叶县高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试题
满50分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则外接圆的面积为（ ）
A．4π B．12π C．16π D．48π
4．已知直线l过点，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．若圆：和圆：相切，则r等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，向量，平面DEF，则点O到平面DEF的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线l：，点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，点P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线与交于点，则（ ）
A．
B．
C．点P到直线的距离为
D．点P到直线的距离为
10．在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A． B．考生成绩的众数为72
C．考生成绩的第70百分位数为75 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
11．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C．4 D．5
12．已知正方体的边长为2，E、F、G、H分别为，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面AEF
C．点到平面AEF的距离为2 D．二面角的大小为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设，为单位向量，且，则______．
14．过点作圆的切线，则切线方程为______．
15．已知事件A，B相互独立，且，，则______．
16．在平面直角坐标系xOy中，设直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知点，求满足下列条件的直线l的一般式方程．
（1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上的截距的4倍；
（2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
18．（本小题满分12分）
如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求直线DE，BF所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．
（1）求证：；
（2）求PC与平面PBE所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知圆：与圆关于直线对称．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线与圆相交于M，N两点，且的外接圆的圆心在内部，求m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，在正方体中，F，G分别是棱，AD的中点，E为棱AB上一点，且异面直线与BG所成角的余弦值为．
（1）证明：E为AB的中点；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知三点，，在圆C上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹W的方程；
（3）在（2）的条件下，若过点的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围．
叶县高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 的斜率不存在，倾斜角为．
2．B ，所以，解得．故选B．
3．B 设外接圆的半径为R，，解得，外接圆的面积为12π．故选B．
4．B ①时，即；②时，，即，共2条。
5．C 若两圆外切，则，所以，即．
若两圆内切，则，∴．又，∴．
6．B ．
7．D 直线l：即为，所以直线过定点，所以点P到直线l的距离的最大值为．
8．A 如图，分别作，，的中点G，H，F，连接，，GH，HE，，，，EF，由题可知，，
则四边形为平行四边形，
∵平面BEF，平面，∴平面；
同理可得平面，∴平面平面，
由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，
∴线段GH，点P的轨迹为GH，．∴．故选A．
9．ABD 根据题意可得，解得，，则点到直线的距离．
10．AD ∵，∴，A对；考生成绩的众数为75，B错；考生成绩的第70百分位数为，C错；该市考生成绩的平均分为，D对．故选AD．
11．BC 曲线表示圆在x轴的上半部分，当直线与圆相切时，解得，当点在直线上时，，可得．
12．ABC 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
，．
∵，∴，A项正确．
，．
设为平面AEF的一个法向量，则，
即，令，得，，则，
∵，∴平面AEF，则B项正确；
∵，∴点到平面AEF的距离为，C项正确．由图可知，平面AFC，所以是平面AFC的一个法向量，则，故二面角的大小不是，所以D项不正确．
13． ∵，为单位向量，且，
∴，∴，∴，
∴，∴．
14．或 ①直线的斜率不存在时，满足，②设切线方程为，，，即：．
15． 因为，所以，同理可得，又因为事件A，B相互独立，所以．
16． ，
即，整理化简得．
过点O作AB的垂线交AB于D，
则，得．
又圆心到直线的距离，所以．
17．解：（1）①若直线l过坐标原点，可得直线l的斜率为，…1分
直线l的方程为，化为一般式为；…2分
②若直线l不过坐标原点，设直线l的方程为，
代入点P的坐标有，解得；…4分
可得直线l的方程为，化为一般式为．
由上知，所求直线l的一般式方程为或．…5分
（2）直线l显然不过坐标原点，设直线l的方程为，整理为，
直线l与x的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，…7分
有，解得或，…9分
故直线l的方程为或，
即直线l的一般式方程为或．…10分
18．（1）证明：连
∵几何体为正方体，∴…2分
∵，∴…4分
∵，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD；…6分
（2）解：以D为坐标原点，向量，，方向分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为，…8分
，…10分
DE，BF所成角的余弦值为．…12分
19．（1）证明：∵平面PAD，平面PAD，∴，…1分
又∵是等腰直角三角形，E是斜边AD的中点，∴，…2分
又∵平面ABCD，平面ABCD，，
∴平面ABCD，…5分
∵平面ABCD，
∴；…6分
（2）解：如图以E为原点，EP，EA所在的直线为x轴，y轴，在平面ABCD内，通过E点作AD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，则，，，…8分
设平面PBE的法向量为，
则取，则，
故为平面PBE的一个法向量，…10分
设PC与平面PBE所成的角为θ，则，
∴PC与平面PBE所成角的正弦值为．…12分
20．解：（1）设，则…3分
解得…4分
所以圆的标准方程为；…6分
（2）由题意可得，是锐角三角形，
又∵是以，为腰的等腰三角形，∴，，…8分
∴令到MN的距离为d，则，，…10分
∴，，
解得．…12分
21．（1）证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨令正方体的棱长为2，
则，，，，，…2分
设，则，，…3分
所以，…4分
所以，解得（舍去），即E为AB的中点．…8分
（2）解：由（1）可得，，
设是平面B EF的法向量，
则令，得．…8分
易得平面的一个法向量为，…10分
所以．
所以所求锐二面角的余弦值为．…12分
22．解：（1）设圆C的一般方程为，
将三点代入圆C的一般方程，有解得…3分
可得圆C的一般方程为，
可得圆C的标准方程为．…4分
（2）设直线l的方程为，点A，B的坐标分别为，，点P的坐标为．
若直线l与圆C相交，有，解得，
联立方程消去y后整理为，
有，．…6分
可得点P的横坐标和纵坐标分别为，，两式相除可得，
代点P的横坐标有，整理为，有．
又由，有，
综上知点P的轨迹W的方程为．…8分
（3）设直线m的方程为，整理为．
当直线m与圆相切时，有，解得．
将代入圆的方程，有，解得，
两点，所在直线的斜率为．…10分
由（2）可知轨迹W为以点为圆心，1为半径的圆在的一部分，
若直线m与轨迹W有两个交点，可得直线m的斜率的取值范围为．…12分
