
，AC的方程为，BD的方程为，
分别在AC和BD上，，两式相除消去n得，又，．
将代入上式，得
．
整理得，解得或（舍去）．
∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．
2023—2024学年第二学期高二年级阶段检测
数学解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
5.如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，，
表示点到直线距离的5倍，
点到直线的距离，即直线与圆相离，
点到直线的距离，
最小值为，最大值为，
则的取值范围为.
7.易知共线，共线，如图，设，，则，
由得，，又，所以，，所以，
所以，
由得，
因为，故解得，则，
在中，，即，所以．
8.圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，
设，其中且，直线的方程为，纵截距为，
直线的方程为，纵截距为，依题意有，整理得，所以在圆上，圆心为，半径为.
则圆与圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，当两圆外切或内切时：圆的圆心为，半径为，
则或，前者无解，后者解得.
当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，，将代入，得.综上所述，的值为或.
11.由截口曲线知，当时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A错.
对于B，过N作于点G，而，所以，而， 同理过N向作垂线，可得，
，B正确；对于C，D，设圆锥上部球与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆，半径为r，球与的切点为椭圆左焦点F，设①，，
，解得，而，
故，故C正确，D错误。
12.对于A，当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，
由得：，由整理可得：，，又，，即，，点轨迹为；将检验，满足，蒙日圆的方程为，A正确；对于B，为椭圆上的点，，
；的最小值为点到直线的距离，又，
，，B错误；对于C，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，
（当且仅当时取等号），此矩形面积最大值为，C正确；
对于D，设位于椭圆上半部分，即，，
在处的切线斜率，切线方程为：，
即，在处的切线方程为；同理可得：当位于椭圆下半部分，即时，切线方程为：；在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；设，则，可知坐标满足方程，即切点弦所在直线方程为：；当时，，此时所在直线方程为：，，；
当时，由得：，由A知：，，设，则，，
，
又原点到直线的距离，
，
令，，，则，
为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
，，
，，
综上所述：的面积的最小值为，最大值为，D正确.
16.设圆心为，半径为2，则四边形的面积，
所以，又在中，，所以，设，则，
所以当时，有最小值，此时有最小值
