专题3.1 整式【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 代数式】
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
【题型1 代数式的表示及其含义】
【例1】小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回 元．
【答案】
【分析】根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决．
【详解】解：根据题意可得：用于买邮票的钱是：元，
则应找回元，
故答案为：．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式1-1】一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ．
【答案】宽
【分析】根据长方形的周长等于（长+宽）×2解答即可．
【详解】解：∵长方形的长为5，周长为2(5＋b)，
∴b表示长方形的宽，
故答案为：宽．
【点睛】本题考查长方形的周长、用字母表示数，熟记长方形的周长公式是解答的关键．
【变式1-2】是（ ）
A．负数 B．正数 C．0 D．正负无法确定
【答案】D
【分析】根据代数式的意义分析即可．
【详解】 可以表示负数，正数，0，
也可以表示负数，正数，0，
故选D
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解代数式的意义是解题的关键．
【变式1-3】一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为（ ）
A．abc B．a＋b＋c C．100a＋10b＋c D．100abc
【答案】C
【分析】三位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字，把相关数值代入即可．
【详解】∵一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
∴这个三位数可以表示为100a＋10b＋c，
故选：C．
【点睛】本题考查列代数式，掌握三位数的表示方法是解决本题的关键．
【题型2 用字母表示变化规律】
【例2】观察下列等式：
，
，
，
……
(1)写出第4个等式是：_______；
(2)猜想并写出第n个等式是：_______；（n为正整数）
(3)探究并计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；
（2）根据题目规律可发现，；
（3）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴第4个等式为．
故答案为：．
（2）解：，
，
，
……
第n个等式是：．
故答案为：．
（3）解：
．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．
【变式2-1】任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示．如：．．．．．．．设这四个连续的自然数分别为，则，其中“△”用含n的式子表示为 ．
【答案】
【分析】根据所给等式归纳总结得到第n个算式即可．
【详解】解：∵，
，
，
．．．
∴，
∴“△”用含n的式子表示为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，数字类规律探索，弄清题中的规律是解本题的关键．
【变式2-2】观察下列算式：
； ；
； ； ……
若字母n表示正整数，请把第n个等式用含n的式子表示出来： ．
【答案】
【分析】观察式子即可得出结论．
【详解】解：观察式子可发现，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型，观察式子得到规律是解题的关键．
【变式2-3】观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题干中给定的式子，写出第5个式子即可；
（2）根据给定的式子，写出第（为正整数）个等式即可；
（3）将转化为，利用前面等式的特点转化为，进行求解即可；
（4）将转化为，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：
（2）
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．
【知识点2 整式相关的概念】
单项式：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称为整式．
【题型3 整式相关的概念辨析】
【例3】观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
【答案】(1)，
(2)，
(3)4
(4)
(5)
【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）．
【详解】（1）解：单项式有，；
故答案为：，；
（2）多项式有，；
故答案为：，；
（3）整式有，，，共4个；
故答案为：4；
（4）的系数为；
故答案为：；
（5）次数最高的多项式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数．
【变式3-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．的次数是3 B．的系数为
C．是二次二项式 D．不是单项式
【答案】C
【分析】根据单项式和多项式的定义，单项式的次数、系数，多项式的次数，系数进行解答即可．
【详解】解：A．的次数是3，故A正确，不符合题意；
B．的系数为，故B正确，不符合题意；
C．是三次二项式，故C错误，符合题意；
D．是多项式，不是单项式，故D正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式和单项式的概念，解题的关键是熟练掌握多项式系数和次数，单项式的系数和次数．
【变式3-2】在代数式，，，，，0，，中有（ ）
A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式
C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式
【答案】A
【分析】根据单项式和多项式的定义逐一判断可得答案．
【详解】解：在所列代数式中，单项式有3a，xyz，0，π这4个，
多项式有x-y，，这3个，共7个整式，
故选A．
【点睛】本题考查了多项式与单项式，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，几个单项式的和是多项式．
【变式3-3】将多项式按字母降幂排列后，则从左边数第三项为 ．
【答案】
【分析】先把多项式按照字母b的指数由高到低排列，从而可得答案．
【详解】解：多项式按字母降幂排列后为：
，
∴从左边数第三项为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是多项式的降幂排列，熟记多项式的降幂排列的含义是解本题的关键．
【题型4 根据单项式的概念求字母参数的值】
【例4】已知（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，求a2-3ab+b2的值.
