2023-2024学年甘肃省张掖市高台县部分校联考九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中，是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
3.下列图形的性质中，矩形不一定具有的是( )
A. 对角线互相垂直平分 B. 四个角相等
C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 对角线互相平分且相等
4.根据表格对应值：
判断关于的方程的一个解的范围是( )
A. B. C. D. 无法判定
5.如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，则下列结论中错误的是( )
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是正方形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是菱形
6.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”，“”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是( )
A. B. C. D.
7.若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 正方形
8.如图：长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合．折痕为，则长为( )
A. B. C. D.
9.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：；；垂直平分；；，其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11.已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为______．
12.在一个不透明的袋子里有个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此估计袋中红球的个数为______ ．
13.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ．
14.如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是______．
15.如图，菱形的对角线、相交于点，且，，过点作丄，垂足为，则点到边的距离______．
16.扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数
优等品的频数
优等品的频率
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 精确到
17.设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______ ．
18.在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为，则可列方程______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
按要求解下列方程：
；用配方法解
；用公式法解
；用因式分解法解
．
20.本小题分
附中现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为号选手和号选手代表学校参加全市汉字听写大赛．
请用树形图或列表法列举出各种可能选派的结果；
求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
21.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程恒有两个不相等的实数根．
若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．
22.本小题分
在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为元盒的有机产品，如果每盒的售价为元时，每天可以销售盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高元，每天少卖出盒．该村办企业要想每天获得元利润，该有机产品的售价可以定为多少元盒？
23.本小题分
学校计划利用一块空地修建一个学生自行车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米，建造车棚的面积为平方米已知新建板墙的木板材料的总长为米为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个米宽的门，那么车棚的长与宽分别为多少米？
24.本小题分
如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
求证：四边形为矩形；
当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
25.本小题分
如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的周长．
26.本小题分
如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是连接、、设点、运动的时间为．
当为何值时，四边形是矩形，请说明理由；
当为何值时，四边形是菱形，请说明理由；
直接写出中菱形的周长和面积，周长是______，面积是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程整理可得，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：矩形对角线互相平分但不垂直．
B.矩形的四个角相等．
C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
D.矩形的对角线互相平分且相等．
故选：．
本题主要应用矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
4.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
所以方程的解的范围为．
故选：．
利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当时，代数式的值为．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5.【答案】
【解析】解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、当时，可以得到平行四边形是矩形，不能得到正方形，故错误，
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
故选：．
利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，
所以两次记录的数字之和为的概率为，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，，、、、分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，，，
，
，
四边形是菱形．
故选：．
根据四边形的两条对角线相等，由三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，难度中等，需要掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，另外要知道四边相等的四边形是菱形．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．
在折叠的过程中，，从而设，即可表示，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求解．
【解答】
解：设，
则，，
在中，，
即．
解得：．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
通过条件可以得出≌，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，设，由勾股定理和解直角三角形就可以表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论．
【解答】
解：四边形是正方形，
，．
是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
≌，
故正确．
，
，
即故正确，
，
，即，
，
垂直平分故正确．
设，由勾股定理，得
，，
，
，
，
，
，故错误，
，，
，故正确．
综上所述，正确的有个．
11.【答案】
【解析】解：设方程的另一根为，
根据题意得，解得，
即方程的另一根为．
故答案为．
设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：设，为一元二次方程的两根，则有如下关系：，．
12.【答案】
【解析】解：设盒子中有红球个，
由题意可得：，
解得：，
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查了利用频率估计概率的知识，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13.【答案】且
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
14.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
．
，
．
．
故答案为．
根据正方形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可求度数，最后用即可．
本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，解决正方形的角度问题一般会涉及对角线平分对角得到．
15.【答案】
【解析】解：，，
，，
．
，
．
故答案为：．
因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出的长．
本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出边上的高．
16.【答案】
【解析】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是，
故答案为：．
由表中数据可判断频率在左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随着实验次数的增多，值越来越精确．
17.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
首先根据一元二次方程根与系数的关系得，，然后将转化为，进而整体代入即可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：挂图的长为，宽为，
可列方程为．
故答案为．
整个挂图的面积挂图的长挂图的宽原矩形风景画的长原库存风景画的宽，把相关数值代入即可求解．
本题考查用一元二次方程解决实际问题，找到挂图的长和宽是易错点．
19.【答案】解：，
移项，得，
方程的两边都除以，得，
方程的两边都加上，得，
．
．
．
，；
，
这里，，．
．
，；
，
移项，得，
．
．
，．
，；
，
移项，得，
．
，．
，．
【解析】先移常数项，使二次项系数化为，再配方方程的两边都加上一次项一半的平方，最后利用直接开平方法求解；
先确定、、的值，再代入求根公式求解；
先移项，再利用提公因式法分解方程的左边，最后解一元一次方程得结论；
利用因式分解法十字相乘法求解比较简便．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法的一般步骤是解决本题的关键．
20.【答案】解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
共有种等可能的选派方案；
恰有一男一女参赛共有种可能，
所以一男一女．
【解析】利用列表法展示所有有种等可能的选派方案；
找出恰有一男一女参赛的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
21.【答案】证明：，
在实数范围内，无论取何值，，即，
关于的方程恒有两个不相等的实数根；
解：根据题意，得
，
解得，，
则方程的另一根为：；
当该直角三角形的两直角边是、时，
该直角三角形的面积为；
当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的面积为；
综上，该直角三角形的面积为或．
【解析】根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论；
根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：当该直角三角形的两直角边是、时，即可求得直角三角形的面积为；当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；即可求得直角三角形的面积为．
本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答时，采用了“分类讨论”的数学思想．
22.【答案】解：设该有机产品的售价可以定为元盒，
根据题意，得．
解得，．
答：该有机产品的售价可以定元盒或元盒．
【解析】设该有机产品的售价可以定为元盒，则销售数量为盒，根据利润销售数量销售价成本价列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键的读懂题意，找出等量关系，列出方程．
23.【答案】解：设垂直墙的一边为米，
根据题意，得：，
解得：，经分析知不合题意，舍去
米
答：车棚的长为米，宽为米．
【解析】设垂直墙的一边为米，则其长为米，根据长方形面积公式列方程求解可得．
本题主要考查一元二次方程的应用，设出其宽根据题意表示出长方形的长是列方程的关键．
24.【答案】证明：，，
．
是外角的平分线，
，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形．
解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．
证明：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形．
【解析】由等腰三角形的性质得出证出，由矩形的判定可得出结论；
当时，四边形是一个正方形．证出，由正方形的判定可得出结论．
本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
25.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证明，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得出，，，由勾股定理得，即可得出答案．
26.【答案】
【解析】解：由题意得，，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，，
故当时，四边形为矩形；
由可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，，
故当时，四边形为菱形；
当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：，
故答案为：；．
根据题意用表示出、、，根据矩形的判定定理列出方程，解方程得到答案；
根据邻边相等的平行四边形是菱形、勾股定理列式计算即可；
根据中求出的的值，求出，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可．
本题考查的是矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
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