2022-2023学年四川省达州市达川区万家初级中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在给出的一组数，，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩平均数均是环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3.下列四组数，分别以各组数中的三个数据为边长构建三角形，不能组成直角三角形的一组是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，，，点、分别在、上，若，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知代数式与与是同类项，那么、的值分别是( )
A. B. C. D.
7.如图，一棵大树树干与地面垂直在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为米，则这棵大树在折断前的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.下列四点中，在函数的图象上的点是( )
A. B. C. D.
9.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为( )
A. B. C. D.
10.如图是本地区一种产品天的销售图象，图是产品日销售量单位：件与时间单位：天的函数关系，图是一件产品的销售利润单位：元与时间单位：天的函数关系，已知日销售利润日销售量一件产品的销售利润，下列结论错误的是
( )
A. 第天的日销售量为件
B. 第天销售一件产品的利润是元
C. 第天与第天这两天的日销售利润相等
D. 第天的日销售利润是元
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.计算：的平方根 ______ ．
12.某中学举行广播操比赛，六名评委对某班打分如下：分，分，分，分，分，分，则去掉一个最高分和一个最底分后的平均分是______ 分．
13.点在函数的图象上，则代数式的值等于______ ．
14.一张直角三角形的纸片，像如图所示那样折叠，使两个锐角顶点、重合．若，，则折痕的长等于______ ．
15.如图，直线，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，于点，若，则 ______
16.如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于、的二元一次方程组的解是______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17.计算：； 计算：．
18.如图：写出、、三点的坐标．
若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与原有怎样的位置关系．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程组：
．
20.本小题分
如图，，，求证：．
21.本小题分
某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：单位：分
测试项目 测试成绩
甲 乙 丙
教学能力
科研能力
组织能力
如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按：：的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
22.本小题分
下列两题任选一道
初二两班共计有名学生，他们的体育平均达标率达到标准的百分率是，如果一班学生的达标率是，二班学生的达标率是，那么一、二班人数各是多少人？
某单位新盖了一栋楼房，要从相距米处的自来水主管道处铺设水管，现有米长的与米长的两种规格的水管可供选用．
请你设计一种方案，如何选取这两种水管，才能恰好从主管道铺设到这座楼房？这样的方案有几种？
若米长的水管每根元，米长的水管每根元，选哪种方案最省钱？
23.本小题分
如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象分别是正比例函数图象和一次
函数图象根据图象解答下列问题：
请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
轮船和快艇在途中不包括起点和终点行驶的速度分别是多少？
问快艇出发多长时间赶上轮船？
24.本小题分
阅读理解：已知实数，满足，，求和的值仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”利用“整体思想”，解决下列问题：
已知二元一次方程组，则 ______ ， ______ ；
买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮和本日记本共需多少元？
对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算已知，，求的值．
25.本小题分
表格中的两组对应值满足一次函数，函数图象为直线，如图所示将函数中的与交换位置后得一次函数，其图象为直线设直线交轴于点，直线交直线于点，直线交轴于点．
求直线的解析式；
若点在直线上，且的面积是的面积的倍，求点的坐标；
若直线分别与直线，及轴的三个交点中，其中一点是另两点所成线段的中点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解：无理数有：，，共有个．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】
解；，，，，
，
成绩最稳定的是丁；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、，能组成直角三角形，故此选项不合题意；
B、，能组成直角三角形，故此选项不合题意；
C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，能组成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式的加减和乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的加法、乘法、除法法则及二次根式的性质．
根据二次根式的加法、乘法、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．
【解答】
解：与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B.，此选项计算错误；
C.，此选项计算错误；
D.，此选项计算正确，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选C．
由，，根据两直线平行，同位角相等，即可求得．
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】
【解析】解：代数式与与是同类项，
，
解得：．
故选：．
利用同类项的定义列出关于，的方程组，解方程组即可得出结论．
本题主要考查了同类项的定义，利用同类项的定义列出关于，的方程组是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：是直角三角形，，，
，
大树的高度．
故选：．
先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答．
8.【答案】
【解析】解：、把代入得：左边，右边，左边右边，故A选项错误；
B、把代入得：左边，右边，左边右边，故B选项正确；
C、把代入得：左边，右边，左边右边，故C选项错误；
D、把代入得：左边，右边，左边右边，故D选项错误．
故选：．
只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可．
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据点的坐标判断是否在函数的图象上是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得与的值，继而求得的算术平方根．
此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义
【解答】
解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
，
的算术平方根为．
故选：．
．
10.【答案】
