2023-2024学年华东师大新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1
C．x2++5＝0 D．x2+5x﹣6＝x2
2．下列二次根式中，不能和其他二次根式进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．既＝，那么下列各式中不成立的是（ ）
A．2x＝3y B．3x＝2y C．＝ D．＝
4．下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B． +＝ C．＝3 D．÷＝2
5．用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝12 B．（x+3）2＝12 C．（x﹣3）2＝6 D．（x﹣6）2＝39
6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（ ）
A．x+2（1+x）＝144 B．1+x（x+1）＝144
C．1+x+x（x+1）＝144 D．x（x+1）＝144
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．如果|x﹣a|＝a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么﹣＝ ．
10．若+＝0，则的值为 ．
11．若关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，则a+m﹣3的值为 ．
12．已知x（x﹣3）＝4，则代数式2x2﹣6x﹣5的值为 ．
13．如图，在△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，已知S△ABC＝m，那么S△AED＝ ．
14．如图，⊙O的半径为1，点A为⊙O外一定点，OA＝，点C在⊙O上运动，且△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则线段OB的最大值是 ．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．计算：．
16．用公式法解下列方程．
（1）8x2﹣4x+1＝0；
（2）（y﹣2）（3y﹣5）＝1；
（3）4t2+4t＝﹣2．
17．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C，D都在格点上．
（1）在图1中画一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似
（2）在图2中画一个格点△BDF，使∠BFD＝∠BAC，且△BDF与△ABC不相似．
18．已知k为实数，关于x的方程为x2+（k+2）x+2k＝1．
（1）判断方程有无实数根．
（2）当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根．
19．根据图象所示化简：
a，b为实数，试化简：|a﹣b|﹣．
20．如图，在△ABC中，，D，M，N分别在直线AB，直线AC，直线BC上．
（1）若D是AB中点，∠MDN＝∠A+∠B，求；
（2）若点D，M，N分别在AB，CA，CB的延长线上，且，∠MDN＝∠ACB，求．
21．小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且AB⊥EB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，DE⊥EB，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2米．已知标杆DE＝2.2米，求该塔的高度AB．
22．已知，如图，直线l1，l2，l3是三条等距的平行线，将一块含30°角的直角三角板如图放置，使直角顶点C落在l2上，另两个顶点A与B刚好分落在l1与l3上，AB与l2交于点D
（1）求证：AD＝BD；
（2）若BD＝2，求直线l1，l2，l3之间的距离．
23．某商店经销的某种商品，每件成本为30元．经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件．假设在一定范围内，售价每降低1元，销售量平均增加2件．如果用x表示商品售价．
（1）当售价为每件50元，销量为 件；
（2）用含x的代数式表示商品的销量为 件；
（3）如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
24．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）．
（1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 ；
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：A．ax2+3x+1＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．2（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项不合题意；
D．x2+5x﹣6＝x2，整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
2．解：A、＝2，
B、＝3，
C、＝3，
D、＝4，
则B中不能和其他二次根式进行合并，
故选：B．
3．解：A．由＝，得2x＝3y，那么A正确，故A不符合题意．
B．由＝，得2x＝3y，那么B不正确，故B符合题意．
C．由，得＝，那么C正确，故C不符合题意．
D．由＝，得，那么D正确，故D不符合题意．
故选：B．
4．解：A、×＝，故本选项正确；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
C、＝2，故本选项错误；
D、÷＝，故本选项错误；
故选：A．
5．解：∵x2﹣6x﹣3＝0，
∴x2﹣6x＝3，
则x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12，
故选：A．
6．解：∵DE∥AB，
∴，
故选：D．
7．解：根据题意知：DF∥AB，BC∥DE，
∴，，，
∴A，C，D中的结论正确，B中结论错误，
故选：B．
8．解：设平均一个人传染给了x人，
依题意，得：1+x+x（x+1）＝144，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．解：∵|x﹣a|＝a﹣|x|，
∴|x|＝x，且x≤a，而x≠0，x≠a，
∴a﹣x＞0，a+x＞0，
∴﹣
＝﹣
＝|a﹣x|﹣|a+x|
＝a﹣x﹣（a+x）
＝a﹣x﹣a﹣x
＝﹣2x．
故答案为：﹣2x．
10．解：∵ +＝0，
∴，
解得：，
∴＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4a（a﹣4+m）＝0，
∵a≠0，
∴a﹣4+m＝0，
∴a+m＝4，
∴a+m﹣3＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
12．解：∵x（x﹣3）＝4，
∴x2﹣3x＝4，
∴原式＝2（x2﹣3x）﹣5＝2×4﹣5＝3，
故答案为：3．
13．解：∵CE：EB＝1：2，设CE＝k，则EB＝2k，
∵DE∥AC，