【答案】-5.
【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
【详解】∵（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴，
解得：，
则a2-3ab+b2=9-18+4=-5．
【点睛】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．
【变式4-1】若是关于，的五次单项式且系数为6，试求，的值．
【答案】
【分析】根据题意可得，进而求得的值．
【详解】解： 是关于，的五次单项式且系数为6，
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，单项式中，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，掌握单项式的系数与次数是解题的关键．
【变式4-2】若（m+2）2x3yn-2是关于x，y的六次单项式，则m≠ ，n= ．
【答案】 -2 5
【详解】试题解析：∵（m+2）2x3yn-2是关于x，y的六次单项式，
∴m+2≠0，3+n-2=6，
解得m≠-2，n=5．
故答案为：-2；5．
考点：单项式．
【变式4-3】已知单项式与的次数相同．
(1)求的值；
(2)求当，时单项式的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值；
（2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）∵，
∴，
则当，时，
原式．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键．
【题型5 根据多项式的概念求字母参数的值】
【例5】已知多项式是关于x的四次三项式，则 ．
【答案】8
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式的个数就是多项式的项数可得，，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则．
故答案为：8．
【点睛】本题考查多项式，解题关键是掌握多项式次数的确定方法．
【变式5-1】如果多项式是关于的三次多项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而求解即可．
【详解】解：依题意可得，，
解得，．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，掌握多项式次数的确定方法是解题关键．
【变式5-2】关于，的多项式是二次二项式，则常数 ．
【答案】0
【分析】根据题意可得，即可求解．
【详解】解：关于，的多项式是二次二项式，
，
解得：．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项；多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数是解题的关键．
【变式5-3】若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ．
【答案】2
【分析】根据多项式的次数和项数的定义，即可求解．
【详解】解：∵多项式是一个关于，的四次四项式，
∴且，
解得：，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键．
【题型6 根据多项式不存在某项求字母参数的值】
【例6】当 时，多项式不含项．
【答案】1
【分析】多项式的同类项合并已完成，不含项就是使为0，即可得出k值．
【详解】解：由题意可得：，即，
解得．
故答案为：1
【点睛】此题主要考查了多项式内容，关键是理解不含项的含义．即合并后的项的系数为0 ．
【变式6-1】若多项式中不含项，则k的值为 ．
【答案】5
【分析】根据不含某项即该项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：∵中不含项，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式项中的系数求值，熟知不含某项即该项的系数为0是解题的关键．
【变式6-2】如果整式是关于x的二次单项式，则（ ）．
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】根据多项式项数和次数的定义，即可求解．
【详解】解：∵整式是关于x的二次单项式，
∴，．
故选：D
【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
【变式6-3】如果多项式不含和项，则 ．
【答案】-3
【分析】根据题意得出和项的系数为0，即，，解方程求出a和b的值，代入即可求出的值．
【详解】∵不含和项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了多项式的知识点，解题的关键是多项式不含有的项的系数为零．
【题型7 单项式与多项式中的结论开放性问题】
【例7】写出一个单项式，要求：此单项式含有字母a、b，系数是负数，次数是3．我写的单项式为 ．
【答案】答案不唯一，如：﹣ab2
【分析】单项式的次数是字母部分的次数和,系数是数字部分,据此即可解题.
【详解】解：这个单项式可以是﹣ab2,答案不唯一.
【点睛】本题考查了单项式的定义,属于简单题,熟悉单项式的概念是解题关键.
