四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类③
一．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）
1．（2023 成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
二．根的判别式（共1小题）
2．（2023 广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
三．根与系数的关系（共1小题）
3．（2023 泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
四．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
4．（2023 广安）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
5．（2023 眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
6．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
七．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
7．（2023 成都）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
8．（2023 广安）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023 南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
10．（2023 达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023 南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（ ）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2023 自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
一十．正方形的性质（共1小题）
13．（2023 眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十一．切线的性质（共1小题）
14．（2023 眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
一十二．扇形面积的计算（共1小题）
15．（2023 广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
一十三．作图—基本作图（共2小题）
16．（2023 凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
17．（2023 南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝5 D．CD：BD＝3：5
一十四．旋转的性质（共1小题）
18．（2023 宜宾）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB＝，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一十五．相似三角形的应用（共1小题）
19．（2023 南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
一十六．解直角三角形（共1小题）
20．（2023 自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类③
参考答案与试题解析
一．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）
1．（2023 成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
【答案】A
【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：
，
故选：A．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2023 广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
三．根与系数的关系（共1小题）
3．（2023 泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得．
∴菱形的边长＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
四．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
4．（2023 广安）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D
【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（3x﹣0.1）元，
依题意得：＝．
故选：D．
五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
5．（2023 眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣4≤m＜﹣3 D．﹣4＜m≤﹣3
【答案】A
【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
6．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，
设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴＝＝，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK＝AT，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c）， 代入得：
，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴，
∴，
故选：B．
七．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
7．（2023 成都）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线x＝1
B．抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣6）
C．A，B两点之间的距离为5
D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【解答】解：A、把A（﹣3，0）代入y＝ax2+x﹣6得，
0＝9a﹣3﹣6，
解得a＝1，
∴y＝x2+x﹣6，
对称轴直线为：x＝﹣，故A错误；
令y＝0，
0＝x2+x﹣6，
解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，
∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；
当x＝﹣时，y＝，故B错误；
由图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D错误．
故选：C．
8．（2023 广安）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．有下列结论：①abc＞0；②若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：由图象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，则abc＞0，故①正确，符合题意；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴该函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5对应的函数值相等，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴若点（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＜y2，故②正确，符合题意；
∵对称轴是直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点（1，0）在该函数图象上，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正确，符合题意；
∵a+b+c＝0，a＜0，
∴2a+b+c＜0，
∴2a+2a+c＜0，
即4a+c＜0，故④错误，不符合题意；
故选：C．
9．（2023 南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，
∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，
∴k2+4k﹣5≥0，
解得：k≤﹣5或k≥1；
抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣对称轴为直线x＝，
①当k≤﹣5时，抛物线对称轴在直线x＝﹣2左侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，
解得：k≤﹣，
∴k≤﹣；
②当k≥1时，抛物线对称轴在直线x＝右侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，
解得：k≥﹣，
∴k≥1；
综上所述，k≤﹣或k≥1；
故选：B．
10．（2023 达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，
∴﹣＝1，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0．
故⑤正确．
故选：B．
八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023 南充）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（ ）
A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）
【答案】D
【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，
∴n＝am2，
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n+1，故点（m，n+1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A不合题意；
把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不合题意；
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n﹣1，故点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故C不合题意；
把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，D符合题意；
故选：D．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2023 自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故选：B．
一十．正方形的性质（共1小题）
13．（2023 眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABF＝90°，
∵DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，
∵AG⊥EF，
∴EH＝FH，
∴AH＝EF，
Rt△ECF中，∵EH＝FH，
∴CH＝EF，
∴AH＝CH；
故①正确；
③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SSS），
∴∠ADH＝∠CDH＝45°，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFK＝∠EDH＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BKF＝∠CEH，
∴∠AKF＝∠DEH，
∴∠FAB＝∠DHE，
故③正确；
②∵∠ADH＝∠AEF，
∴∠DAE＝∠DHE，
∵∠BAD＝∠AHE＝90°，
∴∠BAE＝∠AHD，
∵∠DAE与∠BAG不一定相等，
∴∠DAH与∠AHD不一定相等，
则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，
故②不正确；
④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，
∴△AKF∽△HED，
∴＝，
∴AK DH＝AF EH，
在等腰直角三角形AFH中，AF＝FH＝EH，
∴AK HD＝．
故④正确；
∴本题正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
一十一．切线的性质（共1小题）
14．（2023 眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
一十二．扇形面积的计算（共1小题）
15．（2023 广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
【答案】C
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE+S扇形CBF﹣S△ABC
＝×2﹣
＝2π﹣4．
故选：C．
一十三．作图—基本作图（共2小题）
16．（2023 凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
17．（2023 南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C．AD＝5 D．CD：BD＝3：5
【答案】C
【解答】解：由作图可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，故选项A不符合题意；
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，故选项B不符合题意；
在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∵△ABC的面积为＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC CD+AB DE＝AC BC，
∴6 CD+10CD＝6×8，
解得CD＝3，
∴AD＝＝＝3，故选项C符合题意；
∵BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴CD：BD＝3：5，故选项D不符合题意．
故选：C．
一十四．旋转的性质（共1小题）
18．（2023 宜宾）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB＝，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
设∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，
∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点E在BA的延长线上时，如图：
同理可得∠DMC＝90°，
∴∠DMC＝∠EAC，
∵∠DCM＝∠ECA，
∴∠DCM∽△ECA
∴，
∵＝AC，AD＝1＝AE，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：
∵∠BMC＝90°，
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，
∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，
∵AE＝AD，
∴四边形AEMD是正方形，
∴MD＝AE＝1，
∵BD＝＝＝，
∴CE＝BD＝，BM＝BD﹣MD＝﹣1，
∴MC＝CE+ME＝+1，
∵BC＝AB＝，
∴MB＝＝＝﹣1，
∴△MBC的面积为×（+1）×（﹣1）＝，故④正确，
故选：D．
一十五．相似三角形的应用（共1小题）
19．（2023 南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【答案】B
【解答】解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴DE＝8（m），
故选：B．
一十六．解直角三角形（共1小题）
20．（2023 自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KM＝TB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK＝＝＝2，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM＝＝＝2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴＝＝＝＝，
设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，
∴y＝+x①，y＝3﹣x，
解得，x＝，y＝，
∴ML＝y＝，
∴sin∠OAM＝＝＝．
故选：A．
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