山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 东阿县一模）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|．
二．列代数式（共1小题）
2．（2023 阳谷县一模）2022卡塔尔世界杯于11月20日开幕，闪耀在卡塔尔的除了足球，还有我们的“中国造”，本届世界杯三款限量版纪念品，包括“大力神杯”纪念品摆件、会徽摆件、冠军国家地图徽章套组均产自东莞，还有180多款周边纪念品．某商店售卖甲乙两种钥匙扣，已知4个甲和3个乙的售价和为620元，3个甲和2个乙的售价和为440元．
（1）求每个甲钥匙扣的售价和每个乙钥匙扣的售价；
（2）第一天商店按原售价卖出甲50个和乙40个，第二天商店决定调整销售策略，每个甲钥匙扣售价不变，销量在第一天的基础上减少了m个，每个乙钥匙扣降价m元，销量比第一天增加了m个，结果第二天两种钥匙扣的销售总额比第一天增加了624元，销售过程中，乙钥匙扣的单价始终高于甲的单价，求乙钥匙扣降价后的单价．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023 聊城一模）先化简，再求值：，其中x＝cos30°+tan60°．
四．不等式的定义（共1小题）
4．（2023 聊城一模）（1）计算：；
（2）请从以下不等式中选取两个不等式组成不等式组，并解这个不等式组
5x+7＞3（x+1）；x+5＞2（x﹣1）；3x+5＞x﹣3．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
5．（2023 临清市一模）某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪．若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）若该中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么最多可购买多少个大地球仪？
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023 东阿县一模）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝6S△OBD，请求出点P的坐标；
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2023 冠县一模）如图，点D，E分别在边AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
八．菱形的判定与性质（共1小题）
8．（2023 东阿县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CE∥AB，CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝8，求BC的长．
九．方差（共1小题）
9．（2023 临清市一模）为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取七、八年级部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，过程如下：
（1）收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
（2）整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x人数年级 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
七年级 4 6 2 8
八年级 3 a 4 7
（3）分析数据．两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 91 89 97 40.9
八年级 91 b c
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；根据以上提供的信息，解答下列问题：
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分， 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
③从样本数据分析哪个年级的分数较整齐；
④如果七年级共有400人参赛，则估计该年级分数不低于95分的人数．
山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 东阿县一模）计算：（）﹣1﹣2sin45°+|1﹣|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2﹣2×+﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
二．列代数式（共1小题）
2．（2023 阳谷县一模）2022卡塔尔世界杯于11月20日开幕，闪耀在卡塔尔的除了足球，还有我们的“中国造”，本届世界杯三款限量版纪念品，包括“大力神杯”纪念品摆件、会徽摆件、冠军国家地图徽章套组均产自东莞，还有180多款周边纪念品．某商店售卖甲乙两种钥匙扣，已知4个甲和3个乙的售价和为620元，3个甲和2个乙的售价和为440元．
（1）求每个甲钥匙扣的售价和每个乙钥匙扣的售价；
（2）第一天商店按原售价卖出甲50个和乙40个，第二天商店决定调整销售策略，每个甲钥匙扣售价不变，销量在第一天的基础上减少了m个，每个乙钥匙扣降价m元，销量比第一天增加了m个，结果第二天两种钥匙扣的销售总额比第一天增加了624元，销售过程中，乙钥匙扣的单价始终高于甲的单价，求乙钥匙扣降价后的单价．
【答案】（1）每个甲钥匙扣的售价为80元，每个乙钥匙扣的售价为100元；
（2）乙钥匙扣降价后的单价为92元．
【解答】解：（1）设每个甲钥匙扣的售价为x元，每个乙钥匙扣的售价为y元，
由题意可列方程组得：，解得：，
答：每个甲钥匙扣的售价为80元，每个乙钥匙扣的售价为100元；
（2）根据题意可列方程得：80×（50﹣m）+（100﹣m）（40+）＝80×50+100×40+624，
整理得：m2﹣60m+416＝0，解得：m1＝8，m2＝52，
∵乙钥匙扣的单价始终高于甲的单价，而100﹣52＝48＜80，
∴m＝8，
此时100﹣8＝92（元），
答：乙钥匙扣降价后的单价为92元．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2023 聊城一模）先化简，再求值：，其中x＝cos30°+tan60°．
【答案】﹣x，．
【解答】解：
＝
＝
＝1﹣
＝1﹣（x+1）
＝1﹣x﹣1
＝﹣x，
∵，
∴原式＝．
四．不等式的定义（共1小题）
4．（2023 聊城一模）（1）计算：；
（2）请从以下不等式中选取两个不等式组成不等式组，并解这个不等式组
5x+7＞3（x+1）；x+5＞2（x﹣1）；3x+5＞x﹣3．
【答案】（1）；
（2）﹣4＜x＜7或x＞﹣2或﹣2＜x＜7．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2），
由x+5＞2（x﹣1）解得，x＜7，
由3x+5＞x﹣3解得，x＞﹣4，
所以，此不等式组的解集为﹣4＜x＜7；
，
由5x+7＞3（x+1）解得，x＞﹣2，
由3x+5＞x﹣3解得，x＞﹣4，
所以，此不等式组的解集为x＞﹣2；
，
由x+5＞2（x﹣1）解得，x＜7，
由5x+7＞3（x+1）解得，x＞﹣2，
所以，此不等式组的解集为﹣2＜x＜7．
五．一元一次不等式的应用（共1小题）
5．（2023 临清市一模）某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪．若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）若该中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么最多可购买多少个大地球仪？
【答案】（1）每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）最多可购买5个大地球仪．
【解答】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元．
（2）设购买m个大地球仪，则购买（30﹣m）个小地球仪，
依题意得：52m+28（30﹣m）≤960，
解得：m≤5．
答：最多可购买5个大地球仪．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023 东阿县一模）如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，且一次函数y1的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在第四象限的反比例图象上有一点P，使得S△OCP＝6S△OBD，请求出点P的坐标；
（3）对于反比例函数，当y≤3时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）y2＝﹣，y1＝﹣x+2；
（2）P的坐标为（，﹣6）；
（3）x≤﹣1或x＞0．
【解答】解：（1）∵比例函数的图象过点B（﹣1，3），
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
∴y2＝﹣，
∵A（a，﹣1）在双曲线上．
∴﹣1＝﹣，
∴a＝3，
∴A（3，﹣1），
∵一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式y1＝﹣x+2；
（2）在y＝﹣x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，则x＝2，
∴D（0，2），C（2，0），
∴OD＝OC＝2，
∴S△OBD＝＝1，
∵S△OCP＝6S△OBD，
∴S△OCP＝OC |yP|＝6，即|yP|＝6，
∴yp＝﹣6，
代入y2＝﹣得，﹣6＝﹣，解得x＝，
∴P的坐标为（，﹣6）；
（3）观察图象可知，对于反比例函数，当y≤3时，x的取值范围是x≤﹣1或x＞0．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2023 冠县一模）如图，点D，E分别在边AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析．
【解答】证明：在△EBC与△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SSS），
∴∠EBC＝∠DCB，
∴△ABC是等腰三角形．
八．菱形的判定与性质（共1小题）
8．（2023 东阿县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CE∥AB，CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝8，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∵CE＝AD，
∴CE＝CD＝BD，
∵CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形，
又∵BD＝CD，
∴平行四边形BDCE是菱形；
（2）解：如图，连接DE，
∵BC是菱形BDCE的对角线，
∴BE＝BD＝8，∠EBC＝∠ABC，
∴AB＝2BD＝16，
∵EF⊥BD，BF＝DF，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB＝8，BC＝AC＝8．
九．方差（共1小题）
9．（2023 临清市一模）为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取七、八年级部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，过程如下：
（1）收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81 83 84 85 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
