四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类③
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023 自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．
2．（2023 泸州）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
二．分式的混合运算（共1小题）
3．（2023 泸州）化简：（+m﹣1）÷．
三．分式的化简求值（共1小题）
4．（2023 达州）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
5．（2023 自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
五．解分式方程（共1小题）
6．（2023 凉山州）解方程：＝．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2023 凉山州）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
七．反比例函数的应用（共1小题）
8．（2023 达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 ．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2023 泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
九．平行四边形的性质（共1小题）
10．（2023 南充）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
一十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
11．（2023 自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．
一十一．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023 凉山州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
一十二．作图-旋转变换（共1小题）
13．（2023 达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
14．（2023 达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
15．（2023 凉山州）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
16．（2023 自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）
四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类③
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023 自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．
【答案】﹣2．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣4
＝﹣2．
2．（2023 泸州）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
【答案】3．
【解答】解：原式＝+1+2×+
＝+1+1+
＝（+）+（1+1）
＝1+2
＝3．
二．分式的混合运算（共1小题）
3．（2023 泸州）化简：（+m﹣1）÷．
【答案】m+2．
【解答】解：原式＝[+]×
＝×
＝×
＝m+2．
三．分式的化简求值（共1小题）
4．（2023 达州）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
【答案】（1）+3；（2）﹣2a﹣6，﹣8．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣1﹣2×
＝2+4﹣1﹣
＝+3；
（2）原式＝
＝
＝
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
∵a为满足0＜a＜4的整数，
∴a＝1，2，3，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1．
当a＝1时，
原式＝﹣2﹣6＝﹣8．
四．一元一次方程的应用（共1小题）
5．（2023 自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．
【答案】该客车的载客量为40人．
【解答】解：设该客车的载客量为x人，
根据题意得：4x+30＝5x﹣10，
解得：x＝40．
答：该客车的载客量为40人．
五．解分式方程（共1小题）
6．（2023 凉山州）解方程：＝．
【答案】x＝2．
【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括号得：x2﹣x＝2，
移项得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
将x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
将x＝﹣1代入，使分母为0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝2．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2023 凉山州）凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．
（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？
（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？
【答案】（1）雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
（2）他最多能购买雷波脐橙40千克．
【解答】解：（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，
根据题意得：，
解得：．
答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；
（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，
根据题意得：18m+12（100﹣m）≤1440，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：他最多能购买雷波脐橙40千克．
七．反比例函数的应用（共1小题）
8．（2023 达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ 2 ，b＝ 1.5 ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0 ．
【答案】（1）2，1.5；
（2）①见解答过程；
②不断减小；
（3）x≥2或x＝0．
【解答】解：（1）根据题意，3＝，b＝，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，≥﹣x+6，
即当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2023 泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB．
九．平行四边形的性质（共1小题）
10．（2023 南充）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
一十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
11．（2023 自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AM＝CN，
∴AB﹣AM＝CD﹣CN，
即BM＝DN，
又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴DM＝BN．
一十一．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2023 凉山州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）⊙O的半径为3，DE的长为．
【解答】（1）证明：连接OA，如图：
∵AB⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADF，
∴∠FAD+∠OAD＝90°，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，AO，如图：
∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠P＝∠P，
∴△ADP∽△CAP，
∴＝，
∵PA＝4，PD＝2，
∴＝，
解得CP＝8，
∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
∴OA＝3＝OD，
∴OP＝OD+PD＝5，
∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，
∴△OAP∽△DEP，
∴＝，即＝，
∴DE＝，
∴⊙O的半径为3，DE的长为．
一十二．作图-旋转变换（共1小题）
13．（2023 达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）+．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
14．（2023 达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
【答案】座板距地面的最大高度为1.7m．
【解答】解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：
在Rt△OBT中，
OT＝OB cos26°＝3×0.9＝2.7（m），
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN＝BM＝0.9m，
∴ON＝OT+TN＝3.6（m），
在Rt△AOK中，
OK＝OA cos50°＝3×0.64＝1.92（m），
∴KN＝ON﹣OK＝3.6﹣1.92≈1.7（m），
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
15．（2023 凉山州）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD＝EF＝7m，CE＝895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【答案】（1）A，B两点之间的距离约为900m；
（2）小型汽车从点A行驶到点B没有超速，理由见解答过程．
【解答】解：（1）根据题意，四边形CDFE是矩形，∠CAD＝30°，∠EBF＝45°，
∴DF＝CE＝895m，
在Rt△EBF中，
BF＝＝＝7（m），
∴DB＝DF﹣BF＝895﹣7＝888（m），
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝7≈12.12（m），
∴AB＝AD+BD＝12.12+888≈900（m），
∴A，B两点之间的距离约为900m；
（2）∵900÷45＝20（m/s），
∴小型汽车每小时行驶20×3600＝72000（m），
∵72000m＝72km，72＜80，
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
16．（2023 自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）
【答案】（1）α+β＝90°；
（2）约为69米；
（3）（+1.6）米．
【解答】解：（1）∵铅直线与水平线垂直，
∴α+β＝90°，
故α，β之间的数量关系为：α+β＝90°；
（2）在Rt△ABH中，
∵AB＝40米，∠BAH＝24°，
sin∠BAH＝，
∴sin24°＝，
在Rt△TKS中，
∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS＝24°，
sin∠TKS＝，
∴sin24°＝，
∴＝，
解得BH＝16米，
在Rt△CBQ中，
∵BC＝50米，∠CBQ＝30°，
∴CQ＝CB＝25米，
在Rt△DCR中，
∵CD＝40米，∠DCR＝45°，
sin∠DCR＝，
∴DR＝CD sin∠DCR＝40 sin45°＝（米），
∴DF＝BH+CQ+DR＝16+25+≈69（米），
答：山高DF约为69米；
（3）由题意，得tanβ1＝，tanβ2＝，
在Rt△DNL中，
∵tanβ1＝，
∴，
∴NL＝，
在Rt△DN′L中，
∵tanβ2＝，
∴，
∴N'L＝，
∵NL﹣N'L＝NN'＝40（米），
∴﹣＝40，
解得DL＝，
∴山高DF＝DL+LF＝+1.6（米），
答：山高DF为（+1.6）米．
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