2023-2024学年北师大新版八年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在﹣1.414，，π，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），2+，这此数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
2．如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（5，1）上，则炮位于点（ ）
A．（1，1） B．（4，2） C．（2，1） D．（2，4）
3．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0、2、4、6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上．则数轴上表示99的点与正方形上表示数字（ ）的点重合．
A．0 B．2 C．4 D．6
4．如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
5．的立方根是（ ）
A．﹣ B． C． D．
6．下列各图能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．正比例函数y＝2x的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣2
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c．下列条件中，可以判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝2：3： B．ab＝c
C．∠A+∠B＝2∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
9．如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，且直线l过点（﹣2，0），则下列结论错误的是（ ）
A．kb＞0
B．直线l过坐标为（1，3k）的点
C．若点（﹣16，m），（﹣18，n）在直线l上，则n＞m
D．
10．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，使A落在A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为（ ）
A．2或4 B．2或4 C．2或4 D．4或4﹣4
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．有一组按规律排列的数：，，，2，…则第n个数是 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（﹣2，3），则点P到y轴的距离为 ．
13．以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，面积分别为12和13，则斜边长是 ．
14．若将点P（﹣3，4）向下平移2个单位，所得点的坐标是 ．
15．一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程kx+b＝0（k，b为常数，且k≠0）的解，就是一次函数y＝ 的函数值为 时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程kx+b＝0的解就是一次函数y＝ 的图象与 轴交点的 坐标．
16．直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长为 ．
17．如图，在边长为5cm的正方形纸片ABCD中，点F在边BC上，已知FB＝2cm．如果将纸折起，使点A落在点F上，则tan∠GEA＝ ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．计算：
（1）2﹣6+3
（2）（﹣）2+2×3
19．计算：（﹣1）（+1）+﹣．
20．如图，长方体的长为3cm，宽为1cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B（B为棱的中点），那么所用细线最短是多少厘米？
21．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的值．
22．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，云梯底部离地面的距离BC为2m，BD⊥AD，BD＝5m．求出云梯顶端离地面的距离AE．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（4，0）、B（0，4）两点．
（1）k＝ ，b＝ ．
（2）已知M（﹣1，0）、N（3，0），
①在直线AB上找一点P，使PM＝PN．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）；
②点P的坐标为 ；
③点Q在y轴上，那么PQ+NQ的最小值为 ．
24．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
25．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝的图象与性质．
（1）请根据下表中所给x，y的对应值，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数y的值为纵坐标，在平面直角坐标系中（如图所示）画出函数图象：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 2 1 0 1 2 …
（2）结合表格和图象，解回答下列问题：
①若点（﹣，y1），（，y2）在函数图象上，则y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②点A的坐标是（0，a），过点A作直线l垂直于y轴，当直线l与函数图象有三个不同交点时，直接写出a的取值范围；
③当y＝5时，求x的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：﹣1.414是有限小数，属于有理数；2.010101…（相邻两个1之间有1个0）是循环小数，属于有理数；
无理数有：，，π，2+共3个．
故选：C．
2．解：依题意，坐标系的原点是在帅位下一行与从帅位向左数第5列的交点，故炮的坐标为（2，4）．
故选：D．
3．解：从点﹣1到点99共100个单位长度，正方形的周长为2×4＝8个单位长度，
100÷8＝12…4，
故数轴上表示99的点与正方形上表示数字4的点重合，
故选：C．
4．解：∵12+22≠22，故选项A的数据不能构成直角三角形；
∵22+32≠42，故选项B中的数据不能构成直角三角形；
∵32+42＝52，故选项C中的数据能构成直角三角形；
∵42+52≠62，故选项D中的数据不能构成直角三角形；
故选：C．
5．解：实数的立方根为，
故选：C．
6．解：A、B、D都不是函数，因为一个x的值对应有多个y的值，C选项符合函数的概念，
故选：C．
