2023-2024学年江苏省苏州市重点学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列哪个方程是一元二次方程( )
A. B. C. D.
2.函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知关于的方程的一个根为，则另一个根是( )
A. B. C. D.
4.把函数的图象向右平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
5.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法错误的是( )
A. B. 图象的对称轴为直线
C. 点的坐标为 D. 当时，随的增大而增大
7.抛物线的顶点在第三象限，则的范围是( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数为常数，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.方程的解为：______．
10.若点，点在二次函数的图象上，则，的大小关系为______．
11.如果一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图象的顶点，则 ______ ．
12.若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为______．
13.斜边长，另两边长，恰好是关于方程的两个根，则的周长是______ ．
14.二次函数，时的最大值是______ ．
15.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是______ ．
16.如图，垂直于轴的直线分别与抛物线：和抛物线：交于，两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点、，过点作轴分别与轴和抛物线交于点、，则的值为______．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17.先化简，再求值：其中是方程的根．
18.已知关于的一元二次方程．
求证：不论取何值，方程总有实数根；
若该方程的两根互为相反数，求的值．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
如图，已知二次函数图象的顶点为原点，直线与抛物线分别交于、两点，且．
求二次函数的表达式；
已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于点，求的面积．
21.本小题分
对于实数，，我们可以用表示，两数中较小的数，例如，类似地，若函数、都是的函数，则表示函数和的“取小函数”．
设，，则函数的图象应该是______ 中的实线部分．
函数的图象关于______ 对称．
22.本小题分
已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
23.本小题分
商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件设每件商品降价元据此规律，请回答：
商场日销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？
24.本小题分
如图，有一块矩形硬纸板，长，宽，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．
当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
所得长方体盒子的侧面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经、两点．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上，是否存在点，使它到点的距离与到点的距离之和最小，如果存在求出点的坐标，如果不存在请说明理由．
26.本小题分
如图注：与图完全相同所示，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
求抛物线的解析式．
设抛物线的顶点为，求四边形的面积．请在图中探索
设点在轴上，点在抛物线上．要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．请在图中探索
27.本小题分
如图，中，，，点从出发沿向运动，速度为每秒，点是点以为对称中心的对称点，点运动的同时，点从出发沿向运动，速度为每秒，当点到达顶点时，，同时停止运动，设，两点运动时间为秒．
当为何值时，？
设四边形的面积为，求关于的函数关系式；
四边形面积能否是面积的？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由；
当为何值时，为等腰三角形？直接写出结果
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：
整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】解：，
函数图象顶点坐标为，
故选：．
由函数解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根为，
根据题意得，解得，
即方程的另一个根是．
故选：．
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
4.【答案】
【解析】解：原抛物线的顶点为，
向右平移个单位后，得到的顶点为，
平移后图象的函数解析式为．
故选：．
易得原抛物线的顶点为，根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数的平移，不改变二次项的系数，改变顶点即可．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象，二次函数的性质，属于中档题．
根据二次函数的性质解决问题即可．
【解答】
解：二次函数图象开口向下，则，
由抛物线的解析式可知对称轴为直线，
，，关于对称，
，故A，，C正确，
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；故D错误，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，
解不等式，得，
解不等式，得；
所以，不等式组的解集为．
故选：．
利用公式法，的顶点坐标公式为，顶点在第三象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都小于列出不等式组．
本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．
8.【答案】
【解析】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
若，时，取得最大值，
可得：，
解得：或舍；
若，当时，取得最大值，
可得：，
解得：或舍．
综上，的值为或，
故选：．
由解析式可知该函数在时取得最小值、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：若，时，取得最大值；若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可．
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
9.【答案】，
【解析】解：移项得：，
即，
于是得：或．
则方程的解为：，．
故答案是：，．
本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．首先把方程移项，把方程的右边变成，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是，则这几个因式中至少有一个是，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
10.【答案】
【解析】解：，
二次函数图象的对称轴为直线，
当时，；
当时，；
，
，
故答案为
分别计算自变量为、时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
11.【答案】
【解析】解：由交点为，代入，得，
解得，
，
当时，，
一次函数与轴的交点为，
由可知，二次函数的顶点在轴上，即，
二次函数顶点为，
，
把代入二次函数表达式得，
解得．
故答案为：．
由交点为，代入，可求得，由可知，二次函数的顶点在轴上，即，则可求得顶点的坐标，从而可求值，最后可求的值．