【变式7-1】小马虎在抄写一个5次单项式时，误把字母、上的指数给漏掉了，原单项式可能是 （填一个即可）．
【答案】或或
【分析】根据单项式的次数是单项式中所有字母指数之和即得．
【详解】解：∵单项式的次数是5
∴、上的指数之和为
∴有三种情况：或或
故答案为：或或
【点睛】本题考查单项式的次数的定义，解题关键是理解单项式中所有字母指数之和是单项式的次数．
【变式7-2】请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是 ．
【答案】，答案不唯一
【分析】直接利用已知结合整式的定义：多项式和单项式的统称，进行求解即可．
【详解】解：由题意可得：（答案不唯一），当x＝-2时，．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了整式，正确理解整式的定义是解题关键．
【变式7-3】任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项可写出所求多项式，只要符合题意即可．
【详解】解：∵一个含有字母三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为，
此多项式是：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了列代数式，多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念．
【题型8 单项式与多项式综合运用】
【例8】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
【答案】1
【分析】根据多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式知2+m+1=6，求得m的值，根据单项式3x2ny5-m的次数与这个多项式的次数相同知2n+5-m=6，求得n的值，再代入计算可得．
【详解】解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判断，得出m、n的值，难度一般．
【变式8-1】已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值．
【答案】16
【分析】根据多项式是五次四项式，可得，，由单项式的次数为b，c是最小的正整数，得出，，代入即可得出答案．
【详解】∵多项式是五次四项式，
∴，．
∵单项式的次数为b，c是最小的正整数，
∴，，
∴．
∴的值为16．
【点睛】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义．
【变式8-2】已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y﹣x2﹣x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．
【答案】8
【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案．
【详解】解：∵单项式3x2yn的次数为5，多项式6＋x2y x2 x2ym＋3的次数为6，
∴2＋n＝5，2＋m＋3＝6，
解得：m＝1，n＝3，
∴（m＋n）xmyn＝4xy3，
系数是4，次数是1＋3＝4，
4＋4＝8，
即单项式（m＋n）xmyn的次数与系数的和是8．
【点睛】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
【变式8-3】已知多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的二次项系数相同，求的值．
【答案】6
【分析】根据多项式次数，单项式的次数列等式求出m，n，即可求解．
【详解】解：根据多项式是五次四项式，
有，解得，
根据单项式的次数与的二次项系数相同，
即有，解得，
则有：，
即值为6．
【点睛】本题主要考查多项式和单项式的次数，掌握多项式和单项式次数的求法是解题的关键．
【题型9 与整式有关的规律探究题】
【例9】一组按规律排列的式子：，，，，．第个式子是______（为正整数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察各式子可以得到分子满足，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，即为，按要求写出公式即可．
【详解】解：，，，，……的分子相差，故分子满足，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，即为，
∴第个式子是，
故选D．
【点睛】本题考查数字规律问题，通过观察得到规律是解题的关键．
【变式9-1】观察下列数：，，，，…，按此规律排列，第十个数为 ．
【答案】
【分析】先通过观察数字的变化规律得出第个数是，再把等于代入即可．
【详解】解：由，，，，…可得：
第个数是： ，
则第十个数为 ．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数字的变化问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，在找规律时首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的解题的关键是把数据的分母用表示出来．
【变式9-2】一组按规律排列的两项式：，，，，，则第个两项式为 ．
【答案】
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项的指数依次为：，，，，，
第二项的指数依次为：，，，，，（，，，，，）且系数都是，
∴第个式子是：，
当时，这个二项式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解题的关键．
【变式9-3】观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ．
【答案】
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，，
第二项依次是，，，
则可以得到第2023个多项式是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
【题型10 列整式解决实际问题】
【例10】甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的折出售．某班需购买乒乓球拍4副和x盒乒乓球．
(1)当时，分别求在这两家商店购买所需支付的费用．（用含x的代数式表示）
(2)当时，分别计算在这两家商店购买所需支付的费用，如果这两种方案可以同时使用，请帮助该班设计一种最省钱的购买方案，并计算此方案所需支付的费用．
【答案】(1)甲商店费用为：元，乙商店费用为：元；