（2）整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：
分数x人数年级 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
七年级 4 6 2 8
八年级 3 a 4 7
（3）分析数据．两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 91 89 97 40.9
八年级 91 b c
①填空：a＝ 6 ，b＝ 91 ，c＝ 95 ；根据以上提供的信息，解答下列问题：
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分， 甲 同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；
③从样本数据分析哪个年级的分数较整齐；
④如果七年级共有400人参赛，则估计该年级分数不低于95分的人数．
【答案】①6，91，95；②甲；③分数较整齐的是八年级；④160．
【解答】解：①∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，
∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，
八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
∴b＝＝91（分），
八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
∴c＝95，
故答案为：6，91，95；
②甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，
∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
③∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
∴分数较整齐的是八年级，
④因为样本中七年级不低于95分的有8人，
所以400×＝160（人）．山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-01选择题（容易题）
一．绝对值（共1小题）
1．（2023 聊城一模）的绝对值等于（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
二．倒数（共1小题）
2．（2023 临清市一模）﹣52的倒数是（ ）
A．25 B．﹣25 C． D．﹣
三．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
3．（2023 阳谷县一模）一个水分子的质量大约为3×10﹣23克，一滴水的质量大约为0.05克．则一滴水大约含______个水分子．（ ）
A．1.67×1021 B．1.5×1021 C．6×10﹣21 D．1.67×1025
4．（2023 临清市一模）1微米＝0.000000001km，一根头发丝的直径约为50微米，50微米用科学记数法可以表示为（ ）
A．5×10﹣7km B．5×10﹣10km C．5×10﹣8km D．50×10﹣9km
四．算术平方根（共1小题）
5．（2023 莘县一模）正数2的平方根可以表示为（ ）
A．22 B．± C． D．﹣
五．无理数（共1小题）
6．（2023 冠县一模）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.2 C．﹣ D．
六．实数的性质（共1小题）
7．（2023 阳谷县一模）实数的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
七．合并同类项（共1小题）
8．（2023 冠县一模）化简﹣a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣3a B．﹣a C．3a D．0
八．同底数幂的除法（共1小题）
9．（2023 聊城一模）下列运算中，正确的是（ ）
A．2+3＝5 B．﹣a8÷a4＝﹣a2
C．（3a2）3＝27a6 D．（a2﹣b）2＝a4﹣b2
九．二次根式的混合运算（共1小题）
10．（2023 东阿县一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
一十．根与系数的关系（共1小题）
11．（2023 临清市一模）若α、β是方程x2﹣3x﹣2017＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2β﹣5α的值为（ ）
A．﹣2011 B．﹣2023 C．2011 D．2023
一十一．动点问题的函数图象（共1小题）
12．（2023 东阿县一模）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（） B．（3，3+） C．（2，2+2） D．（，2）
一十二．轴对称图形（共1小题）
13．（2023 聊城一模）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
一十三．旋转的性质（共1小题）
14．（2023 聊城一模）用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为（ ）度
A．45 B．22 C．67 D．30
一十四．中心对称图形（共1小题）
15．（2023 临清市一模）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
一十五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
16．（2023 聊城一模）在平面直角坐标系中点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，A1关于原点的对称点为A2，则点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
一十六．简单几何体的三视图（共1小题）
17．（2023 聊城一模）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）
A． B． C． D．
一十七．简单组合体的三视图（共1小题）
18．（2023 阳谷县一模）如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
一十八．随机事件（共1小题）
19．（2023 阳谷县一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a是实数，则|a|＞0是必然事件
B．表示非负数a的平方根
C．三角形的外心是它的三边中垂线的交点
D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-01选择题（容易题）
参考答案与试题解析
一．绝对值（共1小题）
1．（2023 聊城一模）的绝对值等于（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵|﹣|＝，
∴﹣的绝对值是．
故选：D．
二．倒数（共1小题）
2．（2023 临清市一模）﹣52的倒数是（ ）
A．25 B．﹣25 C． D．﹣
【答案】D
【解答】解：﹣52＝﹣25，则﹣52的倒数是﹣．
故选：D．
三．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
3．（2023 阳谷县一模）一个水分子的质量大约为3×10﹣23克，一滴水的质量大约为0.05克．则一滴水大约含______个水分子．（ ）
A．1.67×1021 B．1.5×1021 C．6×10﹣21 D．1.67×1025
【答案】A
【解答】解：0.05÷（3×10﹣23）≈1.67×1021，
故选：A．
4．（2023 临清市一模）1微米＝0.000000001km，一根头发丝的直径约为50微米，50微米用科学记数法可以表示为（ ）
A．5×10﹣7km B．5×10﹣10km C．5×10﹣8km D．50×10﹣9km
【答案】C
【解答】解：50微米＝50×0.000000001km＝5×10﹣8km，
故选：C．
四．算术平方根（共1小题）
5．（2023 莘县一模）正数2的平方根可以表示为（ ）
A．22 B．± C． D．﹣
【答案】B
【解答】解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根为±，
故选：B．
五．无理数（共1小题）
6．（2023 冠县一模）下列实数为无理数的是（ ）
A． B．0.2 C．﹣ D．
【答案】C
【解答】解：A、是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、0.2是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
六．实数的性质（共1小题）
7．（2023 阳谷县一模）实数的相反数是（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：实数的相反数是，
故选：A．
七．合并同类项（共1小题）
8．（2023 冠县一模）化简﹣a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣3a B．﹣a C．3a D．0
【答案】A
【解答】解：﹣a﹣2a＝﹣3a，
故选：A．
八．同底数幂的除法（共1小题）
9．（2023 聊城一模）下列运算中，正确的是（ ）
A．2+3＝5 B．﹣a8÷a4＝﹣a2
C．（3a2）3＝27a6 D．（a2﹣b）2＝a4﹣b2
【答案】C
【解答】解：A、与3不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、﹣a8÷a4＝﹣a4，故错误；
C、正确；
D、（a2﹣b）2＝a4﹣2a2b+b2，故错误；
故选：C．
九．二次根式的混合运算（共1小题）
10．（2023 东阿县一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．÷＝，故此选项不合题意；
B．+无法合并，故此选项不合题意；
C．2×3＝18，故此选项不合题意；
D．﹣＝﹣，故此选项符合题意；
故选：D．
一十．根与系数的关系（共1小题）
11．（2023 临清市一模）若α、β是方程x2﹣3x﹣2017＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2β﹣5α的值为（ ）
A．﹣2011 B．﹣2023 C．2011 D．2023
【答案】C
【解答】解：∵α、β是方程x2﹣3x﹣2017＝0的两个实数根，
∴α+β＝3，α2﹣3α＝2017，
∴α2﹣2β﹣5α＝α2﹣3α﹣2（α+β）＝2017﹣2×3＝2011．
故选：C．
一十一．动点问题的函数图象（共1小题）
12．（2023 东阿县一模）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且BF＝CF，点E沿BD从点B运动到点D．设点E到边BC的距离为x，EF+EC＝y．y随x变化的函数图象2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A．（） B．（3，3+） C．（2，2+2） D．（，2）
【答案】A
【解答】解：由图2知，当点E和点B重合时，EF+EC＝BF+CB＝CB+CB＝8，
∴BC＝6，
即正方形的边长为6，
如图，点A是点C关于直线BD的对称点，连接AF交BD于点E，
根据点的对称性，EA＝EC，
则y＝EF+EC＝EF+EA＝AF为最小，
∵AB＝6，BF＝2，
∴AF＝＝2，
过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBH＝45°，
∴BH＝EH，
∵EH∥AB，
∴△EHF∽△ABF，
∴＝＝＝3，
∴EH＝3HF，
∴BF＝4HF，
∵BF＝2，
∴HE＝，
∴图象上最低点的坐标是（，2），
故选：A．
一十二．轴对称图形（共1小题）
