2023-2024学年北京重点大学附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.在中，，是边上的高，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.下列命题中错误的是( )
A. 矩形的对角线相等 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对边相等
4.下列曲线中不能表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
5.若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是( )
A. 平均数比大
B. 中位数比众数小
C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小
8.如图，匀速地向该容器内注水单位时间内注水体积相同，在注满水的过程中，满足容器中水面的高度与时间之间函数关系的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
10.如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为______ ．
11.如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______．
12.如图，矩形的顶点的坐标为，则______．
13.如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，则的周长为 ．
14.已知直线和直线平行，且过点，则此直线与轴的交点坐标为______ ．
15.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为若直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，写出一组满足条件的与的值______ ．
16.某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益元，每取一个快递收益元，某天个小区需要取送快递数量如表
小区 需送快递数量 需取快递数量
如果快递员一个上午最多前往个小区，且要求他最少送快递件，最少取快递件，写出一种满足条件的方案______ 写出小区编号；
在的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______ 写出小区编号．
三、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
计算；
解方程．
18.本小题分
已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
20.本小题分
已知一次函数的图象经过，．
求一次函数解析式；
若正比例函数与线段有公共点，直接写出的取值范围．
21.本小题分
如图，已知中，，是角平分线，，，求的长．
22.本小题分
为了解我国年第一季度个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这个地区第一季度快递业务收入单位：亿元的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
排在前位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：，，，，
其余个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入
频数
第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：，，，，，，，，，
排在前位的地区、其余个地区、全部个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
前位的地区 其余个地区 全部个地区
平均数
中位数
根据以上信息，回答下列问题：
表中的值为______；
在下面的个数中，与表中的值最接近的是______填写序号；
根据中的数据，预计这个地区年全年快递业务收入约为______亿元．
23.本小题分
对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积是．
根据上面的定义，回答下列问题：
在图所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是______ ；
点，的矩形域重叠部分面积为，则的值为______ ．
24.本小题分
如图，是等腰直角三角形，，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．
依题意补全图形；
比较与的大小，并证明；
连接，为的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】
解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、原式，故B不符合题意；
C、原式，故C符合题意；
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
是边上的高，
，
由勾股定理得：，
故选C．
求出，在中，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生能否正确运用勾股定理进行计算，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
3.【答案】
【解析】解：、矩形的对角线相等，正确；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
D、平行四边形的对边相等，正确；
故选：．
根据矩形和平行四边形的判定与性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了命题与定理，熟练掌握矩形和平行四边形的性质与判定是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：的图象存在一个对应两个的情况，不是的函数；
的图象符合一个有唯一的对应；
的图象是一次函数；
的图象符合一个有唯一的对应．
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
此题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
5.【答案】
【解析】解：一次函数的函数值随的增大而减小，
；
图象与轴的负半轴相交，
．
故选：．
先根据函数的增减性判断出的符号，再根据图象与轴的负半轴相交判断出的符号．
本题考查一次函数的图象与系数的关系，正确记一下几点是解题关键，的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限，为增函数；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限，为增函数；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，为减函数；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，为减函数．
6.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，
故选：．
将代入方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、、、、、、、，、、、、、，
A、平均数为：，故选项表述错误，不符合题意；
B、中位数为：，众数为，项表述错误，不符合题意；
C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；
D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；
故选：．
根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行判断．