7．解：正比例函数y＝2x的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为y＝2（x+1），
即y＝2x+2．
故选：C．
8．解：A．∵a：b：c＝2：3：，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B．根据ab＝c不能推出△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，
∴3∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
即∠A+∠B＝120°，
不能推出∠A和∠B的度数，即不能确定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠B＝∠A，∠C＝A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+A+A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
9．解：∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，故A正确，不符合题意；
将点（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：0＝﹣2k+b，
∴b＝2k，
∴直线l的解析式为y＝kx+2k，
当x＝1时，y＝k+2k＝3k，
∴直线l过坐标为（1，3k）的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵﹣16＞﹣18，
∴n＞m，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当x＝﹣2时，y＝0，
∴当时，y＞0，即，故D错误，符合题意．
故选：D．
10．解：Rt△ABC中，BC＝AC＝4，
∴AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，
①如图1，当A′D∥BC，即A'D⊥AC，设AD＝x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在BC上方A′处，
∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，
∵∠B＝45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，
∴x+x+2＝4，
∴x＝4﹣4，
∴AD＝4﹣4；
②如图2，当A′D∥AC，即A'D⊥BC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在BC下方A′处，
∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，
∵∠A′DC＝∠ACD，
∴∠A′DC＝∠A′CD，
∴A′D＝A′C，
∴AD＝AC＝4，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：观察数据可知，这组数据的规律是：，，，，…，则第n个数是．
故答案为：．
12．解：点P的坐标是（﹣2，3）到y轴的距离为：|﹣2|＝2，
故答案为：2．
13．解：由题意得：两条直角边长的平方分别为12和13，
∴斜边长＝＝5，
故答案为：5．
14．解：由题意可得，平移后点的横坐标为﹣3；纵坐标为4﹣2＝2；
即将点P（﹣3，4）向下平移2个单位，所得点的坐标是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
15．解：一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程kx+b＝0（k，b为常数，且k≠0）的解，就是一次函数y＝kx+b的函数值为0时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程kx+b＝0的解就是一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的横坐标．
故答案为：kx+b，0，kx+b，x，横．
16．解：当4是直角边时，斜边＝＝5，
当4是斜边时，另一条直角边＝＝，
则第三边长为5或，
故答案为：5或．
17．解：如图作GM⊥AB于M，连接FG、AG．
∵四边形EGHF是由四边形EGDA翻折得到，
∴EF＝EA，GF＝AG，
设EF＝AE＝x，在RT△EFB中，∵EF2＝BF2+BE2，
∴x2＝22+（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝EF＝，
设DG＝y，则y2+52＝（5﹣y）2+32，
∴y＝，
∵∠D＝∠DAB＝∠AMG＝90°，
∴四边形DAMG是矩形，
∴AM＝DG＝，EM＝AE﹣AM＝2，GM＝AD＝5，
∴tan∠AEG＝＝．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：（1）2﹣6+3
＝4﹣6×+12
＝4﹣2+12
＝14；
（2）（﹣）2+2×3
＝2+3﹣2+×3
＝2+3﹣2+2
＝5．
19．解：原式＝（）2﹣12+2﹣2
＝2﹣1+2﹣2
＝1．
20．解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB＝（cm）；
如果从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，
根据勾股定理可知所用细线最短需要＝（cm）．
故用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点）那么所用细线最短需要cm．
21．解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，即a＝5；
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
即b＝2，
∵c是的整数部分，而4＜＜5，
∴c＝4，
∴a+2b+c＝13，
答：a+2b+c的值为13．
22．解：在Rt△ADB中，AD＝＝＝12（m），
则AE＝12+2＝14（m），
答：云梯顶端离地面的距离AE为14米．
23．（1）解：将A（4，0）、B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）中，
得：，
解得：，
故答案为：﹣1，4；
（2）①如图，点P即为所求；
②由作图可知：点P在MN的垂直平分线上，
∵M（﹣1，0）、N（3，0），
∴点P的横坐标为1，代入y＝﹣x+4中，
得：﹣1+4＝3，
∴P（1，3），
故答案为：（1，3）；
③∵N（3，0），
∴点N关于y轴对称点为N'（﹣3，0），
则QN＝QN'，
∴PQ+NQ＝PQ+N'Q＝PN'，
∴PQ+NQ的最小值为．
故答案为：5．
24．解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
25．解：（1）函数图象如图所示：
（2）①点（﹣，y1），（，y2）在函数图象上，根据图象可知，y1＞y2，
故答案为：＞；
②根据图象可知，直线l与函数图象有三个不同交点时，
a的取值范围是0＜a＜3；
③当y＝5时，x﹣2＝5，
解得x＝7．
