2023-2024学年吉林省第二实验学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.的平方根是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知可以写成一个完全平方式，则可为( )
A. B. C. D.
4.如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，，，在数轴上，点所表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，在点左侧交数轴于点，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
6.如图，在直角坐标系中，有两点，，以原点位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是( )
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少
8.如图，、是双曲线上的点，、两点的横坐标分别是、，线段的延长线交轴于点，若则的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.计算：______．
10.分解因式：______．
11.将如图所示的“”笑脸放置在的正方形网格中，、、三点均在格点上若、的坐标分别为，，则点的坐标为______ ．
12.如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得关于、的二元一次方程组的解是______ ．
13.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为______．
14.如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
17.本小题分
如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
18.本小题分
北大壶滑雪场是我国重要的滑雪基地，拥有国际标准雪道条，其中青云大道某段坡长为米，坡角，求垂直落差的高度．
结果保留整数：参考数据：，，
19.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出作法．
在图中作的高．
在图中的边上找一点，连结，使．
在图中内不包含边界找一点，连结，，使．
20.本小题分
如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
若，求的长；
若，求证：∽．
21.本小题分
在菱形中，对角线、相交于点，为的中点，连接并延长到点，使，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
22.本小题分
甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工甲机器在加工过程中工作效率保持不变甲、乙两台机器加工零件的总数个与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
这批零件一共有______ 个，甲机器每小时加工______ 个零件．
当时，求与之间的函数解析式．
甲加工多长时间时，甲与乙两台机器还剩余个零件没加工？
23.本小题分
【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点，使得，连结，可证≌，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”则的范围是：______．
【拓展应用】
如图，在中，，，，，求的长．
如图，在中，为边的中点，分别以、为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则______直接写出
24.本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，过点作于点、，过点作，与交于点设点的运动时间为秒．
线段的长为______；用含的代数式表示
当点落在边上时，求的值；
当直线将的面积分成：的两部分时，求的值；
当点落在的角平分线上时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
的平方根为：，
故选：．
的平方根是两个，正负．
本题考查的是平方根，解题的关键是的平方根有两个，不要漏解．
2.【答案】
【解析】解：，运算正确，故A符合题意；
，原运算错误，故B不符合题意；
，原运算错误，故C不符合题意；
，原运算错误，故D不符合题意．
故选：．
利用幂的乘方运算可判断，利用同底数幂的乘法可判断，利用积的乘方运算可判断，利用同底数幂的除法运算可判断，从而可得答案．
本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据完全平方式的结构是：和两种，据此即可求解．
本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
【解答】
解：可以写成一个完全平方式，
则可为：．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：，
，
即，
解得：．
故选：．
根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
点表示的数为：，
故选：．
根据勾股定理求出的长，即可得到答案．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，∽，相似比是，
，又，，
，，
点的坐标为：，
故选：．
根据位似变换的性质可知，∽，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
四边形是矩形，
，
由图可得，点从点向点运动，则点从点向点运动，
线段的值大小变化情况是一直增大，
故选：．
根据题意，可以判断出形的形状，然后再观察图形的变化情况，即可得到线段的变化情况．
本题考查矩形的判定，动点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，如图，
设反比例函数解析式为，
、两点的横坐标分别是、，
、两点的纵坐标分别是、，
，
∽，
，
，
：：：，
，
，
，
，
而，
．
故选B．
作轴于，轴于，设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得、两点的纵坐标分别是、，再证明∽，利用相似比得到，则，由：：：，则，所以，根据三角形面积公式得到，然后利用反比例函数系数的几何意义得，易得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为也考查了三角形相似的判定与性质．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】
解：
．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：
．
故答案为．
11.【答案】
【解析】解：如图：
点的坐标为，
故答案为：．
首先根据点坐标确定原点位置，然后再建立坐标系，再确定点坐标即可．
此题主要考查了点的坐标，关键是正确建立坐标系．
12.【答案】