13．（2023 聊城一模）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由图形可知A、B、D为轴对称图形，C不是轴对称图形．故选C．
一十三．旋转的性质（共1小题）
14．（2023 聊城一模）用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为（ ）度
A．45 B．22 C．67 D．30
【答案】B
【解答】解：根据题意，得∠AOB＝45°，
根据三角形的外角的性质，可得
三角板的斜边与射线OA的夹角为：α＝22°+45°﹣45°＝22°，
故选：B．
一十四．中心对称图形（共1小题）
15．（2023 临清市一模）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
一十五．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
16．（2023 聊城一模）在平面直角坐标系中点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，A1关于原点的对称点为A2，则点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵在平面直角坐标系中点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，
∴A1（3，﹣2），
∵A1关于原点的对称点为A2，
∴点A2的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
一十六．简单几何体的三视图（共1小题）
17．（2023 聊城一模）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故选：A．
一十七．简单组合体的三视图（共1小题）
18．（2023 阳谷县一模）如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：该几何体的主视图是一个矩形，矩形的右边有一条线段把矩形分成了一个梯形和三角形．
故选：B．
一十八．随机事件（共1小题）
19．（2023 阳谷县一模）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a是实数，则|a|＞0是必然事件
B．表示非负数a的平方根
C．三角形的外心是它的三边中垂线的交点
D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
【答案】C
【解答】解：A、若a是实数，则|a|≥0，故|a|＞0不是必然事件，原说法错误，不符合题意；
B、表示非负数a的算术平方根，原说法错误，不符合题意；
C、三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，三角形的外心就是它的三边中垂线的交点，正确，符合题意；
D、（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，原计算错误，不符合题意．
故选：C．山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-02填空题
一．有理数的混合运算（共1小题）
1．（2023 莘县一模）计算：﹣2﹣|﹣|＝ ．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
2．（2023 聊城一模）因式分解：3x2+3y2﹣6xy＝ ．
三．因式分解-分组分解法（共1小题）
3．（2023 阳谷县一模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝ ．
四．解一元二次方程-配方法（共1小题）
4．（2023 东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
五．根的判别式（共1小题）
5．（2023 聊城一模）关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
六．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
6．（2023 阳谷县一模）写出不等式组的整数解是 ．
七．规律型：点的坐标（共1小题）
7．（2023 临清市一模）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形OA1A2B1，再以对角线OA2为边作正方形OA2A3B2，…，依此规律，点A2023的坐标是 ．
八．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023 阳谷县一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝……，过点A1，A2，A3，……分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，……，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，……，并设其面积分别为S1，S2，S3，……，则S2023的值为 ．
九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2023 聊城一模）已知反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则k的值为 ．
一十．勾股定理（共1小题）
10．（2023 聊城一模）如图，已知OA1＝1，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°，…按此规律进行下去，则Rt△OA2022A2023的直角边A2022A2023的长为 ．
一十一．矩形的性质（共1小题）
11．（2023 聊城一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．
一十二．圆锥的计算（共2小题）
12．（2023 阳谷县一模）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，AB长为πcm，则原扇形纸板的圆心角度数为 °．
13．（2023 临清市一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是 ．
一十三．旋转的性质（共1小题）
14．（2023 东阿县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D是边AB的中点，点P是边BC上一动点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，连接DD'，若△ADD'为直角三角形，则BP的长为 ．
一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
15．（2023 阳谷县一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝ ．
16．（2023 东阿县一模）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023＝ ．
一十五．位似变换（共1小题）
17．（2023 聊城一模）如图，正方形ABDC和正方形OEFG中．点C和点F的坐标分别为（﹣3，2），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
一十六．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2023 聊城一模）汽车行驶到某一十字路口有三种等可能性的选择：直行、左转、右转．两辆由南向北行驶的汽车在同时经过该十字路口后，反向行驶的概率是 ．
山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-02填空题
参考答案与试题解析
一．有理数的混合运算（共1小题）
1．（2023 莘县一模）计算：﹣2﹣|﹣|＝ 12 ．
【答案】12．
【解答】解：﹣2﹣|﹣|
＝3+9+﹣
＝12，
故答案为：12．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
2．（2023 聊城一模）因式分解：3x2+3y2﹣6xy＝ 3（x﹣y）2 ．
【答案】3（x﹣y）2．
【解答】解：3x2+3y2﹣6xy
＝3（x2+y2﹣2xy）
＝3（x﹣y）2，
故答案为：3（x﹣y）2．
三．因式分解-分组分解法（共1小题）
3．（2023 阳谷县一模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝ （x﹣1）（x+1）2 ．
【答案】（x﹣1）（x+1）2．
【解答】解：x3+x2﹣x﹣1
＝（x3+x2）﹣（x+1）
＝x2（x+1）﹣（x+1）
＝（x2﹣1）（x+1）
＝（x﹣1）（x+1）2，
故答案为：（x﹣1）（x+1）2．
四．解一元二次方程-配方法（共1小题）
4．（2023 东阿县一模）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ﹣84 ．
【答案】﹣84．
【解答】解：∵x2﹣8x＝5，
∴x2﹣8x+16＝5+16，
即（x﹣4）2＝21，
∴b＝21，
∴a＝﹣4，
∴ab＝﹣84，
故答案为：﹣84．
五．根的判别式（共1小题）
5．（2023 聊城一模）关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 k＜且k≠0 ．
【答案】k＜且k≠0．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k k＞0，
解得：k＜且k≠0．
所以k的取值范围是：k＜且k≠0．
故答案为k＜且k≠0．
六．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
6．（2023 阳谷县一模）写出不等式组的整数解是 ﹣1，0，1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
解①得，x≤1，
解②得，x＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1．
故答案为﹣1，0，1．
七．规律型：点的坐标（共1小题）
7．（2023 临清市一模）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形OA1A2B1，再以对角线OA2为边作正方形OA2A3B2，…，依此规律，点A2023的坐标是 （﹣21011，21011） ．
【答案】（﹣21011，21011）．
【解答】解：观察，发现：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…，
∴A8n+7（24n+3，﹣24n+3）（n为自然数）．
∵2023＝252×8+3，
∴A2023（2252×4+3，﹣2252×4+3），
即点A2023的坐标是（﹣21011，21011）．
故答案为：（﹣21011，21011）．
八．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
8．（2023 阳谷县一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝……，过点A1，A2，A3，……分别作x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，……，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，……，并设其面积分别为S1，S2，S3，……，则S2023的值为 ．
【答案】．
【解答】解：连接OP2，OP3，…，OPn，如图所示：
∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，，
∴，即，
又∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，
