2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于年年底通车通车后，从长沙到株洲只需分钟，从长沙到湘潭只需分钟，这条铁路线全长米，则数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
6.一次函数的图象经过的象限是( )
A. 一，二，三 B. 二，三，四 C. 一，二，四 D. 一，三，四
7.如图，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，菱形的对角线，的长分别为，，则这个菱形的周长为．( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图，等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则等于
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.分解因式：______．
12.如图，，是的切线，切点分别为，若，，则的长为 ．
13.超速行驶是交通事故频发的主要原因之一．交警部门统计某日：：经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速为，则超速行驶的汽车有______辆．
14.如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______．
15.如图，中，将绕点顺时针旋转得，与交于，则
16.A、、、、五名学生猜测自己的数学成绩：说：如果我得优，那么也得优；说：如果我得优，那么也得优；说：如果我得优，那么也得优；说：如果我得优，那么也得优大家说的都没有错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，过点的直线：与直线：交于．
求直线对应的表达式；
求四边形的面积．
20.本小题分
为了了解九年级学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有个选项：
A、小时以上含小时
B、小时含小时，不含小时
C、小时含小时，不含小时
D、小时以下不含小时
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图：
请根据以上条形统计图、扇形统计图提供的信息，解答下列问题：
学校共调查了______ 名学生；
扇形统计图中选项所占的百分比为______ ．
请补全条形统计图；
若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级平均每天参加体育活动时间在小时以上含小时的学生约有______ 名
21.本小题分
如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
求证：；
当，，时，求的长．
22.本小题分
为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买，两型污水处理设备共台，对安居琼江河周边污水进行处理．每台型污水处理设备万元，每台型污水处理设备万元．已知台型污水处理设备和台型污水处理设备每周可以处理污水，台型污水处理设备和台型污水处理设备每周可以处理污水．
求，两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．
经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过万元，每周处理污水的量不低于，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？
23.本小题分
如图，在 中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
求证：四边形是矩形；
在 中，取的中点，连接，若，且，求四边形的面积．
24.本小题分
如图，四边形是的内接四边形，，，点是的中点，且．
求证：直线是的切线；
若，，求的长；
在的条件下，若，求的内心与外心之间的距离．
25.本小题分
定义：关于轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
例如：的“同轴对称抛物线”为．
求抛物线的“同轴对称抛物线”；
如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线：上一点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、．
当四边形为正方形时，求的值；
在的条件下，抛物线的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数相交于点和点其中在的左边，将抛物线的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点和点其中在的左边，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求，，的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数为．
故选：．
直接根据倒数的定义求解．
本题考查了倒数：的倒数为．
2.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及幂的乘方运算法则、单项式乘多项式运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及幂的乘方运算、单项式乘多项式运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】
【解析】解：该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
首先根据点在第一象限则横纵坐标都是正数即可得到关于的不等式组求得的范围，然后可判断．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
6.【答案】
【解析】解：
，
直线经过第一、二、四象限．
故选：．
根据直线解析式知：，由一次函数的性质可得出答案．
能够根据，的符号正确判断直线所经过的象限．
7.【答案】
【解析】
解：过作
，
故选：．
先根据平行线的性质先求出，再根据外角性质求出．
本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补求出角的度数。
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．
根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
根据勾股定理得，，
所以，这个菱形的周长．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：
在中，，
，
，
，
，
故选：．
先求出，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：等边三角形中，，
，即：是的垂直平分线，
点在上，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论．
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，是的切线，
，，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，，根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：读图可知：
超过限速的有辆．
故答案为：．
根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算．
