2023年广东省湛江市坡头区中考数学二模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）四个实数﹣2，0，﹣，1中，最小的实数是（ ）
A．﹣ B．0 C．﹣2 D．1
2．（3分）2022年冬奥会即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1 560 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.56×109 B．1.56×108 C．15.6×108 D．0.156×1010
3．（3分）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知a＜b＜0，则点A（a﹣b，ab）在第（ ）象限．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝ B．2+＝2 C．×＝ D．2﹣2＝
6．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC＝54°，则∠1的大小为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．73°
7．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
9．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，tan∠OAE＝，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知：，则＝ ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到x轴的距离是 ．
13．（3分）已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）如图，在网格中，小正方形的边均1，点A、B、O在格点上，则∠OAB正弦是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、BC、AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB＝8，BC＝4时，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝+1．
18．（8分）某中学决定开展课后服务活动，学校就“你最想开展哪种课后服务项目”问题进行了随机问卷调查，调查分为四个类别：A．舞蹈；B．绘画与书法；C．球类；D．不想参加．现根据调查结果整理并绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图：
请结合图中所给信息解答下列问题
（1）这次统计共抽查了 名学生；
（2）请补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中想参加B类活动的人数．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝12，MN＝4，求菱形BNDM的周长．
20．（9分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱．某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件80元销售，一个月能售出100件；销售单价每降1元，月销售量就增加5件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）设每件玩具的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该商店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定吉祥物玩具的销售单价？
21．（9分）如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
22．（12分）在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时：
（1）观察填空：与△ACD全等的三角形是 ；
（2）利用（1）中的结论，求∠AFB的度数；
（3）判断线段FD，FE，FC之间的数量关系，并说明理由．
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：根据实数比较大小的方法，可得：
﹣2＜＜0＜1，
故四个数中最小的是﹣2．
故选：C．
2． 解：1 560 000 000用科学记数法表示为1.56×109．
故选：A．
3． 解：A．B．D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C．选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
4． 解：∵a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，ab＞0，
∴点P（a﹣b，ab）在第二象限．
故选：B．
5． 解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．×＝＝，此选项计算正确；
D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
故选：C．
6． 解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，
∴∠2＝∠ABC＝54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝54°，
∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．
故选：C．
7． 解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，
故选：C．
8． 解：锥的母线长＝＝3，
所以这个圆锥的侧面积＝ 2π 1 3＝3π．
故选：B．
9． 解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∵a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0，所以③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴由图象可得，抛物线与直线y＝n﹣1有两个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个实数根，所以④错误．
故选：C．
10． 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO＝，OE＝，
∴AO＝5﹣QO＝，
∴tan∠OAE＝，故④错误，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：∵，
∴设a＝2k，b＝5k，
∴＝
＝
＝，
故答案为：．
12． 解：点P（2，﹣3）到x轴的距离是|﹣3|＝3，
故答案为：3．
13． 解：圆锥的底面周长＝2π×6＝12π，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为12π，
则圆锥的侧面积＝．
故答案为：48π．
14． 解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO＝＝＝2，
∴sin∠OAB＝＝＝．
故答案为：．
15． 解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴AC＝＝4，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×4×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：
＝2+2﹣2×﹣（﹣1）
＝2+2﹣﹣+1
＝3．
17． 解：原式＝
＝
＝，
当时，原式＝．
18． 解：（1）这次统计共抽查的学生数是：5÷10%＝50（名）．
故答案为：50；
（2）D类人数为50﹣5﹣10﹣15＝20（人），
补全条形统计图为：
（3）根据题意得：
1200×＝240（人），
答：想参加B类活动的人有240人．
19． （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：由（1）可知，OB＝BD＝6，OM＝ON＝MN＝2，四边形BNDM是菱形，
∴BN＝DN＝DM＝BM，
∵MN⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∴BN＝＝＝2，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝8．
20． 解：（1）由题意得：y＝100+5（80﹣x）＝100+400﹣5x＝﹣5x+500，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；
（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为4500，
此时80﹣70＝10（元），
答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；
（3）根据题意得：﹣5（x﹣70）2+4500﹣200＝4220，
整理得：（x﹣70）2＝16，
解得x1＝74，x2＝66，
为了让消费者得到最大的实惠，
∴x＝66，
答：吉祥物玩具的销售单价为66元．
21． 解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线，可得k＝1×3＝3，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝；
（2）解得或，
∴直线y1＝﹣x+4与双曲线交于点A（1，3）和（3，1），
由图象可知，当x＞0时，不等式的解集为：1＜x＜3；
（3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2＝x+b，可得3＝+b，
∴b＝，
∴y2＝x+，
令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC＝7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝，
∴OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝，
∴P（﹣，0）或（，0）．
22． （1）解：△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ACD+∠DCB＝60°．
由旋转可知，CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴DCE是等边三角形，∠BCE+∠DCB＝60°，
∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≥≌△BCE（SAS）．
故答案为：△BCE：
（2）由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠ADC+∠FDC＝180°，
∴∠BEC+CFDC＝180°，
∴点C，D，F，E四点共圆，
∴∠AFE+∠DCE＝180°．
∴∠AFB+∠AFE＝180°，
∴∠AFB＝∠DCE＝60°；
（3）由（1）知△DCE是等边三角形，
∴CE＝DE．
由（2）得∠DFE＝180°﹣∠DCE﹣120°，点C，D，F，E四点共圆，
∴∠CFE＝∠CDE＝60°．
在FC上取一点G，使FG＝FE，
∴．△EFG是等边三角形，
∴EG＝FE，∠EGF﹣60°，
∴∠CGE＝120°＝∠DFE．
∵：点C，D，F，E四点共圆，
∴∠ECG＝∠EDF，
∴△CEG≌△DEF（AAS），
∴CG＝FD，
∴FC＝FG+CG＝FE+FD．
23． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）当y＝0时，即﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
设P（m，﹣m2+3m+4），
过P作PQ∥y轴交直线BC于Q，
∴Q（m，﹣m+4），
∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC＝×5×4+（﹣m2+3m+4+m﹣4）×4＝﹣2m2+8m+10＝16，
解得：m＝1或m＝3，
∴P（1，6）或（3，4）；
（3）由（2）知，S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC＝×5×4+（﹣m2+3m+4+m﹣4）×4＝﹣2m2+8m+10＝﹣2（m﹣2）2+18，
∴当m＝2时，四边形ABPC的面积最大，此时，P（2，6）．
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