∴，，，…，，
∵△An﹣1AnPn与△OAnPn的高为同一条高，
∴，
∴，
故答案为：．
九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2023 聊城一模）已知反比例函数的图象经过点（﹣2，1），则k的值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，1），
∴，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
一十．勾股定理（共1小题）
10．（2023 聊城一模）如图，已知OA1＝1，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°，…按此规律进行下去，则Rt△OA2022A2023的直角边A2022A2023的长为 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得：
在Rt△OA1A2中，OA1＝1，；
在Rt△OA2A3中，，；
在Rt△OA3A4中，，；
在Rt△OA4A5中，，；
……∴在Rt△OAnAn+1中，，，∴当n＝2022时，，．
故答案为：．
一十一．矩形的性质（共1小题）
11．（2023 聊城一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接FH、EG；
∵AF＝CG＝2，AE＝CH＝4﹣1＝3，∠A＝∠C＝90°，
∴△AEF≌△CHG，S△AEF＝S△CHG＝3；
同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD＝S△GEB＝1.5；
∴FH＝EG，EF＝GH，即四边形EFHG是平行四边形；
且S平行四边形＝S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD＝11；
过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；
则S△EFP+S△GHP＝EF（PM+PN）＝EF MN＝S EFHG＝．
故答案为：．
一十二．圆锥的计算（共2小题）
12．（2023 阳谷县一模）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，AB长为πcm，则原扇形纸板的圆心角度数为 108 °．
【答案】108．
【解答】解：圆锥的底面半径为＝7（cm），
底面周长为2π×7＝14π（cm），
设原扇形纸板的圆心角度数为n度，
∴＝14π+π，
解得n＝108．
故答案为：108．
13．（2023 临清市一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是 12cm ．
【答案】12cm．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝2π×15×（1﹣），
解得r＝9，
即这个圆锥的底面圆的半径为9cm，
所以这个圆锥的高为＝12（cm）．
故答案为：12cm．
一十三．旋转的性质（共1小题）
14．（2023 东阿县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点D是边AB的中点，点P是边BC上一动点，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，连接DD'，若△ADD'为直角三角形，则BP的长为 3或 ．
【答案】3或．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝4，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝BD＝4，
如图，当∠AD'D＝90°时，过点P作PH⊥DD'于H，
∵∠A＝30°，
∴DD'＝AD＝2，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，
∴DP＝D'P，
∵PH⊥DD'，
∴D'H＝DH＝1，
∵∠C＝∠PHD'＝∠CD'H＝90°，
∴四边形PCD'H是矩形，
∴CP＝D'H＝1，
∴BP＝3，
如图，当∠ADD'＝90°时，过点P作PH⊥DD'于H，PG⊥DB于G，
∵∠A＝30°，
∴DD'＝，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转，使点D的对应点D′落在边AC上，
∴DP＝D'P，
∵PH⊥DD'，
∴D'H＝DH＝，
∵∠PGD＝∠PHD＝∠BDH＝90°，
∴四边形PHDG是矩形，
∴HD＝PG＝，
∵∠B＝60°，
∴sinB＝，
∴PB＝，
故答案为：3或．
一十四．相似三角形的判定与性质（共2小题）
15．（2023 阳谷县一模）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝ ．
【答案】．
【解答】解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，
∵DE∥AB，
∴BG⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，
∴四边形ADGB是矩形，
∴BG＝AD＝0.4，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CH，
∴CH＝＝＝，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠FBE＝∠ACB＝90°，
∴△FBE∽△ACB，
∵CH⊥AB，BG⊥DE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
故答案为：．
16．（2023 东阿县一模）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023＝ 2× ．
【答案】2×．
【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝60°，
∴＝2×，
同理可得A，A，
∴线段A2022A2023＝2×，
故答案为：2×．
一十五．位似变换（共1小题）
17．（2023 聊城一模）如图，正方形ABDC和正方形OEFG中．点C和点F的坐标分别为（﹣3，2），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是 （﹣1，0）或（5，﹣2） ．
【答案】（﹣1，0）或（5，﹣2）．
【解答】解：∵四边形ABDC和四边形OEFG是正方形，点C和点F的坐标分别为（﹣3，2），（1，﹣1），
∴A（﹣5，2），B（﹣5，0），E（1，0），G（0，﹣1），
设直线AF的解析式为：y＝k1x+b1（k1≠0），
把A（﹣5，2）、F（1，﹣1）代入y＝k1x+b1（k1≠0）得，
，解得：，
∴直线AF的解析式为：，
设直线CG的解析式为：y＝k2+b2（k2≠0），
把 G（0，﹣1），C（﹣3，2）代入y＝k2x+b2（k2≠0）得，
，解得：，
∴直线CG的解析式为：y＝﹣x﹣1，
①直线AF和直线CG的交点即为位似中心，
∴建立方程组得，，解得：，
∴位似中心的坐标为：（﹣1，0），
②当位似中心在正方形OGFE右侧，连接CE并延长，连接DF并延长，过点M作MN⊥x轴，
∵C（﹣3，2）、F（1，﹣1），
∴位似比为：2：1，
∴，即EF是△MCD的中线，
∴CE＝EM，
又∵∠CED＝∠MEN，∠CDE＝∠MNE＝90°，
∴△CDE≌△MNE（AAS），
∴EN＝DE＝DO+OE＝3+1＝4，MN＝CD＝2，
∴ON＝OE+EN＝1+4＝5，
∴点M的坐标为：（5，﹣2）
故答案为：（﹣1，0）或（5，﹣2）．
一十六．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2023 聊城一模）汽车行驶到某一十字路口有三种等可能性的选择：直行、左转、右转．两辆由南向北行驶的汽车在同时经过该十字路口后，反向行驶的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：设用A、B、C分别表示直行，左转、右转，列表如下：
A B C
A （A、A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B、B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C、C）
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中两车反向行驶的结果数有2种，
∴两车反向行驶的概率为，
故答案为：．山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023 聊城一模）为了更好地打造生态文明城，桃源社区计划用公益基金购进甲、乙两种体育器材供市民锻炼身体．调查发现：若购买甲种体育器材3个，乙种体育器材2个，共需要资金1.2万元；若购买甲种体育器材4个，乙种体育器材3个，共需要资金1.7万元．
（1）甲、乙两种体育器材的单价分别是多少万元？
（2）若该社区计划购进这两种体育器材共20个，而最多提供公益基金4.8万元，甲种体育器材至少购进多少个？
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
2．（2023 聊城一模）如图，直线AB与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC，BC交于点C（2，3），且AC交y轴于点D，连接BD．
（1）当时，求此时点A，B的坐标；
（2）当k为何值时，△ABD的面积最大，最大面积是多少？
3．（2023 阳谷县一模）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，4）和B（﹣4，﹣2），与y轴交于点C．
（1）求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y＝kx+b的图象．
（2）点D（4，n）在一次函数y＝kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数图象于点E，连接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
三．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2023 临清市一模）如图，矩形OCBD的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且OA＝，tan∠BOC＝．反比例函数y＝的图象经过点A，交BC、BD于点M、N，CM＝，连接OM、ON、MN．
（1）求反比例函数y＝的解析式及点N的坐标；
（2）若点P在x轴上，且△OPN的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
四．二次函数综合题（共4小题）
5．（2023 聊城一模）如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；
（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线AD上的点，若EF∥x轴，且EF＝1（点E在点F左侧），求点E的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得△APD为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
6．（2023 莘县一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
7．（2023 阳谷县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连接AC，作直线BC．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）如图2，点E（x，0）是线段OB上的任意一点，过点E作EG垂直于x轴交抛物线于点G．连接CG，当∠DCG＝∠ACO时，求点G的坐标；
