2023-2024学年吉林省长春市榆树市八号镇中学等校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知一元二次方程有一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列各选项中的两个图形是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
5.下列事件是必然事件的是( )
A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定下雨
6.如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一点，且点在第一象限，过点作轴于点，作轴于点若四边形的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在 中，为边上一点，连结、交于点若，则下列说法错误的是( )
A. B. 与的周长比为：
C. 与的面积比为： D. 与的面积比为：
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.抛物线的顶点坐标为______ ．
10.买一包医用口罩需元，买一包酒精消毒湿巾需元，那么买包医用口罩和包酒精消毒湿巾共需______元．
11.如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是______．
12.在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是______ ．
13.已知点、为二次函数图象上的两点，若，则 ______ 填“”、“”或“”
14.如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若，，则的度数为______．
三、解答题（本大题共12小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
解方程：
．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
17.本小题分
如图，四边形∽四边形．
______
求边，的长度．
18.本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图、图中，各画一个，使得与相似，且点在格点上．
19.本小题分
北京冬奥会于年月日至日在我国首都北京举行，北京也成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市，小冬是个集邮爱好者，他收集了如图所示的张纪念邮票，分别是冬奥会会徽记为、吉祥物冰墩墩记为、吉祥物雪容融记为张邮票除正面内容不同外，其余均相同，现将张邮票背面朝上，洗匀放好．
小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是______．
小冬从中随机抽取一张邮票记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张邮票都是吉祥物的概率．
20.本小题分
某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．
21.本小题分
如图，在中，，，求的大小和的长．
22.本小题分
已知：关于的方程．
求证：无论为何值，方程总有实数根；
若方程的一个根为时，求的值．
23.本小题分
小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处小明某次试投时的数据如图所示．
根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
若实心球投掷距离实心球落地点与出手点的水平距离的长度不小于，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
24.本小题分
某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，每名学生的成绩记为分，分成四组：组；组；组；组，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
求的值．
补全频数分布直方图．
若规定学生竞赛成绩为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
25.本小题分
如图，四边形是正方形，点为内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，与交于点．
求证：；
若，求的大小．
26.本小题分
在直角坐标平面中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，且．
求点与点的坐标；
求此二次函数的解析式；
如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】
【解析】解：、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
D、两个图形形状相同，相似，符合题意．
故选：．
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
3.【答案】
【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.是分式方程，故本选项不符合题意；
D.是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
5.【答案】
【解析】解：、经过有信号灯的十字路口，遇见红灯，是随机事件，不符合题意；
B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
D、明天一定下雨，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化．
7.【答案】
【解析】解：点是反比例函数图象上的一点，分别过点作轴于点，轴于点若四边形的面积为，
矩形的面积，
解得．
又反比例函数的图象在第一象限，
．
故选：．
因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积是个定值，即再由函数图象所在的象限确定的值即可．
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
8.【答案】
【解析】解：，
与的面积比为：，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，，，
故选：．
通过证明∽，由相似三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
由二次函数的顶点式可得二次函数图象的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：总的费用为：元．
故答案为：．
总的费用买口罩的费用买酒精消毒湿巾的费用，据此可求解．
本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
11.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，与是同弧所对的圆周角，
，
是的平分线，
，
在中，，，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出及的度数，由是的平分线可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，在解答此类题目时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件．
12.【答案】等边三角形
【解析】解：等边三角形、是轴对称图形，但不是中心对称图形，
平行四边形、不是轴对称图形，是中心对称图形，
矩形、是轴对称图形，也是中心对称图形，
圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，
综上所述，是轴对称图形，但不是中心对称图形是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
13.【答案】
【解析】解：二次函数图象的对称轴为直线，
而，
．
故答案为．
先利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧，随的增大而减小，于是可判断与的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是运用二次函数的性质比较与的大小．
14.【答案】
【解析】解：由旋转得，，
，
，
是直角三角形，，
旋转角的度数为．
故答案为：．
先由旋转的性质得到，然后结合的长得到为直角三角形，从而求出的度数．
本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟知“旋转过程中的对应边相等”是解题的关键．
15.【答案】解：，
，
，
，即，
，
，；
方程整理为一般式为，
，，，
，
原方程无实数根．
【解析】利用配方法求解即可；
整理为一般式，再利用公式法求解可得．
此题考查了解一元二次方程公式法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
16.【答案】解：原式
把，代入，
原式
【解析】先化简，然后将与的值代入即可求出答案．
本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】
【解析】解：四边形∽四边形，
，
，
故答案为；
四边形∽四边形，
，
解得，．
直接利用相似多边形的性质即可得到答案．
此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．
18.【答案】解：如图、，为所作．
【解析】作，与的相似比为，如图；作，与的相似比为，如图．
本题考查了作图相似变换：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
19.【答案】
【解析】解：有张纪念邮票，分别是冬奥会会徽记为、吉祥物冰墩墩记为、吉祥物雪容融记为，
小冬从中随机抽取一张邮票是“吉祥物”的概率是．
故答案为：；
画树状图如图：
共有种等可能的结果数，其中抽到的两张邮票都是吉祥物的结果有种，
则抽到的两张邮票都是吉祥物的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
先画出树状图，共有种等可能的结果，抽到的两张邮票都是吉祥物的的结果有种，然后由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：根据题意得：，
解得：，，
经检验不符合题意，
则．
答：每次降价百分率为．
【解析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
21.【答案】解：
；
，
；
答：，．
【解析】根据三角形的内角和定理，特殊锐角三角函数中以及直角三角形边角关系进行计算即可．
本题考查三角形的内角和定理，特殊锐角三角函数中以及直角三角形边角关系，掌握三角形的内角和定理，特殊锐角三角函数中以及直角三角形边角关系是正确解答的前提．
22.【答案】证明：，，，
，
无论为何值，方程总有实数根；
解：将代入原方程得：，
，
的值为．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论为何值，方程总有实数根；
将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；代入，求出的值．
23.【答案】解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．
设该抛物线的表达式为，
抛物线过点，
，
解得，
该抛物线的表达式为；
令，得，
解得，在轴正半轴，故舍去，
点的坐标为，
，
小明此次试投的成绩能达到满分．
【解析】设该抛物线的表达式为，把代入解析式求出即可；
根据题意令，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
24.【答案】解：；
组学生有：人，
补全的频数分布直方图如图所示；
人，
答：估算全校成绩达到优秀的有人．
【解析】根据组的频数和所占的百分比，可以求得的值；
根据中的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
根据直方图中的数据，可以计算出全校成绩达到优秀的人数．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】证明：四边形是正方形，
，．
绕点顺时针旋转得到，
，．
，，
．
在和中，
，
≌，
；
解：四边形是正方形，
．
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
．
是的外角，
．
【解析】根据旋转的性质，可得与的关系，根据余角的性质，可得与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
根据旋转的性质，可得与的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得根据三角形外角的性质，可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用余角的性质得出是解题关键；利用三角形外角的性质是解题关键．
26.【答案】解：由解析式可知，点的坐标为．
，
所以或，
二次函数与轴的负半轴交于点，
点的坐标为；
把点的坐标代入，
得．
解得．
所求二次函数的解析式为．
因为是等腰三角形，
所以：如图，当时，点的坐标为
如图，当时，点的坐标为或
如图，，当时，设点的坐标为根据题意，得．
解得．
点的坐标为
综上所述，点的坐标为，，，．
【解析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当是等腰三角形时，点的位置有三种情况．
令，即可求得点的坐标，由的面积公式可求得的长，进而得到点的坐标；
把点的坐标代入抛物线的解析式，可求得的值，确定出抛物线解析式；
若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可
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