2023-2024学年浙江省杭州重点中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知的半径是，则中最长的弦长是( )
A. B. C. D.
3.如图，菱形中，，分别是，的中点，若菱形的周长为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.某班共有名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试，因此计算其他名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为个，方差为后来小亮进行了补测，成绩为个，关于该班名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是( )
A. 平均个数不变，方差不变 B. 平均个数变小，方差不变
C. 平均个数变大，方差变大 D. 平均个数不变，方差变小
5.已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是( )
A. 图象的开口向下 B. 与轴有个交点
C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴是直线
6.若点，，，都在反比例函数为常数，的图象上，其中，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. D. 且
9.当时，二次函数的最小值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.已知二次函数，当时，的取值范围是下列结论：
对称轴是直线；
；
二次函数的图象经过点，，若，则；
有最大值．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.如图，在中的半径，圆心到弦的距离为，则弦的长度为______ ．
12.若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较大角的度数是______ ．
13.如图，已经二次函数的图象如图所示，直线轴，则当时的取值范围 ．
14.已知关于的二次函数，无论取何值，函数图象恒过定点，则点的坐标为______ ．
15.如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点且交线段于点，连结、，若，则的值为______ ．
16.如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，且四边形是菱形．
若点在边上时，则菱形的边长为______ ；
连接，则的长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：；
解方程：．
18.本小题分
张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
平均数 中位数 方差
张明
李亮
求张明成绩的平均数和李亮成绩的中位数；
现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
19.本小题分
如图，在 中，对角线，相交于点，于点，于点，．
求证： 是矩形．
若，，求的长．
20.本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数图象交于、两点，且点的横坐标，求：
反比例函数的解析式．
的面积．
直接写出满足时的取值范围．
21.本小题分
某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶元，当销售单价定为每瓶元时，每天可售出瓶．市场调查反应：销售单价每上涨元，则每天少售出瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元，每天的销售量利润为元．
写出每天的销售量，每瓶洗手液的利润；用含的代数式表示
若这款洗手液的日销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？
当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润最大，最大利为多少元？
22.本小题分
二次函数为常数，的图象经过点．
若该函数图象经过点，
求函数的表达式．
若点是抛物线上不同的两个点，且，求的值．
求的最小值．
23.本小题分
如图，在正方形中，点在对角线上，连接，，延长交于点，交的延长线于点．
求证：．
若，且，求正方形的边长．
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围是．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】
【解析】解：圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故选：．
利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
3.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
菱形的周长为，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据菱形的性质，周长可得，根据，分别是，的中点，可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解．
本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是个，
该班人的测试成绩的平均个数均为个，
新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加，
新数据方差变小，
故选：．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：，
，
图象的开口向下，故A正确，不合题意；
令，则，
，
抛物线与轴有两个交点，故B正确，不合题意；
对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故C错误，符合题意；D正确，不合题意；
故选：．
将表达式化为顶点式，再分别判断开口方向，根的判别式，对称轴以及增减性即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，将二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程根的判断是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
点在第二象限，点、在第一象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
，，
．
故选：．
先判断出点、在第四象限，点在第二象限，再根据反比例函数的增减性判断．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
7.【答案】
【解析】解：在中，，分别是，的中点，
是的中位线，
．
，是的中点，
，
．
故选：．
利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
8.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，
，
又，
，
且．
故选：．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：当时，有，
解得：，．
当时，函数有最小值，
或，
或，
故选：．
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当时，的取值范围是．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，故正确，错误；
对称轴为直线，
点的对称点为，
二次函数的图象经过点，，且，
或；故错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
函数的最大值为，