（3）若点P是直线BC下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，点M在线段BC上，当以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形时，求菱形的边长．
8．（2023 东阿县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
五．平行四边形的性质（共2小题）
9．（2023 聊城一模）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
10．（2023 临清市一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．
（1）求证：△BAE≌△DCF；
（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2023 聊城一模）如图，请在由32个边长都为1的小正三角形组成的网格中，按下列要求作一个直角三角形，且直角三角形的三个顶点都在网格顶点上．
（1）在图①中画出斜边为2的直角三角形；
（2）在图②中画出斜边为2的直角三角形；
（3）在图③中画出斜边为的直角三角形．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023 阳谷县一模）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，在B处测得路灯顶部P的仰角α＝58°，D处测得路灯顶部P的仰角β＝31°，已知BC＝2m．测角仪的高度为1.6m，路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2023 东阿县一模）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
九．条形统计图（共1小题）
14．（2023 聊城一模）某校学生会准备调查初中2009级同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间．
（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到班去调查全体同学”：乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”：丙同学说：“我到初中2009级每个班去随机调查一定数量的同学”，请你指出哪位同学的调查方式最为合理；
（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图，请将其补充完整；
（3）若该校初中2009级共有240名同学，请你估计其中每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数，并根据调查情况向学生会提出一条建议．（注：图中相邻两虚线形成的圆心角为30°．）
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2023 聊城一模）如图，有A、B、C、D四张卡片，其正面分别写有“寸、又、日”四个偏旁部首，有的能独立成字，有的能组合成字．现四张卡片背面朝上．
（1）任意翻过一张卡片，能独立成字的概率为 ；
（2）先任意翻过一张卡片作为左部偏旁，再任意翻过一张与其组合，请用列表或画树状图的方法求翻过的两张卡片恰好能组合成字的概率．
16．（2023 阳谷县一模）为进一步实现云端教学的增效赋能，某校就“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”的问题，从本校随机抽取了500名学生进行问卷调查．问卷如下：
①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题．
②作业超时的主要原因是____（单选）．
A．作业难度大无法按时完成
B．作业会做，但题量大无法按时完成
C．学习效率低无法完成
D．其他
根据调查结果，将平均每天完成作业的时间x（分钟）分为5组（①50≤x＜60；②60≤x＜70；③70≤x＜80；④80≤x＜90；⑤90≤x＜100，并绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的m＝ ．
（2）补全作业完成时间统计图；
（3）老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率．
山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的应用（共1小题）
1．（2023 聊城一模）为了更好地打造生态文明城，桃源社区计划用公益基金购进甲、乙两种体育器材供市民锻炼身体．调查发现：若购买甲种体育器材3个，乙种体育器材2个，共需要资金1.2万元；若购买甲种体育器材4个，乙种体育器材3个，共需要资金1.7万元．
（1）甲、乙两种体育器材的单价分别是多少万元？
（2）若该社区计划购进这两种体育器材共20个，而最多提供公益基金4.8万元，甲种体育器材至少购进多少个？
【答案】（1）甲种体育器材的单价是0.2万元，乙种体育器材的单价是0.3万元；
（2）12．
【解答】解：（1）设甲种体育器材的单价是x万元，乙种体育器材的单价是y万元，则
，解得，
答：甲种体育器材的单价是0.2万元，乙种体育器材的单价是0.3万元；
（2）设甲种体育器材购进a个，则乙种体育器材购进（20﹣a）个，则
0.2a+0.3（20﹣a）≤4.8，
∴a≥12，
∴甲种体育器材至少购进12个．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
2．（2023 聊城一模）如图，直线AB与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC，BC交于点C（2，3），且AC交y轴于点D，连接BD．
（1）当时，求此时点A，B的坐标；
（2）当k为何值时，△ABD的面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1），
（2）k＝3，△ABD的面积最大，最大面积是．
【解答】解：（1）∵AC∥x轴BC∥y轴，
∴AC⊥BC，
∵C（2，3），
∴设，
∴，
∴，
解得a＝1，或a＝3（舍去），
∴；
（2）设A（m，3），则，
∵
＝
＝
＝，
∴当m＝1时，△ABD的面积最大，此时k＝3m＝3，最大面积是．
3．（2023 阳谷县一模）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（a，4）和B（﹣4，﹣2），与y轴交于点C．
（1）求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y＝kx+b的图象．
（2）点D（4，n）在一次函数y＝kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数图象于点E，连接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
【答案】（1）；y＝x+2；图象见解析；
（2）．
【解答】解：（1）∵反比例函数过B（﹣4，﹣2），
∴﹣2＝，
∴m＝8，
∴反比例的解析式：；
∵反比例函数过A（a，4），
∴a＝2，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得k＝1，b＝2，
∴一次函数的解析式：y＝x+2；
一次函数y＝x+2的图象如下：
（2）连接EA，如图所示：
∵D（4，n），且在一次函数y＝x+2图象上，
∴n＝4+2＝6，
∴D（4，6），
∵DF⊥y轴，
∴E的纵坐标为6，
把y＝6，代入；
得，即，
∴，
∵A（2，4），B（﹣4，﹣2），D（4，6），，
∴S四边形ABFE＝S△FBD﹣S△AED＝＝．
三．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2023 临清市一模）如图，矩形OCBD的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且OA＝，tan∠BOC＝．反比例函数y＝的图象经过点A，交BC、BD于点M、N，CM＝，连接OM、ON、MN．
（1）求反比例函数y＝的解析式及点N的坐标；
（2）若点P在x轴上，且△OPN的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作AE⊥x轴于点E，
由OA＝，tan∠BOC＝可得AE＝1，OE＝2．
∴点A的坐标是（2，1），
∴反比例函数的解析式为y＝．
由y＝，CM＝，
可得点M的坐标为（3，）．则OC＝3．
又由tan∠BOC＝，
∴BC＝，
∴B（3，）．
设点N的坐标为（n，），代入y＝，得n＝，
∴点N的坐标为（，）；
（2）S四边形BMON＝S矩形OCBD﹣S△OCM﹣S△OND
＝3×﹣×﹣××＝．
设点P的坐标为（p，0），
由S△OPN＝×|p|×＝，得p＝，
∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．
四．二次函数综合题（共4小题）
5．（2023 聊城一模）如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求该抛物线的表达式，并求出点D的坐标；
（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线AD上的点，若EF∥x轴，且EF＝1（点E在点F左侧），求点E的坐标；
（3）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得△APD为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，D（2，3）
（2）或E（，）；
（3）存在点P，使得△APD为直角三角形，此时点P的坐标为或或（1，﹣2）或（1，4）
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入抛物线解析式中得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3）；
（2）设直线AD的解析式为y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），
∵EF∥x轴，EF＝1（点E在点F左侧），
∴﹣m2+2m+2﹣m＝1，
∴m2﹣m﹣1＝0，
解得或，
∴或E（，）；
（3）设点P的坐标为（1，n），
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴AD2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2＝18，AP2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣n）2＝n2+4，PD2＝（2﹣1）2+（3﹣n）2＝n2﹣6n+10，
当∠APD＝90°，则AP2+DP2＝AD2，
∴n2+4+n2﹣6n+10＝18，
∴n2﹣3n﹣2＝0，
解得或，
∴点P的坐标为或；
当∠DAP＝90°时，则AP2+AD2＝PD2，
∴n2+4+18＝n2﹣6n+10，
解得n＝﹣2，
∴点P的坐标为（1，﹣2）；
当∠ADP＝90°时，则AD2+PD2＝AP2，
∴18+n2﹣6n+10＝n2+4，
解得n＝4，
∴点P的坐标为（1，4）；
综上所述，存在点P，使得△APD为直角三角形，此时点P的坐标为或或（1，﹣2）或（1，4）．
6．（2023 莘县一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；
（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
由翻折知，△BCO≌△BHO，
∴BH＝BC＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，
∴△AHO∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴AO＝，
∴A（，0），B（﹣，3），