∴BE：BC＝2k：3k＝2：3，
∴＝（）2，
∴S△BDE＝m，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
则S△ADE＝S△BDE＝m．
故答案为m．
14．解：过A作AD⊥OA，且AD＝OA，连接OD、OC、BD，如图：
∵AD⊥OA，AD＝OA，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴OD＝OA＝，
∵AD⊥OA，∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝90°﹣∠CAD＝∠BAD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB，
在△OAC和△DAB中，
，
∴△OAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝OC＝1，
在△OBD中，OD+BD＞OB，
∴OB＜+1，
当O、B、D不能构成三角形，即O、B、D共线时，OB最大，如图：
此时OB＝OD+BD＝+1，
故答案为： +1．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．解：原式＝+4﹣6
＝﹣．
16．解：（1）这里a＝8，b＝﹣4，c＝1，
∵△＝32﹣32＝0，
∴x＝＝，
解得：x1＝x2＝；
（2）方程整理得：3y2﹣11y+9＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝9，
∵△＝121﹣108＝13，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（3）方程整理得：2t2+2t+1＝0，
这里a＝2，b＝2，c＝1，
∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，
∴此方程无解．
17．解：（1）如图，△CDE即为所求作．
（2）如图，△BDF即为所求作．
18．解：（1）原方程化为：x2+（k+2）x+2k﹣1＝0，
Δ＝（k+2）2﹣4（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4≥4，
∴该方程不管k取任何值，都有两个不相等的实数根；
（2）当k＝2时，此时Δ＝4，
该方程为：x2+4x+3＝0，
此时方程的两根为：x＝﹣1或x＝﹣3；
当k＝时，此时Δ＝，
∴该方程为：x2+x＝0，
此时方程的两根为：0，﹣．
19．解：∵从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴|a﹣b|﹣
＝|a﹣b|﹣|a|
＝b﹣a+a
＝b．
20．解：（1）连接CD，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，如图，
∵D是AB中点，
∴S△ACD＝S△BCD．
∴AC DE＝BC DF，
∴AC DE＝BC DF．
∴．
∵∠MDN＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠MDN＝180°﹣∠C．
∵四边形DECF的内角和为360°，∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣90°×2﹣∠C＝180°﹣∠C，
∴∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵∠DEM＝∠DFN＝90°，
∴△DEM∽△DFN，
∴．
（2）连接CD，过点D作DG⊥AC交AC的延长线于点G，DF⊥NC于点H，MD与NC交于点K，如图，
∵同高的三角形的面积比等于它们底的比，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴设BC＝2k，则AC＝3k，
∴，
∴．
∵∠MDN＝∠ACB，∠MKC＝∠DKN，
∴∠M＝∠N．
∵∠MGD＝∠DHN＝90°，
∴△MDG∽△NDH，
∴．
21．解：∵AB⊥EB，DE⊥EB，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
又∵∠DCE＝∠ACB，
∴△ABC∽△DEC，
∴，即，
解得：AB＝44（米）．
答：该塔的高度AB为44米．
22．解：（1）过点C作l2的垂线分别交l1与l3于点E、F，如图，
∵l1∥l2∥l3，且EC＝CF，
∴，
∴AD＝BD；
（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝BD＝BC，
即：△BCD是等边三角形，
∴CF＝BC sin60°＝＝．
即：l1，l2，l3之间的距离为．
23．解：（1）20+2×（70﹣50）
＝20+2×20
＝20+40
＝60（件）．
故答案为：60．
（2）若商品的售价为x元，则每件降价（70﹣x）元，
∴该商品的销售量＝20+2（70﹣x）＝（160﹣2x）（件）．
故答案为：（160﹣2x）．
（3）依题意得：（x﹣30）（160﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60．
答：这种商品每件售价是50元或60元．
24．解：（1）在坐标系中找到P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）三点，如图，
根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点．
故答案为：P3；
（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，
∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
∵OQ＜PO，
∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外．
∵PO＜PQ，
∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧．
∵PO≤2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．
又∵点P在直线y＝x上，
∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）．
由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形
∴BC＝AD＝
∴﹣≤xp＜﹣．
（3）如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”；
过点O作OE⊥MN，
则OE＝2，ME＝1，
∴OM＝，
则b＝ON＝2；
点N继续当下运动，如图②，当点N与点（0，1）重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；
此时b＝1；
如图③，当点N与（0，﹣1），重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”；
此时b＝﹣1；
如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”；
此时G（，﹣），
∴2×+b＝，
∴b＝﹣﹣1．
综上所示，b的取值范围为：1＜b≤或＜b＜﹣1．