，
，
有最大值，故正确．
故选：．
由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，即可判断；根据二次函数的性质即可判断；由抛物线的顶点坐标以及与的关系即可判断．
本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度，对于程度一般的学生可能没有思路，无从下手．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，由题意可知，，，，
，是弦，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确计算的关键．
12.【答案】
【解析】解：设，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
根据平行四边形性质得出，推出，设，，代入求出即可．
本题主要考查对平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线，直线与抛物线交于点，
直线与抛物线的另一个交点坐标为．
当时，，
故答案为：．
先根据抛物线的对称性求出直线与抛物线的另一个交点坐标为，再根据图象法求解即可．
本题主要考查了抛物线的对称性，图象法求不等式的解集，正确求出直线与抛物线的另一个交点坐标是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
当，即时，函数图象恒过定点，
此时，
定点的坐标为．
故答案为：．
把二次函数化简，再把含有的项提公因式，然后令的系数为求得横坐标，最后求出对应的纵坐标即可得到定点的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可．
15.【答案】
【解析】解：根据题意设，则，
点为斜边的中点，
，
反比例函数的图象过点，
，
，
的横坐标为，
反比例函数的图象过点，
的纵坐标为，
作轴于，
，
，，
，即，
，
，
故答案为：．
根据题意设，则，根据点为斜边的中点，得到，得到的纵坐标为，作轴于，根据三角形列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，根据，得到关于的方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：当点在边上时，如图，
设菱形的边长为，则，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得：；
故答案为：．
连接，如图，
四边形为菱形，
为的平分线，
点始终为平分线上的点，
根据“垂线段最短”得：当时，为最小．
在中，，，，
，，
平分，
，
当时，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
当点在边上时，设菱形的边长为，则，，然后在中得，进而得，据此解出即可；
连接，根据菱形的性质得，为的平分线，再根据“垂线段最短”得当时，为最小，然后在中，由，可求出的值．
此题主要考查了图形的翻折变换，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，含角的直角三角形的性质，理解垂线段最短是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式；
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【解析】化简二次根式，然后合并二次根式即可；
方程利用配方法求出解即可．
此题考查了二次根式的加减，以及解一元二次方程配方法，熟练掌握二次根式运算法则以及解一元二次方程的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：张明成绩的平均数为：秒，
把李亮次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是，故中位数是；
选择张明．理由如下：
李亮成绩的方差为：，
因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
【解析】利用平均数、中位数的定义求解；
根据方差的意义进行判断．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和中位数、统计图．
19.【答案】证明：于点，于点，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形；
解：，
，
，
，
．
【解析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，于是得到结论；
根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
20.【答案】解：把分别代入得，
，
把代入得，
解得，
反比例函数的解析式为；
设与轴交点为
，
解得或，
，
；
时的取值范围是或．
【解析】把代入可确定点坐标为，然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式；
解析式联立，解方程组求得的坐标，然后确定点坐标，再利用的面积进行计算即可．
根据图象求得即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
21.【答案】解：设这款洗手液的销售单价上涨元，根据题意，每天的销售量为瓶；
每瓶洗手液的利润为元；
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：销售单价应上涨元或元；
由题意得：，
，
当时，最大，最大值为．
答：当销售单价上涨元时，这款洗手液每天的销售利润最大，最大利为元．
【解析】设这款洗手液的销售单价上涨元，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元；
利用这款洗手液的日销售利润每瓶洗手液的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
利用这款洗手液的日销售利润每瓶洗手液的利润每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每天的销售及每瓶洗手液的利润；找准等量关系，正确列出一元二次方程；找准等量关系列出函数解析式．
22.【答案】解：把和分别代入可得：
，
解得：，
函数的表达式为；
把代入二次函数得：，
，
，
把代入二次函数得：，
解得：，，
点是抛物线上两个不同的点，
；
二次函数为常数，的图象经过点，
，
，
，
，
的最小值为．
【解析】把和代入二次函数解析式即可求出；
把代入解析式求出再根据进行计算，求出，把代入解析式即可求出；
先根据图象经过点，求出，之间的关系，再代入，用二次函数的性质求最值．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数求最值，解答问题的关键是熟练掌握二次函数的知识，难度不大．
23.【答案】证明：是正方形的对角线，
，，，
，
≌，
，
，
，
；
解：，且，
，
由知，，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，
，
，
在中，，
，
或舍去，
正方形的边长为；
解：如图，过点作交于点，
由知，≌，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
．
【解析】先判断出，，，进而判断出≌，根据全等三角形的性质及平行线的性质进而得出结论；
利用正方形的性质及等腰三角形的性质推出，结合≌，得出，再利用三角形外角性质推出，根据直角三角形的两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质得出，设正方形的边长为，根据勾股定理得到，据此求解即可；
过点作交于点，根据邻补角定义及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质及对顶角相等推出，进而推出，解直角三角形求出，，根据相似三角形的判定与性质求解即可．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
第1页，共1页