∵抛物线经过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将点A（，0），B（﹣，3）代入，
得，
解得，，
∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（，0），B（﹣，3）代入，
得，
解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），
∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，
∴S△MAB＝PM（xA﹣xB）
＝（﹣x2+x+）×4
＝﹣x2+x+
＝﹣（x﹣）2+4，
∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；
（3）在y＝x2﹣x中，
对称轴为x＝，
①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，
∵OA＝，
∴EF＝，
∵xF＝，
∴xE＝±＝或﹣，
当xE＝或﹣，时yE＝，
∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；
②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，
则点E在抛物线顶点处，
∵当x＝时，y＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．
7．（2023 阳谷县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连接AC，作直线BC．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）如图2，点E（x，0）是线段OB上的任意一点，过点E作EG垂直于x轴交抛物线于点G．连接CG，当∠DCG＝∠ACO时，求点G的坐标；
（3）若点P是直线BC下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，点M在线段BC上，当以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形时，求菱形的边长．
【答案】（1）；
（2）或（1，﹣），详见解析；
（3）或2，详见解析．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（4，0），C（0，4）代入抛物线的解析式得：
，
解得，
∴抛物线表达式为；
（2）如图1所示：过点D作DH∥y轴，交CG于点H．
∵CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为﹣4．
将y＝﹣4代入抛物线的解析式得：，
解得：x＝2或x＝0，
∴D（2，﹣4）．
∴CD＝2．
∵∠ACO＝∠DCG，
∴tan∠ACO＝tan∠DCG，
∴即 ，
解得DH＝1，
∴H（2，﹣3），
设CG的解析式为y＝kx﹣4，将点H的坐标代入得：2k﹣4＝3，
解得 ，
∴直线CG的解析式为 ，
将 代入 得：
，
解得：x＝0或x＝3，
将x＝3代入 得：
．
∴，
当点G在CD下方时，由①知，G（x，），
设EG交CD于点M，则M（x，﹣4），
∴CM＝x，MG＝﹣4﹣（）＝﹣x2+x，
∵∠DCG＝∠ACO，
∴tan∠DCG＝tan∠ACO，
∴＝，
即＝，
∴x1＝0（舍去），x2＝1，
∴G（1，﹣），
综上所述：G（3，﹣）或（1，﹣）；
（3）当点Q在点C的上方时，如图2所示
∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵QCPM为菱形，
∴∠QCP＝90°
∴CP∥x轴．
由（2）可知点P的坐标为（2，0）．
∴菱形的边长为2．
如图3所示：当点Q在点C的下方时．过点P作PE⊥y轴，垂足为E．
设菱形CQPM的边长为a，则∠QC＝PQ＝a，
∵∠CQP＝45°，
∴，
∴P的坐标为（ ．
将点P的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，
综上所述菱形CQPM的边长为2或 ．
8．（2023 东阿县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）．与x轴交于A（4，0）和B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）取（2）中PE最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；
（2）线段PE的最大值为4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）点Q的坐标为（2，2）或（6，﹣2）或（﹣2，﹣10）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）经过A（4，0）和B（﹣1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），则E（t，t﹣4），
∴PE＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，线段PE的最大值为4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）存在．
设Q（x，y），又A（4，0）、C（0，﹣4）、P（2，﹣6），
当AC、PQ为平行四边形的对角线时，AC与PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（2，2）；
当AP、CQ为平行四边形的对角线时，AP与CQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（6，﹣2）；
当AQ、CP为平行四边形的对角线时，AQ与CP的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（﹣2，﹣10）；
综上所述，点Q的坐标为（2，2）或（6，﹣2）或（﹣2，﹣10）．
五．平行四边形的性质（共2小题）
9．（2023 聊城一模）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：结论：BE∥DF，BE＝DF．
理由：连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，AO＝CO，
又∵AF＝CE，
∴AE＝CF．
∴EO＝FO．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴BE∥DF，BE＝DF．
10．（2023 临清市一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AF＝CE．
（1）求证：△BAE≌△DCF；
（2）若BD⊥EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF
∴△BAE≌△DCF．
（2）解：四边形EBFD是菱形．
理由如下：连接BF、DE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2023 聊城一模）如图，请在由32个边长都为1的小正三角形组成的网格中，按下列要求作一个直角三角形，且直角三角形的三个顶点都在网格顶点上．
（1）在图①中画出斜边为2的直角三角形；
（2）在图②中画出斜边为2的直角三角形；
（3）在图③中画出斜边为的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图①所示；
（2）如图②所示；
（3）如图①所示．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023 阳谷县一模）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，在B处测得路灯顶部P的仰角α＝58°，D处测得路灯顶部P的仰角β＝31°，已知BC＝2m．测角仪的高度为1.6m，路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】3.5米．
【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，
∵AB＝DC＝1.6，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE矩形；
∴AD＝BC＝2，EF＝CD＝1.6，
在Rt△PDF中，有PF＝DF tanβ＝（AD+AF） tanβ，
在Rt△PAF中，有PF＝AF tanα，
∴（AD+AF） tanβ＝AF tanα，
即（2+AF）×tan31°＝AF×tan58°，
∴（2+AF）×0.6＝AF×1.6，
解得：AF＝1.2；
∴PF＝1.2×1.6≈1.9；
∴PE＝PF+EF＝1.9+1.6＝3.5（米）；
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2023 东阿县一模）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【答案】估计8分钟可以到达事故船A处．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：
BC＝1260米，∠ABD＝28°+25°＝53°，∠ACB＝58°﹣28°＝30°，
设AD＝x米，
在Rt△ABD中，BD＝≈＝x（米），
在Rt△ADC中，CD＝＝＝x（米），
∵CD+BD＝BC，
∴x+x＝1260，
解得：x≈508.1，
∴AD≈508.1米，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝1016.2（米），
∴1016.2÷120≈8（分钟），
∴估计8分钟可以到达事故船A处．
九．条形统计图（共1小题）
14．（2023 聊城一模）某校学生会准备调查初中2009级同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间．
（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到班去调查全体同学”：乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”：丙同学说：“我到初中2009级每个班去随机调查一定数量的同学”，请你指出哪位同学的调查方式最为合理；
（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图，请将其补充完整；
（3）若该校初中2009级共有240名同学，请你估计其中每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数，并根据调查情况向学生会提出一条建议．（注：图中相邻两虚线形成的圆心角为30°．）
【答案】（1）丙；
（2）见解析；
（3）220人，见解析．
【解答】解：（1）甲、乙同学的调查方式不具有普遍性和代表性，丙同学的调查方式具有普遍性和代表性，
故丙同学的调查方式最为合理；
（2）被调查的学生数为：（人），
每天（除课间操外）的课外锻炼时间约10分钟的人数为：60﹣10﹣9﹣5＝36（人），
补全统计图如下：
（3）（人），
建议：学生应加强体育锻炼，保证每天的锻炼时间最好在1个小时以上等．
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2023 聊城一模）如图，有A、B、C、D四张卡片，其正面分别写有“寸、又、日”四个偏旁部首，有的能独立成字，有的能组合成字．现四张卡片背面朝上．
（1）任意翻过一张卡片，能独立成字的概率为 ；
（2）先任意翻过一张卡片作为左部偏旁，再任意翻过一张与其组合，请用列表或画树状图的方法求翻过的两张卡片恰好能组合成字的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为任意翻过一张卡片，出现的可能情况有四种，而能独立成字的可能有：寸、又、日，
所有能独立成字的概率为：，
故答案为：；