此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为方程即可．
12.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
为整数，
的最大值为．
故答案为：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出最大的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，
，
则，
，
解得：或舍去，
由，
故的周长．
故答案为：．
直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，
当时，有最大值为．
又，
此时有最大值为．
故答案为：．
依据题意，由时，有最大值，结合，故可得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
15.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随的增大而增大，
，
故答案为：．
由函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
16.【答案】
【解析】解：设点、横坐标为，则点纵坐标为，点的纵坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点是抛物线上的点，
点横坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点是抛物线上的点，
点横坐标为，
，，，，
则，
故答案为：．
可以设、横坐标为，易求得点、、的坐标，即可求得、、、的长度，即可解题．
本题考查了抛物线上点的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求得点、、的坐标是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
是方程的根．
，
即，
原式．
【解析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得的值，再把的值整体代入化简后的式子，计算即可．
本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．
18.【答案】解：，
方程总有实数根；
由求根公式得，，
由题得：，
解得：．
【解析】表示出根的判别式，判断值大于等于，即可得证；
根据题意表示出两个之和，令其中为，求出的值即可．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，弄清根与系数的关系是解本题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
，．
【解析】先移项，再提取公因式即可；
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再利用公式法求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
20.【答案】解：由题意可知，，
设二次函数的表达式为，
把点的坐标代入得，，
解得，
二次函数的表达式为；
点在抛物线上，
，
点，
轴，交抛物线于点，
，
，
的面积．
【解析】设二次函数的表达式为，由题意可知，，利用待定系数法即可求得二次函数的表达式；
把点代入抛物线的解析式求得的值，由轴可知、关于轴对称，求得，即可求得，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，三角形面积，熟知待定系数法以及二次函数的对称性是解题的关键．
21.【答案】 直线
【解析】解：当时，；当时，；当时，；当时，；
函数的图象应该是
故选：；
令，则，
故函数的图象的对称轴为：直线．
故答案为：直线．
依据函数解析式，可得当时，；当时，；当时，；当时，；进而得到函数的图象；
令，则，进而得到函数的图象的对称轴．
本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
22.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
结合可知，
方程，
解得：，．
当时，有，解得：；
当时，有，解得：．
故的值为或．
【解析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的值；
结合找出的值，利用分解因式法求出方程的根，再将的值代入中即可求出的值．
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，根据根的判别式得出不等式或不等式组是解题的关键
23.【答案】
【解析】解：降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数，
故答案为：；；
由题意得：，
化简得：，即，
解得：舍去，，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价元，商场日盈利可达元．
降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利的等量关系是解决本题的关键．
24.【答案】解：设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为；
存在，理由如下：
盒子的侧面积为：
．
，
当时，有最大值，最大值为．
故所得长方体盒子的侧面积存在最大值，最大值为．
【解析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
利用盒子侧面积为：，进而利用配方法求出最值即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，想象出立体图形的形状进而表示出侧面积是解题关键．
25.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是；
存在．
设抛物线与轴的另一个交点是，由抛物线的对称性得与对称轴的交点就是．
点的坐标是，
设直线的解析式是，则，
解得，
直线的解析式是．
当时，，
点的坐标是．
【解析】利用待定系数法即可求得函数的解析式；
抛物线与轴的除外的另一个交点就是的对称点，则与对称轴的交点就是，首先求得的坐标，然后求得的解析式，进而求得的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式，以及对称的性质，确定的位置是关键．
26.【答案】解：把和代入抛物线的解析式得，
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
令，得，
，
令，得，
解得，，或，
，
，
，
；
设，
当为平行四边形的边时，有，，
点在点左边时，则，
把代入，得
，
；
点在点右边时，则，
把代入，得
，
；
当为平行四边形的对角线时，如图，与交于点，
则，
，
，
把代入，得
，
，
综上，满足条件的点坐标为：或或
【解析】用待定系数法解答便可；
求出抛物线与坐标轴的交点、坐标及抛物线顶点的坐标，再将四边形的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；
分两种情况：为平行四边形的边；为平行四边形的对角线．分别解答便可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，四边形的面积计算，平行四边形的性质，第题关键是把四边形分割成三角形进行解答，第题关键是分情况讨论．
27.【答案】解：中，，，，
．
，，
．
，
，
，
解得；
，
即关于的函数关系式为；
四边形面积能是面积的，理由如下：
由题意，得，
整理，得，
解得，不合题意舍去．
故四边形面积能是面积的，此时的值为；
为等腰三角形时，分三种情况讨论：
如果，那么，解得；
如果，那么，解得；
如果，那么，解得．
故当为秒秒秒时，为等腰三角形．
【解析】先在中，由勾股定理求出，再由，，得出，然后由，根据平行线分线段成比例定理得出，列出比例式，求解即可；
根据，即可得出关于的函数关系式；
根据四边形面积是面积的，列出方程，解方程即可；
为等腰三角形时，分三种情况讨论：；；，每一种情况都可以列出关于的方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理，平行线的判定，四边形的面积，等腰三角形的判定，中心对称的性质，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．
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