【解析】解：、根据图可得第天的销售量为件，故正确；
B、设当，一件产品的销售利润单位：元与时间单位：天的函数关系为，
把，代入得：，
解得：，
，
当时，，
故正确；
C、当时，设产品日销售量单位：件与时间单位；天的函数关系为，
把，代入得：，
解得：，
，
当时，，，
第天的日销售利润为；元，第天的日销售利润为；元，
，故C错误；
D、第天的日销售利润为；元，故正确．
故选：．
根据函数图象分别求出设当，一件产品的销售利润单位：元与时间单位：天的函数关系为，当时，设产品日销售量单位：件与时间单位；天的函数关系为，根据日销售利润日销售量一件产品的销售利润，即可进行判断．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
11.【答案】
【解析】解：，
的平方根为，
即．
故答案为：．
先求出的值，再根据平方根的定义解答．
本题考查了平方根与算术平方根的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键，要注意先求出的值，再进行解答．
12.【答案】
【解析】解：去掉一个最高分和一个最底分后，剩下的数据为：，，，，
故剩下的数据的平均数分．
去掉一个最高分和一个最底分后的平均分是分．
故填．
解答本题运用求平均数公式：即可．
本题考查的是平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点在函数的图象上，
，
，
，
故答案为：．
把代入一次函数解析式得到，则，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14.【答案】
【解析】解：由折叠的性质可得，点是等腰三角形的底边上的中点．
根据等腰三角形的性质知，．
，，
，．
．
利用特殊角度构成特殊三角形，运用三角函数求解．
本题利用了：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；
等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念求解．
15.【答案】
【解析】解：直线，
，
又于点，
，
．
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等，即可求得，根据于点，则，即可求解．
本题重点考查了平行线的性质及垂直的定义，是一道较为简单的题目．
16.【答案】
【解析】解：根据函数图象可知，
函数和的图象交于点的坐标是，
的解为，
故答案为：．
根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
17.【答案】解：原式
；
．
【解析】此题主要考查了实数运算以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算即可；
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
18.【答案】解：、、三点的坐标分别是，，；
正确作出分，
与原的位置关系是关于轴对称．
【解析】直接根据坐标系确定坐标即可；
先确定对称点，再顺次连接即可作图，利用坐标特点和图象可知其关于轴对称．
本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，轴对称作图和点的坐标的确定，要掌握这些基本技能．
19.【答案】解：，
得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为；
方程组整理得：，
得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
，
，
．
【解析】先根据垂直的定义得，则可判断，根据平行线的性质得，再根据平行线的判定方法，由可得，则利用平行线的性质得，然后根据等量代换即可得到结论．
本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．也考查了垂线的定义．
21.【答案】解：甲的平均成绩为：分，
乙的平均成绩为：分，
丙的平均成绩为：分，
则丙的平均成绩最好，候选人丙将被录用；
甲的测试成绩为：分，
乙的测试成绩为：分，
丙的测试成绩为：分，
则甲的综合成绩最好，候选人甲将被录用．
【解析】根据平均数的计算公式分别求出甲、乙、丙的成绩，再进行比较，即可得出答案；
将三人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
此题考查了平均数，熟记平均数的计算公式是本题的关键．
22.【答案】解：设一班人数是人，二班人数是人，
根据题意得：，
解得：．
答：一班人数是人，二班人数是人；
设选取根米长的水管，根米长的水管，
根据题意得：，
，
又，均为非负整数，
或或，
共有种选取方案，
方案：选取根米长的水管，根米长的水管；
方案：选取根米长的水管，根米长的水管；
方案：选取根米长的水管，根米长的水管；
选择方案所需费用为元；
选择方案所需费用为元；
选择方案所需费用为元．
，
选取根米长的水管，根米长的水管最省钱．
【解析】设一班人数是人，二班人数是人，根据“初二两班共计有名学生，且他们的体育平均达标率达到标准的百分率是”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设选取根米长的水管，根米长的水管，根据需要水管的总长度为米，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各选取方案；
利用总价单价数量，可求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用．
23.【答案】解：设表示轮船行驶过程的函数式为由图象知：
当时，．
，解得：
表示轮船行驶过程的函数式为．
设表示快艇行驶过程的函数解析式为．
由图象知：当时，；当时，
，
解得
因此表示快艇行驶过程的函数解析式为；
由图象可知，轮船在小时内行驶了千米．快艇在小时内行驶了千米．
故轮船在途中的行驶速度为千米时
快艇在途中行驶的速度为千米时；
设轮船出发小时后快艇追上轮船．
，
，
则．
答：快艇出发小时后赶上轮船．
【解析】可根据图中给出的信息，用待定系数法分别求出轮船与快艇的函数关系式．
可根据轮船与快艇到乙港时用的时间和走的路程，根据速度路程时间，求出速度是多少．
当快艇追上轮船时两者走的路程相同，根据求出的函数式，让两者的路程相等，即可得出时间的值．
本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，本题中读懂图象是解题的关键．
24.【答案】解：，；
设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
由题意得：，
由得：，
．
答：购买支铅笔、块橡皮和本日记本共需元．
由题意得：
由可得：，
．
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
由方程组的两式相减与相加即可得出结果；
设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，由题意列出方程组，即可得出结果；
由定义新运算列出方程组，求出，即可得出结果．
【解答】
解：，
由得：，
得：，
，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
25.【答案】解：直线的解析式为，把，分别代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
由题意可得直线的解析式为．
令中，，则，故A，
令中，，则，故C，
联立两直线解析式得：，解得：，故B
过点作轴于点，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
过点作轴于，则为等腰直角三角形，
，
，
，
的横坐标为，
代入直线解析式得，
故；
过点作轴于，则为等腰直角三角形，
，
，
，
的横坐标为，
代入直线解析式得，
故；
综合以上可得点的坐标为或；
设直线与直线，及轴的交点分别为，，，则，
令中，，则，
解得，
，
代入直线中，则，
解得，，
．
若点是的中点时，，，
，
解得；
若点是的中点时，，，
，
解得；
若点是的中点时，，，
，
解得；
综合以上可得，的值为或或．
【解析】由待定系数法可求出答案；
过点作轴于点，则为等腰直角三角形，由三角形面积的比求出的长，分两种情况，由等腰直角三角形的性质可求出点的坐标；
设直线与直线，及轴的交点分别为，，，求出，，分三种情况得出的方程，解方程即可得出答案．
此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键．
第1页，共1页