（2）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知：共有12中可能情况，任意翻过一张卡片作为左部偏旁，再任意翻过一张与其组合翻过的两张卡片恰好能组合成字的共有4中，所有其概率为：＝．
16．（2023 阳谷县一模）为进一步实现云端教学的增效赋能，某校就“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”的问题，从本校随机抽取了500名学生进行问卷调查．问卷如下：
①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题．
②作业超时的主要原因是____（单选）．
A．作业难度大无法按时完成
B．作业会做，但题量大无法按时完成
C．学习效率低无法完成
D．其他
根据调查结果，将平均每天完成作业的时间x（分钟）分为5组（①50≤x＜60；②60≤x＜70；③70≤x＜80；④80≤x＜90；⑤90≤x＜100，并绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 17% ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的m＝ 33.3 ．
（2）补全作业完成时间统计图；
（3）老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）17%，33.3，
（2）补全图形见解析；
（3）．
【解答】解：（1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为85÷500×100%＝17%，
影响作业完成时间的主要原因统计图中的m%＝1﹣（39.1%+16.1%+11.5%）＝33.3%，即m＝33.3，
故答案为：17%，33.3；
（2）80≤x＜90人数为500﹣（20+130+180+85）＝85，
补全图形如下：
（3）由题意可得，树状图如图所示，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果，
∴恰好选中一名男生和一名女生的概率是．山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-01选择题（基础题）
一．整式的混合运算（共1小题）
1．（2023 莘县一模）下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（﹣3a+b）（3a+b）＝9a2﹣b2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
二．二次根式的性质与化简（共1小题）
2．（2023 聊城一模）下列计算正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．a3 a2＝a6
C．（a4）﹣3＝a﹣12 D．
三．二元一次方程组的解（共1小题）
3．（2023 莘县一模）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023，则k的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
四．解一元二次方程-配方法（共2小题）
4．（2023 莘县一模）用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2023 聊城一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
五．根的判别式（共1小题）
6．（2023 阳谷县一模）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．且
六．根与系数的关系（共1小题）
7．（2023 冠县一模）若x＝﹣1是方程x2﹣3x+k+1＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣5 B．0 C．3 D．4
七．分式方程的解（共1小题）
8．（2023 东阿县一模）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
八．解一元一次不等式组（共2小题）
9．（2023 聊城一模）不等式组的解集是（ ）
A．x≥3 B．x＜2或x≥3 C．x＜2 D．2＜x≤3
10．（2023 临清市一模）若点M（1﹣2m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
九．函数的图象（共1小题）
11．（2023 东阿县一模）某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程y（km）与所用时间t（h）的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（ ）
A．5：00 B．6：00 C．7：00 D．8：00
一十．动点问题的函数图象（共1小题）
12．（2023 聊城一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，点O为斜边AB的中点，连接OC，点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→C，C→B运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
一十一．反比例函数的图象（共1小题）
13．（2023 临清市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
一十二．平行线的性质（共1小题）
14．（2023 冠县一模）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝145°33'，则∠2的度数是（ ）
A．63°27' B．64°27' C．34°27' D．34°33'
一十三．垂径定理（共1小题）
15．（2023 聊城一模）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP＝，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
一十四．切线的性质（共2小题）
16．（2023 莘县一模）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
17．（2023 莘县一模）如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
一十五．圆锥的计算（共1小题）
18．（2023 聊城一模）如图，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，BA为半径，作交BC于点E．若扇形ABE恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
一十六．平行线分线段成比例（共1小题）
19．（2023 阳谷县一模）如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB长为（ ）cm．
A． B． C．50 D．30
一十七．由三视图判断几何体（共1小题）
20．（2023 临清市一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
一十八．条形统计图（共1小题）
21．（2023 莘县一模）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
一十九．中位数（共1小题）
22．（2023 阳谷县一模）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2022年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2022年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨） 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 合计
频数 1 2 b 3 m
频率 0.05 0.10 a 0.15 1
表中3≤x＜4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数小于3.5．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
二十．方差（共2小题）
23．（2023 聊城一模）某市举行“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，时代中学要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
24．（2023 东阿县一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
山东省聊城市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-01选择题（基础题）
参考答案与试题解析
一．整式的混合运算（共1小题）
1．（2023 莘县一模）下列计算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（﹣3a+b）（3a+b）＝9a2﹣b2
C．（a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【解答】解：A．3a2﹣a2＝2a2，此选项计算错误；
B．（﹣3a+b）（3a+b）＝b2﹣9a2，此选项计算错误；
C．（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，此选项计算错误；
D．（﹣2a2）3＝﹣8a6，此选项计算正确；
故选：D．
二．二次根式的性质与化简（共1小题）
2．（2023 聊城一模）下列计算正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．a3 a2＝a6
C．（a4）﹣3＝a﹣12 D．
【答案】C
【解答】解：A、a8÷a4＝a4，故错误，不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故错误，不符合题意；
C、（a4）﹣3＝a﹣12，故正确，符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：C．
三．二元一次方程组的解（共1小题）
3．（2023 莘县一模）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023，则k的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【解答】解：，
①+②，得6x+6y＝6k+6，
∴x+y＝k+1，
∵x+y＝2023，
∴k+1＝2023，
∴k＝2022．
故选：C．
四．解一元二次方程-配方法（共2小题）
4．（2023 莘县一模）用配方法解一元二次方程﹣3x2+12x﹣2＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：﹣3x2+12x﹣2＝0，
系数化1，得：，
移项，得：，
配方，得：，
即：；
∴；
故选：B．
5．（2023 聊城一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵2x2﹣3x+1＝0，
∴2x2﹣3x＝﹣1，
∴，
∴，
即．
故选：D．
五．根的判别式（共1小题）
6．（2023 阳谷县一模）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．且
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴2m﹣1≠0，Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×（2m﹣1）×1≥0，
∴且．
故选：A．
六．根与系数的关系（共1小题）