本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
14.【答案】
【解析】解：连接，
设的半径为，则，
，为的直径，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
则的半径为，
故答案为：．
连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质．根据已知条件“将绕点顺时针旋转得到”找到旋转角是解题的关键．根据旋转的性质可知，然后在中利用三角形内角和定理可以求得，即．
【解答】解：是由绕点顺时针旋转得到的，
；
又已知，
在中，，
．
故答案是．
16.【答案】，，
【解析】解：得优的三个人是，，，理由：
假设得优，则，，，，都得优，这与只有三个人得优相矛盾，
不可能得优；
假设得优，则，，，都得优，这与只有三个人得优相矛盾，
不可能得优；
假设得优，则，，都得优，这与只有三个人得优相符合，
优的三个人是，，．
故答案为：，，．
利用反证法进行逐一验证即可得出结论．
他主要考查了推论与论证，恰当的使用反证法是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式
当时，
原式
．
【解析】把多项式分解因式后做除法，化简后再做减法，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值．化简商后再做减法，能使运算简便．
19.【答案】解：把代入得，
则点坐标为；
把，代入得，解得，
所以直线的表达式为；
交轴于，交轴于，
，，
四边形的面积．
【解析】先把代入求出得到点坐标为，然后把点，代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到直线的表达式；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
20.【答案】
【解析】解：学校共调查了名学生，
故答案为：；
由扇形统计图可得，
选项所占的百分比为：，
故答案为：；
选项的人数为：，
补全的条形统计图如图所示；
名，
即估计该校九年级平均每天参加体育活动时间在小时以上含小时的学生约有名，
故答案为：．
根据选项人占总体的，即可求得本次调查的人数；
根据扇形统计图各部分所占的百分比即可求得选项所占的百分比；
根据中的结果和扇形统计图中选项所占的百分比，可以求得选项的人数，然后即可补全条形统计图；
首先根据扇形统计图，得到选项和选项人数所占的百分比，进而即可计算出该校九年级平均每天参加体育活动时间在小时以上含小时的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21.【答案】证明：，
，．
是边上的中线，
．
在与中，
；
解：，
，
，
，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论；
根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
22.【答案】解：设每周每台，两种污水处理设备分别可以处理污水吨和吨，
根据题意，得，
解得，
每周每台种污水设备处理污水吨，种污水设备处理污水吨；
设购买中污水设备台，则购买种污水设备台，
根据题意，得，
解不等式组，得，
当时，买台，买台；
当时，买台，买台；
当时，买台，买台．
每台型污水处理设备万元，每台型污水处理设备万元，
买的越少，资金越少，
买台，买台需要的资金最少，
最小值为万元．
【解析】根据题意列方程组，解方程组即可；
根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键．
23.【答案】证明：
四边形是平行四边形，
．
又，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形；
解：如图，
，
．
是的中点，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
．
又四边形是矩形，
．
．
矩形的面积．
【解析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．
利用平行四边形的性质可得，结合条件可先证得四边形为平行四边形，结合，可证得结论；
由直角三角形的性质可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，再利用矩形的性质可求得的长，结合可求得矩形的面积．
24.【答案】证明：如图，连接并延长交于点，
点是的中点，
，
，
．
是的半径，
直线是的切线；
解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，
则，
，
，
，
点是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
是的直径，
由得：，
，
在中，，
，，
如图，设的内心为，连接、，过点作于点，于点，连接，
则，，
为的内心，
平分，平分，
，，，
是等腰直角三角形，，
，
设，
则，
，
，
，
解得：，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【解析】连接并延长交于点，由垂径定理得到，再由平行线的性质得到，即可得出结论；
连接，过点作，交的延长线于点，先证≌，得出，，再证≌，得出，求出的长即可得出答案；
先求出是的直径，，，，设的内心为，连接、，过点作于点，于点，连接，则，由三角形内心的性质得出，，，再设，则，，求出，，，然后证是等腰直角三角形，即可得出答案．
本题是圆综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、圆的切线的判定定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、含角的直角三角形的性质等知识，综合性强，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：，
“同轴对称抛物线”的顶点坐标为，
；
由题可知，，
，
抛物线的对称轴为，
，，
，
或，
或，
舍去或；
由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：，
设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则：，
联立和得：，
解得：或，
即，
联立和得：，
则，，
则，
，
，
直线和轴的夹角为，
则，，
而，
则，
即，
解得：，
则：；
设直线交轴于点即点，在轴上方取点，
过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，故点作，
则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，
设直线的表达式为：，
联立并整理得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：，
则点，
当时，即，
解得：，
则点；
则，
则点，
则直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：，
则点的坐标为：或
综上，点即，，的坐标为：或或
【解析】求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式；
由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可；
根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标．
本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题．
第1页，共1页