本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握平均数、众数、中位数以及方差的意义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：因为根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，
故注水过程的水面的高度增加的速度是先慢后快，故选项B符合题意，
故选：．
根据图象可知，容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水水面的高度增加的速度是先慢后快．
本题主要考查函数图象的知识，解决本题的关键是根据随的变化情况判断相应的函数图象．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
10.【答案】
【解析】解：设中间所夹三角形为直角三角形的三边长分别为，，如图，
由勾股定理得：．
两个较大正方形的面积分别为，，它们的边长分别为，，
，，
，
字母所代表的正方形的面积为，
故答案为：．
利用正方形的面积公式与勾股定理解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：作点关于对称点点，连接，与的交点即是点，
菱形中，，，是的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值是：．
故答案为：．
根据轴对称最短问题作法，首先求出点的位置，再结合菱形的性质得出为等边三角形，进而求出的最小值．
此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出点从而利用菱形性质是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，过作轴于，则，
的坐标为，
，，
由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
连接，过作轴于，根据点的坐标求出，，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等是解此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长．
故答案为：．
由线段的垂直平分线的性质，可得，从而可得答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：直线和直线平行，
，
把代入得，
直线解析式为，
当时，，解得，
直线与轴的交点坐标为．
故答案为．
先根据直线平行的问题得到，再把代入求出，从而得到直线解析式，然后计算函数值为所对应的自变量的值即可得到直线与轴的交点坐标．
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即值相同．
15.【答案】与答案不唯一
【解析】解：据直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，
直线：和直线：关于直线对称，
满足条件的与的值为与．
故答案为：与答案不唯一．
根据直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，可得直线：和直线：关于直线对称，依此写成一组满足条件的与的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，关键是得到直线：和直线：关于直线对称．
16.【答案】或或或；
【解析】解：如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
如果是三个小区，需送：，需取：，符合要求；
故答案为：或或或；
若选ABC，收益为：元；
若选ABE，收益为：元；
若选ACE，收益为：元；
若选ADE，收益为：元；
，
故答案为：．
根据条件通过计算进行选择；通过计算，再比较大小求解．
本题考查了列代数式，掌握有理数的运算是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
分解因式得：
所以或
解得：，．
【解析】原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可求出值；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解法是解本题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，难度适中．证明出是解题的关键．
先由平行四边形的对边平行得出，再根据平行线的性质得到，而，于是，根据平行线的判定得到，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到．
19.【答案】解：依题意，得．
，
即的取值范围是．
为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数；
当时，方程为的根，，都是整数．
综上所述，．
【解析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出的值和的范围是解此题的关键．
根据题意得出，代入求出的值即可；
求出或，代入后求出方程的解，即可得出答案．
20.【答案】解：设一次函数解析式为，
将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为．
将点坐标代入得，
，
将点坐标代入得，
，
又正比例函数的图象与线段有公共点，
所以或．
【解析】用待定系数法即可解决问题．
分别求出正比例函数图象经过点和点时的值即可解决问题．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21.【答案】解：过点作于，
是角平分线，，，
，
在中，，
在和中，
，
≌，
，
在中，，即，
解得．
【解析】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点作于，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据勾股定理列式计算即可得到答案．
22.【答案】；
；
．
【解析】解：将这个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数，
故答案为：；
，
故答案为：；
亿元，
故答案为：．
根据中位数的定义进行计算即可；
由平均数的计算法则进行计算即可；
利用中的结果进行计算即可．
本题考查频数分布表，平均数、中位数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的定义及计算方法是正确解答的前提．
23.【答案】
【解析】解：点的矩形域如图所示：
该该矩形域的面积是．
如图所示，
因为点，的矩形域重叠部分面积为，且平行于轴的边长均为，
所以点，的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长为，平行于轴的边长为．
当时，，解得；
当时，，解得．
所以的值为或．
点的矩形域的定义，求出矩形边长分别为，，画出图形即可解决问题；
分两种情形，重叠部分在中矩形的左边或右边，分别构建方程即可解决问题．
本题考查一次函数综合题、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：依题意补全图形如图；
，证明如下：
，
，
，
由旋转的性质得：，，
即，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
即．
，证明如下：
如图，连接、，
由旋转的性质得：，，
是等腰直角三角形，
．
为的中点，
，，，
，，
由可知，≌，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
．
【解析】依题意补全图形即可；
证≌，得，再证，即可得出结论；
连接、，证是等腰直角三角形，得，，，，再证≌，得，，然后证是等腰直角三角形，得，即可解决问题．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
第1页，共1页