7．（2023 冠县一模）若x＝﹣1是方程x2﹣3x+k+1＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣5 B．0 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+k+1＝0，
得1+3+k+1＝0，
解得：k＝﹣5，
∴方程为x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
故选：D．
七．分式方程的解（共1小题）
8．（2023 东阿县一模）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
【答案】C
【解答】解：，
去分母，得2x+a＝﹣（x﹣2）．
去括号，得2x+a＝﹣x+2．
移项，得2x+x＝2﹣a．
合并同类项，得3x＝2﹣a．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程的解是正数，
∴且．
∴a＜2且a≠﹣4．
故选：C．
八．解一元一次不等式组（共2小题）
9．（2023 聊城一模）不等式组的解集是（ ）
A．x≥3 B．x＜2或x≥3 C．x＜2 D．2＜x≤3
【答案】D
【解答】解：由x+5＜4x﹣1，
得：x＞2；
由，
得：x≤3；
∴2＜x≤3；
故选：D．
10．（2023 临清市一模）若点M（1﹣2m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）在第二象限，
∴，
由①得m＞0.5，
由②得，m＞1，
∴不等式组的解集m＞1．
在数轴上表示为：
故选：B．
九．函数的图象（共1小题）
11．（2023 东阿县一模）某货车司机要按计划运输一批零件准点到达指定厂家，他凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，他加快速度仍匀速前进，最后恰好准点送达．如图是该司机行驶的路程y（km）与所用时间t（h）的函数图象，则该司机原计划准点到达的时刻是（ ）
A．5：00 B．6：00 C．7：00 D．8：00
【答案】C
【解答】解：由图象及题意，得故障前的速度为：80÷1＝80（k/h），
故障后的速度为：（180﹣80）÷1＝100（k/h）．
设航行完全程有a千米，由题意得，，
解得：a＝480，
则原计划行驶的时间为：480÷80＝6（小时），
1+6＝7，
故计划准点到达的时刻为：凌晨7：00．
故选：C．
一十．动点问题的函数图象（共1小题）
12．（2023 聊城一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝8cm，点O为斜边AB的中点，连接OC，点E，F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿A→C，C→B运动，到点C，B时停止运动．设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意可得AE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝OC，∠OAC＝∠OCB＝45°，
在△OAE和△OCF中：
，
∴△OAE △OCF（SAS），
∴S△OAE＝S△OCF，
∴，
∴，
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为开口向上的抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
一十一．反比例函数的图象（共1小题）
13．（2023 临清市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，反比例函数y＝的图象位于二、四象限，故C错误；
∵二次函数的图象经过原点，
∴c＝0，
∴直线直线y＝bx+c过原点，故D错误．
∵对称轴在y轴左侧，
∴a、b符号相同，
∴b＜0，
∴y＝bx+c经过原点且呈下降趋势，
∴故B错误．
故选：A．
一十二．平行线的性质（共1小题）
14．（2023 冠县一模）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝145°33'，则∠2的度数是（ ）
A．63°27' B．64°27' C．34°27' D．34°33'
【答案】B
【解答】解：如图，
∵∠1＝145°33'，
∴∠3＝180°﹣∠1＝34°27'，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝34°27'，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，
∴∠2＝34°27'+30°＝64°27'．
故选：B．
一十三．垂径定理（共1小题）
15．（2023 聊城一模）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP＝，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：如图：
连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OA＝OD＝2，OP＝，
设OE为x（x＞0），
根据勾股定理得，OF＝EP＝＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝
∴AC＝2AE＝2，
同理得，BD＝2DF＝2＝2，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的，
∴S四边形ABCD＝AC×BD＝×2×2＝2＝2
当x2＝即：x＝时，四边形ABCD的面积最大，等于2＝5．
故选：B．
一十四．切线的性质（共2小题）
16．（2023 莘县一模）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58.5°，则∠ACE的度数为（ ）
A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
【答案】B
【解答】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB＝58.5°，
∴∠B＝90°﹣∠ADB＝31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝58.5°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BAC＝31.5°，
故选：B．
17．（2023 莘县一模）如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解答】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA＝＝＝6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′＝OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值＝＝2，
故选：A．
一十五．圆锥的计算（共1小题）
18．（2023 聊城一模）如图，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，BA为半径，作交BC于点E．若扇形ABE恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：AB＝BE＝4，∠ABE＝45°，
底面圆的周长等于弧长，
∴，
解得，
该圆锥的底面圆的半径是，
故选：A．
一十六．平行线分线段成比例（共1小题）
19．（2023 阳谷县一模）如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝24cm，EF＝40cm，BC＝50cm，则AB长为（ ）cm．
A． B． C．50 D．30
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
即＝，
∴AB＝30，
∴AB的长是30cm．
故选：D．
一十七．由三视图判断几何体（共1小题）
20．（2023 临清市一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】A
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1＝4个，
若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为4，
故选：A．
一十八．条形统计图（共1小题）
21．（2023 莘县一模）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
A．选“责任”的有120人
B．本次调查的样本容量是600
C．选“感恩”的人数最多
D．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
【答案】D
【解答】解：本次调查的样本容量为：108÷18%＝600，选“责任”的有600×＝120（人），故选项A中的说法正确，不符合题意；B选项正确，不符合题意；
选“感恩”的人数为：600﹣132﹣600×（15%+18%）﹣120＝150，故选“感恩”的人数最多，故选项C中的说法正确，不符合题意；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为360°×＝79.2°，故选项D中的说法错误，符合题意；
故选：D．
一十九．中位数（共1小题）
22．（2023 阳谷县一模）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2022年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2022年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨） 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 合计
频数 1 2 b 3 m
频率 0.05 0.10 a 0.15 1
表中3≤x＜4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数小于3.5．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【解答】解：①1÷0.05＝20．
故表中m的值为20，是合理推断；
②20×0.2＝4，
20×0.3＝6，
1+2+6+3＝12，
故表中b的值可以为7，是不合理推断；
③1+2+6＝9，
故这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组，是合理推断；
④由题意可知，最小的平均数估算为：
1.5×0.05+2.5×0.10+3.5×0.3+4.5×0.4+5.5×0.15＝4，
故这m天的日均可回收物回收量的平均数为4，平均数小于3.5是不合理推断．
故选：B．
二十．方差（共2小题）
23．（2023 聊城一模）某市举行“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，时代中学要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均分 85 90 90 85
方差 50 42 50 42
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解答】解：从平均分看，乙、丙的平均分相同且都高于甲、丁的平均数，故应从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，乙、丁的方差相同且都低于甲、丙的方差，故应从乙、丁中选择一人参赛，
综上所述，应选择乙同学参赛．
故选：B．
24．（2023 东阿县一模）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，则该样本的中位数和平均数分别是（ ）
A．2.5，3 B．3，3 C．3，2.5 D．3，4
【答案】B
【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的中位数为＝3，平均数为＝3，
故选：B．