(2)甲店费用220元，乙店费用221元；先在甲商店购买4副乒乓球拍，再在乙商店购买盒乒乓球，所需支付的费用为元．
【分析】（1）根据优惠方案结合金额单价数量列式即可得到答案；
（2）将代入（1）中代数式求解，即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
甲商店费用：元，
乙商店费用：元，
∴甲商店费用为：元，乙商店费用为：元；
（2）解：当时，
甲商店：（元），
乙商店：（元），
如果两种方案能同时使用，可先在甲商店购买4副乒乓球拍，再在乙商店购买盒乒乓球，此时最省钱，
所需支付的费用为：（元）．
【点睛】本题考查列代数式及求值，解题的关键是从题干中找到数量关系，列出代数式．
【变式10-1】某公园的门票价格是：成人票每张元，学生票每张元，一个旅游团有成人人，学生人．
（1）该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有个成人和个学生，那么他们应付多少门票费？
【答案】元；（2）375元
【分析】（1）根据旅游团应付的门票费=成人的单人票价×成人人数＋学生的单人票价×学生人数即可得出结论；
（2）将代入（1）中代数式即可得出结论．
【详解】解：（1）根据题意可知：该旅游团应付门票费为元
答：该旅游团应付元．
（2）当时，
答：他们应付375元门票费．
【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和求代数式的值，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
【变式10-2】今年十月份，为方便民众出行，连江县成立了出租车公司，收费标准是：起步价5元，可乘坐3千米；3千米之后每千米加收1.8元.若某人乘坐了x千米，
（1）用代数式表示他应支付的费用；
（2）若他乘坐了13千米，应支付多少元？
【答案】（1）①当0﹤x≦3时：5，②当x﹥3时：5+1.8（x-3）（2）23
【分析】（1）根据题意分两种情况①当0＜x3与②当x＞3写出代数式即可；（2）把x=13代入即可求出.
【详解】（1） ①当0＜x≦3时：支付的费用为5，
②当x＞3时：支付的费用为5+1.8（x-3）
（2）当x=13时，费用为5+1.8×（13-3）
=5 +1.8×10
=5+18
=23
【变式10-3】某超市新进了一批百香果，进价为每斤8元，为了合理定价，在前五天试行机动价格，售出时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录的前五天百香果的销售单价和销售数量如下表所示，
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
销售单价（元）
销售数量（斤）
(1)前5天售卖中，单价最高的是第___________天；单价最高的一天比单价最低的一天多___________元；
(2)求前5天售出百香果的总利润；
(3)该超市为了促销这种百香果，决定推出一种优惠方案：购买不超过6斤百香果，每斤元，超出6斤的部分，每斤元．若嘉嘉在该超市买斤百香果，用含x的式子表示嘉嘉的付款金额．
【答案】(1)3，5
(2)前5天售出百香果的总利润为元
(3)付款金额为元
【分析】（1）根据得前5天售卖中，单价最高的是第3天；根据得价最高的一天比单价最低的一天多5元；
（2）以10元为标准每斤百香果所获的利润为2元，则前5天售出百香果的总利润为，进行计算即可得；
（3）根据题意得，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴前5天售卖中，单价最高的是第3天；
∵
∴价最高的一天比单价最低的一天多5元，
故答案为：3，5；
（2）解：以10元为标准每斤百香果所获的利润为（元），
前5天售出百香果的总利润为：
=
= （元），
答：前5天售出百香果的总利润为元；
（3）解：根据题意得，元，
即嘉嘉在该超市买斤百香果，付款金额为元．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，有理数的混合运算，列代数式，解题意的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
专题3.1 整式【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 代数式】
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
【题型1 代数式的表示及其含义】
【例1】小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回 元．
【变式1-1】一个长为5cm的长方形的周长为2(5＋b)cm，则字母b表示的是 ．
【变式1-2】是（ ）
A．负数 B．正数 C．0 D．正负无法确定
【变式1-3】一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为（ ）
A．abc B．a＋b＋c C．100a＋10b＋c D．100abc
【题型2 用字母表示变化规律】
【例2】观察下列等式：
，
，
，
……
(1)写出第4个等式是：_______；
(2)猜想并写出第n个等式是：_______；（n为正整数）
(3)探究并计算：．
【变式2-1】任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示．如：．．．．．．．设这四个连续的自然数分别为，则，其中“△”用含n的式子表示为 ．
【变式2-2】观察下列算式：
； ；
； ； ……
若字母n表示正整数，请把第n个等式用含n的式子表示出来： ．
【变式2-3】观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______
(2)写出第（为正整数）个等式：______（用含的等式表示）
(3)利用你发现的规律的值；
(4)计算的值．
【知识点2 整式相关的概念】
单项式：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称为整式．
【题型3 整式相关的概念辨析】
【例3】观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
【变式3-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．的次数是3 B．的系数为
C．是二次二项式 D．不是单项式
【变式3-2】在代数式，，，，，0，，中有（ ）
A．3个多项式，4个单项式 B．2个多项式，5个单项式
C．8个整式 D．3个多项式，5个单项式
【变式3-3】将多项式按字母降幂排列后，则从左边数第三项为 ．
【题型4 根据单项式的概念求字母参数的值】
【例4】已知（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，求a2-3ab+b2的值.