【解析】解：函数和的图象交于点，
关于、的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
根据函数和的图象交于点，即可确定关于、的二元一次方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作于，于，连接，交于点，如图所示：
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形，
，，，
，，
，
菱形的面积，
故答案为：．
先证四边形是菱形，再由勾股定理可求的长，然后由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，证得四边形为菱形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，求得，于是得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：延长交格点于，连接，
则，，
，
，
，
故答案为．
15.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16.【答案】解：设每轮传染中平均每个人传染了人，
依题意得，
或不合题意，舍去．
所以，每轮传染中平均一个人传染了个人．
【解析】设每轮传染中平均每个人传染了人，那么第一轮有人患了流感，第二轮有人被传染，然后根据共有人患了流感即可列出方程解题．
此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
17.【答案】解：使得，两村到站的距离相等．
，
于，于，
，
，，
，
设，则．
，，
，
解得：，
，
收购站应建在离点处．
【解析】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．
根据使得，两村到站的距离相等，可得，设，则，再分别在和中利用勾股定理，建立关于的方程，求解即可．
18.【答案】解：在中，，，米，
，
米，
答：垂直落差的高度约为米．
【解析】根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：如图所示．
如图所示．
如图所示．
【解析】根据网格中垂线的画法，取格点，连接交于点，则即为所求．
取的中点，连接，即．
作的中线，再取的中点，连接，，此时．
本题考查作图应用与设计作图、垂线的画法、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20.【答案】解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
，
，
，，
，
，
，
，
∽．
【解析】首先利用中位线定理得到以及的长，再证明即可；
根据等腰三角形的性质得到，进而求出并结合即可证明∽．
本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两个角相等的三角形是相似三角形，此题难度不大．
21.【答案】解：证明：点为的中点，，
四边形是平行四边形，
又四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
四边形是矩形，
，，
又四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
，
．
【解析】根据有一个角是度的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形；
根据矩形和菱形的性质可得，，再根据锐角三角函数即可求出的长．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义，解决本题的关键是综合运用以上知识．
22.【答案】
【解析】解：由函数图象可知，甲、乙两台机器加工零件个，
这批零件一共有个；
从小时到小时，甲机器单独加工零件，
个时，
甲机器每小时加工零件个，
故答案为：，．
当时，设，
将，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为．
甲与乙两台机器还剩余个零件没加工，
甲与乙两台机器已经加工零件个，
当时，则，
解得，
答：甲加工小时，甲与乙两台机器还剩余个零件没加工．
由函数图象可知，这批零件一共有个；从小时到小时，甲机器单独加工零件，可求得甲机器每小时加工零件个，于是得到问题的答案；
当时，设，将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可求得与之间的函数解析式为；
甲与乙两台机器还剩余个零件没加工，则甲与乙两台机器已经加工零件个，当时，则，解方程求出的值即可．
此题重点考查一次函数的图象与性质、一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式、根据函数值求自变量的对应值等知识与方法，正确地求出时的函数解析式是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：【问题探究】
在中，
，
，
，
故答案为：；
【拓展应用】
如图，延长到点，使，连结，
，，，
≌，
，，，
在中，，，
，
；
如图，延长到点，使，连结，
由知道≌，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
【问题探究】根据三角形三边关系求出的范围，进而得到的范围；
【拓展应用】延长到点，使，连结，先证≌，得到，，，在中，根据勾股定理求即可得到的值；
延长到点，使，连结，根据≌，得到，，证明∽，得到，进而得到的值．
本题考查了三角形综合题，判定∽并利用相似三角形的性质求线段的长度是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，当点落在上时，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
解得，
当点落在边上时，的值为．
如图，设直线与边交于点，
则，
∽，
，
当直线将的面积分成：的两部分时，有以下两种情况：
的面积：四边形的面积：，
则，
：：，即：：，
解得；
的面积：四边形的面积：，
则，
：：，即：：，
解得，
综上，的值为或．
根据题意可知，需要分三种情况：
当点在的平分线上，如图，
则有，
，显然不符合题意；
当点在的平分线上，如图，
则有，过点作于点，
则，
又，
，
由知，，
≌，
，，，
，，
，
，
，解得；
当点在的平分线上，如图，
则，
过点作于点，
，
，
≌，
，，
，
，
∽，
：：：，
设，则，，
：：：，解得，
，
过点作于点，
则∽，∽，
：：：，：：：：：：，
则，则，，
，解得．
综上，当点落在的角平分线上时，的值为或．
解直角三角形求出，根据求解即可．
首先证明四边形是平行四边形，由，构建方程即可解决问题．
根据题意需要分两种情况讨论，且易得由直线分得的∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方建立等式可求解．
分三种情况讨论，分别作出图形，求解即可．
本题属于三角形综合题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，以及分类讨论的数学思想，根据题意分类并作出对应的图形是解题关键．
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