专题10 概率
随机事件的概率
1．“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是
2．一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
5．有一个被等分成份的转盘，其中有8份被涂成了红色，小鹿用它做了10组试验，每组试验转50次，记录每组试验中转盘停下后指针指向红色区域的次数，并制成如下所示的折线统计图，据图回答问题：
(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是多少？（精确到0.1）
(2)转盘被等分成了几份？
6．暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）
颜色 红 蓝 黑
奖券金额（元） 20 50 80
(1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________；
(2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？
(3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？
列举法求概率
7．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），小明和小刚玩游戏，如果点落在直角坐标系的第一或第三象限则小明胜，如果点落在坐标轴上则小刚胜，请列树状图或表格的方法求出二人各自获胜的概率，并说明游戏是否公平．
8．国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有、、、的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如下图示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．
(1)汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为_______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完、两个问题的概率．
9．某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．
组别 成绩（分） 频数
6
14
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)如表中的 ；扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的大小是 ；
(2)为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．
10．某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
2
m
12
14 n
4
(1)表中________ ________；
(2)请在图中补全频数分布直方图：
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，则恰好是一名男生和一名女生的概率为________．
用频率表示概率
11．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（ ）
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率
A． B． C． D．
12．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．
13．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
(1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为____________；（精确到）
(2)盒子里白色的球有____________个；
(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求m的值．
14．一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求：
(1)随机摸出一球，发现是白球．
如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
(2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球．
15．某校生物兴趣小组要研究某种植物种子的发芽率，下表是该兴趣小组在相同的实验条件下得到的一组数据：
试验的种子数 200 500 1200 2000 3000 5000
发芽的种子数 189 474 1146 1898 2856 4765
发芽的频率 0.945 0.948 x 0.949 y 0.953
(1)填空： ________， ________；（结果保留三位小数）
(2)任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是________．（精确到0.01）
(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗310棵，试估算至少需要准备多少粒种子进行发芽培育．
16．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
17．正方形ABCD的边长为2，分别以AB、BC、CD、DA的中点为圆心，1为半径画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形内投小石子，则小石子落在阴影部分的概率为 .
18．某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．
(1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；
(2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；
(3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；
(4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
【详解】解：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角是必然事件，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．A
【分析】由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6,
∴共有4种等可能的结果，
∴这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6，
共1种情况，
∴能构成等腰三角形的概率是，
故选：A．
【点睛】此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．C
【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：第1图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；
第2图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；
第3图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；
第4图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；
第5图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；
第2图和第4图既是轴对称图形又是中心对称图形，
小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率，
故选：C．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，也考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．
4．③
【分析】分别求出三个事件的概率，再比较大小即可得到答案．
【详解】解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
，
发生可能性最小的事件为为③，
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5．(1)转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是0.4
(2)转盘被等分成了20份
【分析】（1）由折线统计图可知，每组实验中转盘停下后指针指向红色区域的次数一直在20次上下浮动，且等于20次的最多，再由概率公式进行计算即可得到答案；
（2）由概率公式可得，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，每组实验中转盘停下后指针指向红色区域的次数一直在20次上下浮动，且等于20次的最多，
转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是：，
转一次转盘指针指向红色区域的概率大约是0.4；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
转盘被等分成了20份．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，是解题的关键．
6．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）用消费的钱数和元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为；
（2）用概率公式求解即可；
（3）设需要将个黄色区域改为红色，根据元奖券的概率为列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会，
∴小明获得奖金的概率为；
故答案为：．
（2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会，
由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种，
所以指针指向红色的概率为，
指针指向黑色的概率为，
所以他获得元和元奖券的概率分别为，．
（3）解：设需要将个黄色区域改为红色，
则由题意得，，
解得：，
所以需要将个黄色区域改为红色．
【点睛】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键．
7．小明获胜概率：，小刚获胜概率：；游戏公平．
【分析】用树状图法表示出所有可能出现的结果，再根据概率公式求出即可．
【详解】用树状图表示点所有可能结果，如图所示，
一共有12种情况，点落在直角坐标系的第一或第三象限有4种情况，
点落在坐标轴上有4种情况，
∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为，
∴获胜概率一样，游戏公平．
【点睛】此题考查了树状图或列表法，解题的关键是列举出所有可能出现的情况．
8．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为．
故答案为：．
（2）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好回答完、两个问题的情况有2种，
∴两人恰好回答完、两个问题的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图求概率，根据概率公式求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．
9．(1)8，
(2)
【分析】（1）由组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，再利用；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人，
，
由题意得：，
，
组所在扇形的圆心角的是，
故答案为：8，；
（2）解：将“小经”和“小武”分别记为：、，另两个同学分别记为：、，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，
恰好抽到小经和小武的概率为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10．(1)．
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，变形计算，求出m、n的值．
（2）根据(1)中的数据补全图形．
（3）根据中位数的概念即一组有序数据的中间一个数据或中间两个数据的平均数求解可得．
（4）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【详解】（1）根据题意，得，
故答案为：．
（2）根据，补全图形如下：
．
（3）由于共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，
而第20、21个数据都落在内，
∴推测他的成绩落在分数段内，
故答案为：．
（4）画树状图：
共有12种结果，其中一男一女的结果有8种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、频数分布表以及中位数的定义．熟练掌握中位数，直方图，画树状图计算概率是解题的关键．
11．A
【分析】利用频率估计概率求解即可；
【详解】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键
12．
【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设大正方形的边长为，
，
大正方形的面积，
小球停留在阴影部分的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
13．(1)
(2)18
(3)
【分析】（1）根据从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，即可得到答案；
（2）利用黑、白两种颜色的球总数乘以（1）中白球的概率的估计值即可得到答案；
（3）根据“随机摸出1个球是白球的概率是”列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）解：从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的频率稳定在左右，
∴摸到白球的概率的估计值为，
故答案为：
（2）（个），
即盒子里白色的球有个；
（3）由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的根．
∴m的值为．
【点睛】此题考查了频率估计概率、分式方程的应用等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键．
14．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
②确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可；
（2）估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）①如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；
②如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；
故答案为：①；②
（2）解：设加入个白球，
根据题意得：，
解得，
经检验是方程的解，
估计加入个白球．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的公式和利用频率估计概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
15．(1)0.955，0.952
(2)0.95
(3)327
【分析】（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出、的值；
（2）根据频率估计概率求解；
（3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率即可得到答案．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是
（3）解：
故估算至少需要准备粒种子进行发芽培育．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这件事的概率．
16．D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
17．
【分析】求出4个半圆的面积减去正方形的面积，即为阴影部分面积，用阴影面积除以正方形面积即得．
【详解】∵
，
∴小石子落在阴影部分的概率为，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的定义和基本图形面积公式是解决此类问题的关键．
18．(1)38千克
(2)甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高
(3)15520千克
(4)
【分析】（1）根据中位数的定义求解可得．
（2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得．
（3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可．
（4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得．
【详解】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克，
所以甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）．
故答案为：38千克．
（2）解：因为（千克），
（千克），
所以，
所以甲、乙两座山的样本的产量一样高．
答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高．
（3）四座山的小枣树的总产量为：（千克）．
答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克．
（4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种，
所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为．
【点睛】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