【变式4-1】若是关于，的五次单项式且系数为6，试求，的值．
【变式4-2】若（m+2）2x3yn-2是关于x，y的六次单项式，则m≠ ，n= ．
【变式4-3】已知单项式与的次数相同．
(1)求的值；
(2)求当，时单项式的值．
【题型5 根据多项式的概念求字母参数的值】
【例5】已知多项式是关于x的四次三项式，则 ．
【变式5-1】如果多项式是关于的三次多项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-2】关于，的多项式是二次二项式，则常数 ．
【变式5-3】若多项式是一个关于，的四次四项式，则的值为 ．
【题型6 根据多项式不存在某项求字母参数的值】
【例6】当 时，多项式不含项．
【变式6-1】若多项式中不含项，则k的值为 ．
【变式6-2】如果整式是关于x的二次单项式，则（ ）．
A．， B．， C．， D．，
【变式6-3】如果多项式不含和项，则 ．
【题型7 单项式与多项式中的结论开放性问题】
【例7】写出一个单项式，要求：此单项式含有字母a、b，系数是负数，次数是3．我写的单项式为 ．
【变式7-1】小马虎在抄写一个5次单项式时，误把字母、上的指数给漏掉了，原单项式可能是 （填一个即可）．
【变式7-2】请你写出一个只含x的整式，满足当x=﹣2时，它的值等于3．你写的整式是 ．
【变式7-3】任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为 ．
【题型8 单项式与多项式综合运用】
【例8】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
【变式8-1】已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值．
【变式8-2】已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y﹣x2﹣x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．
【变式8-3】已知多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的二次项系数相同，求的值．
【题型9 与整式有关的规律探究题】
【例9】一组按规律排列的式子：，，，，．第个式子是______（为正整数）（ ）
B．
C． D．
【变式9-1】观察下列数：，，，，…，按此规律排列，第十个数为 ．
【变式9-2】一组按规律排列的两项式：，，，，，则第个两项式为 ．
【变式9-3】观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ．
【题型10 列整式解决实际问题】
【例10】甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的折出售．某班需购买乒乓球拍4副和x盒乒乓球．
(1)当时，分别求在这两家商店购买所需支付的费用．（用含x的代数式表示）
(2)当时，分别计算在这两家商店购买所需支付的费用，如果这两种方案可以同时使用，请帮助该班设计一种最省钱的购买方案，并计算此方案所需支付的费用．
【变式10-1】某公园的门票价格是：成人票每张元，学生票每张元，一个旅游团有成人人，学生人．
（1）该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有个成人和个学生，那么他们应付多少门票费？
【变式10-2】今年十月份，为方便民众出行，连江县成立了出租车公司，收费标准是：起步价5元，可乘坐3千米；3千米之后每千米加收1.8元.若某人乘坐了x千米，
（1）用代数式表示他应支付的费用；
（2）若他乘坐了13千米，应支付多少元？
【变式10-3】某超市新进了一批百香果，进价为每斤8元，为了合理定价，在前五天试行机动价格，售出时每斤以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录的前五天百香果的销售单价和销售数量如下表所示，
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
销售单价（元）
销售数量（斤）
(1)前5天售卖中，单价最高的是第___________天；单价最高的一天比单价最低的一天多___________元；
(2)求前5天售出百香果的总利润；
(3)该超市为了促销这种百香果，决定推出一种优惠方案：购买不超过6斤百香果，每斤元，超出6斤的部分，每斤元．若嘉嘉在该超市买斤百香果，用含x的式子表示嘉嘉的付款金额．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
