4.4两个三角形相似的判定同步训练——浙教版数学九年级上册
一、选择题
1．下列两个三角形不一定相似的是（ ）．
A．有一个内角是的两个直角三角形
B．有一个内角是的两个等腰三角形
C．两条直角边的比都是的两个直角三角形
D．腰与底的比都是的两个等腰三角形
2．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
3．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
4．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，F是BA延长线上一点，FD⊥BC于D，交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
6．如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中不正确的是（ ）
A．△ACM∽△ABD B．△ACE∽△ABC
C．△AEM∽△CDM D．△AEM∽△ACD
8．已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知圆的内接四边形ABDC，边DC与BA的延长线交于点Q，对角线AD与CB交于点P．有下列结论：①△CPD∽△APB；②△APC∽△BPD；③△DCA∽△BAC；④△QCA∽△QBD，其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③ C．①②④ D．②③
10．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
12．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件 ，使△ADE∽△ACB．
13．在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
14．已知 ， ， ， 长为 时， 与 相似．
15．如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
三、解答题
16．如图，在和中，、分别是、上一点，，当，时，求证：．
17．已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：．
18．已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E， ，点F在AD上，且 .求证：
（1） ；
（2） ∽ .
19．如图，在 ABC中，AB=AC，∠A为锐角且不等于60°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F．
（1）写出图中所有与 ACD相似的三角形（全等除外）；
（2）连接DE，求证： ABF∽△EDF．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：A、有一个内角是50°的直角三角形一定相似，故A不符合题意；
B、有一个顶角是50°的等腰三角形与有一个底角是50°的等腰三角形不相似，故B符合题意；
C、两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形一定相似，故C不符合题意；
D、腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形一定相似，故D不符合题意.
故答案为：B.
2．【答案】C
【解析】解：∵∠EAD=∠BAC，
当，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；
C选项中∠A不是成比例的两边的夹角，故选项C符合题意；
当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
3．【答案】C
【解析】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
4．【答案】C
【解析】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故答案为：C.
5．【答案】A
【解析】解：∵ED⊥BC，
∴∠CDE＝∠BDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠CDE，∠EAF＝90°，
∵∠C＝∠C，∠F＝∠F，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DEC，△AEF∽△DEC，△DBF∽△ABC，
∴△ABC∽△DEC∽△AEF∽△DBF，
故共有6对相似三角形.
故答案为：A.
6．【答案】C
【解析】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
7．【答案】C
【解析】解：∵∠ACE＝∠B，∠BAC＝∠CAE，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠AEC＝∠ACB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAM，
∴△AEM∽△ACD，△ACM∽△ABD；
∴不正确的选项为C；
故答案为：C.
8．【答案】B
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
9．【答案】C
【解析】解：∵，
∴∠CPD=∠ABP，∠DCP=∠BAP，
∴△CPD∽△APB，故①正确；
∵，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△APB，故②正确；
∵，
∴∠CDA=∠ABC，
∴△DCA和△BAC不一定相似，故③错误；
∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠QCA=∠QBD，
∵∠Q=∠Q，
∴△QCA∽△QBD，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④.
故答案为：C
10．【答案】B
【解析】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
11．【答案】D
【解析】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①符合题意；
∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②符合题意；
∵△AOD∽△EOB，
∴，
∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③符合题意；
∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④符合题意，
所以，相似三角形成立的有4对．
故答案为：D．
12．【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠CAB，
∵△ADE∽△ACB
所以，添加的条件为∠D=∠C．
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
13．【答案】△DEB
【解析】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
14．【答案】3或
【解析】解：∵AD=2，CD= ，
∴AC= = ．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ＝ ，∴AB=3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ＝ ，∴AB=3 ．
即当AB的长为3或3 时，这两个直角三角形相似．
故答案为3或3 .
15．【答案】；
【解析】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
16．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【答案】证明，
，
，
，即，
又∵E为的中点，，
，
，
又，
，
，
18．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
19．【答案】（1）解：与△ACD相似的三角形有：△AFE、△BCE、△BFD证明如下：
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴AD⊥BC，
由∵BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝∠AEC＝∠AEB＝90°，
又∵∠EAF＝∠DAC，
∴△AFE∽△ACD；
又∵∠C＝∠C，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠DBE＝∠DAC，
又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BFD∽△ACD
（2）证明：∵△BFD∽△ACD，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴ ，
∴ ，
∵∠AFB＝∠EFD，∴ ABF∽△EDF
