沙市区高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试卷
考试时间：2023年10月19日
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“是无理数”的否定是（ ）
A．不是无理数 B．不是无理数
C．不是无理数 D．不是无理数
3．下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
7．设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域可以是空集
B．函数图像与y轴最多有一个交点
C．函数的单调递增区间是
D．若，则定义域、值域分别是，
11．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
12．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的定义域为R，值域为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
三、填空题
13．已知，则的解析式为 .
14．函数的单调递增区间为 .
15．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为
16．已知，，若任给 ，存在，使得，则实数a的取值范围
四、解答题
17．设集合
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知，.
(1)求的最小值；
(2)求的最大值.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间的最小值；
(3)解关于的不等式：．
21．2020年初，新型冠状病毒（2019-nCOV）肆虐，全民开启防疫防制．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高．预防性消毒是有效阻断新冠病毒的方法之一，针对目前严峻复杂的疫情，某小区每天都会对小区的公共区域进行预防性消毒作业．据测算，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x单位：天）变化的函数关系式，近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到消毒作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4天中能够持续有效消毒，试求a的最小值．
22．若函数同时满足：
①函数在整个定义域是单调函数；
②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件.
高一10月月考数学答案
1．C
【详解】由题意知，.
故选：C.
2．D
【详解】命题“是无理数”的否定是不是无理数.
故选：D.
3．C
【详解】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，所以最多可购买这种产品件，
故选：C.
4．C
【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
5．D
【详解】根据，根据分母不为0，则，
，
根据得，
则，则，排除A、B项；
而，其图像关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.
故选：D
6．B
【详解】设，定义域为，
则，
故为奇函数，
又，则，
所以.
故选：B
7．D
【详解】函数，由对勾函数的性质可知，
由于在上单调递减，在上单调递增，
且注意到，，，
所以所求a的取值范围是．
故选：D
8．B
【详解】对，满足，
等价于函数在上单调递增，
又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.
则可化为，
解得.
故选：B.
9．BC
【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故选项A错误；
对于B，因为，所以，所以，又，所以，故选项B正确；
对于C，因为，所以，所以，又，所以，
故选项C正确；
对于D，当，时，，，则，不满足，故选项D错误.
故选：BC.
10．BD
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；
对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；
对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；
对于D，若，则定义域满足，解得，
即函数定义域为，又，，
所以，即函数的值域为，D正确；
故选：BD．
11．BD
【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，，，
所以BD正确，C错误；
若，则，A错误.
故选：BD
12．ABC
【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；
函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；
由图象知函数是偶函数，C正确；
由图象知D不正确．
故选：ABC．
13．
【详解】，令，则，
所以，
所以.
故答案为：.
14．[0,1]
【详解】定义域为[0,2],由复合函数单调性判断，单调区间为[0,1].
15.
【详解】，不妨设，故，即，
令，则，故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，综上：
16．当时，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为，在上的值域为，
所以在上的值域为，
当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：
当时，为减函数，在上的值域为，所以，解得：
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上：的取值范围是.
17．1．(1)
(2)
【详解】（1）由是的充分条件，则，则
（2）因为，所以，
当时，，满足题意；
当时，，解得；
综上：
18．(1)4
(2)
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
（2）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
19．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
20．(1)为奇函数，证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
令得，解得，
令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，
（2）任取，且，则.因为当时，，所以.
，即，所以在上单调递增，
所以在区间的最小值为，
因为，令得，
令，得，
在区间的最小值为，
（3）由，
得，
由得，
由在上单调递增得整理得，即，
当时，，解得；当时，，
当时，，，解集为，
当时，，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为．
21．(1)8 (2)
【详解】（1）依题意，
因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以浓度，
当时，由，解得，所以此时；
当时，由，解得，所以此时；
综上得，所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则消毒时间可达8天.
（2）设从第一次喷洒起，经天，
可得浓度，
令，则有，
又因为，所以，
所以当即时，，
令，解得，所以；
当即时，，
令，解得，所以；
综上可得：.
所以a的最小值为：.
22．（1）不是，理由见解析；（2）；（3）且.
【详解】（1）函数为上的增函数，
若函数为“闭函数”，则存在、，使得函数在上的值域为，
则，则关于的方程至少有两个不等的实根，
因为，故方程无实根，
因此，函数不是“闭函数”；
（2）因为函数为上的增函数，
若函数为上的“闭函数”，
则存在、，使得函数在上的值域为，
则，所以，关于的方程在上有两个不等的实根，
令，设，则函数在有两个零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）因为.
当时，函数在上单调递增，则；
当时，.
综上所述，.
所以，函数在上为减函数，在上也为减函数.
①当时，则，
上述两式作差得，因为，故，
因为，则，矛盾；
②当时，则有，消去可得，解得，不合乎题意；
③当时，则，可得.
因此，、满足的条件为且 .
