2023-2024学年江苏省盐城市东台实验中学教育集团九年级（上）段考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中，属于一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
2.用配方法解方程，配方后可得( )
A. B. C. D.
3.关于的一元二次方程为实数根的情况是
( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
4.“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手次，则参加聚会的人数是( )
A. B. C. D.
5.如图，，，是上的三点，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知的半径为，点在同一平面内，，则点与的位置关系是( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断
7.如图，是半圆的直径，点在半圆上不与，重合，于点，交于点，下列条件中能判别是切线的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，将沿弦折叠，点在弧上，点在弧上，若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.若是关于的一元二次方程，则的取值范围是______ ．
10.方程的两根之和是______ ．
11.已知一元二次方程有一个根为，则的值为______．
12.已知正六边形的半径是，则这个正六边形的边长是______ ．
13.如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是______．
14.已知的半径为，弦，，垂足是点，则的长为______ ．
15.圆锥底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长为______．
16.如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的周长为，，则周长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
；
．
18.本小题分
小白同学解方程的过程如下框：
解：两边同除以，得，
则．
你认为小白同学的解法是否正确？若正确请打“”；错误请打“”，并写出你的解答过程．
19.本小题分
如图，是的弦，．
若是的直径，求的度数；
若，求证是的直径．
20.本小题分
已知关于的方程．
试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
若方程有一个根为，求的值．
21.本小题分
如图，点、、在圆上，，直线，，点在上．
判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
若圆的半径为，求劣弧所在扇形的面积．
22.本小题分
如图，是直角三角形，，点在边上，以为圆心，为半径作，使与斜边相切．
请利用直尺和圆规补全图形，并在图中标明相应的字母保留作图痕迹，不写作法；
在你所作的图中，若，，求的半径．
23.本小题分
如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料．
当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24.本小题分
如图中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥如图，制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．
求图中圆锥底面圆直径与母线长的比值；
若圆锥底面圆的直径为，求加工材料剩余部分图中阴影部分的面积．结果保留
25.本小题分
某商店经销一批小商品，每件商品的成本为元．据市场分析，销售单价定为元时，每天能售出件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨元，每天的销售量就减少件．
当销售单价为元，每天可售出多少件？
针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
26.本小题分
已知为的直径，为上一点，为的延长线上一点，连接．
如图，若，，，求的长；
如图，若与相切，为上一点，且求证：．
27.本小题分
【阅读新知】世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作若交轴于点、，则、为方程的两个实数根．
【探究新知】
由勾股定理得，，，．
在中，，所以．
化简得：同理可得：______ ．
所以、为方程的两个实数根．
【运用新知】
在图中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、．
已知点、，以为直径作判断与轴的位置关系，并说明理由．
【拓展提升】
在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，次数不是次，不符合题意；
B.，不是整式方程，不符合题意；
C.，有两个未知数，不符合题意；
D.，符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．
本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用一元二次方程的根的判别式即可做出判断．
【解答】
解：由根的判别式得，，
故该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：设参加聚会的人数是人，根据题意列方程得，
，
解得，不合题意，舍去．
答：参加聚会的人数是人．
故选：．
设参加聚会的人数是人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两个人的握手只有一次，因而共有次，列方程解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是关键．
5.【答案】
【解析】解：对的圆心角为，对的圆周角为，，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，代入求出即可．
本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
，，
，
点在外，
故选：．
根据点到圆心的距离与半径的关系进行判断即可．
本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键，即点在圆外，点在圆上，点在圆内．
7.【答案】
【解析】【分析】
连接，根据等腰三角形的性质得到，能推出的条件即为题目要求．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，属于中档题．
【解答】
解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
是的切线．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：作所对的圆周角，如图，
，
，
沿弦折叠，点在上，点在上，
．
故选：．
作所对的圆周角，如图，利用圆内接四边形的性质得，然后根据折叠的性质可得到的度数
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了折叠的性质
9.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程的一般形式，，求解即可．
此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，注意二次项系数不为．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，．
方程的两根之和为．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系进行求解即可．
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案是：．
根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】
【解析】解：如图，为内接正六边形的一边；
则，
，
为等边三角形，
．
故答案为：．
如图，求出圆心角，得到为等边三角形，即可解决问题．
该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形为矩形，
，，
在直角中，，
则由图可知．
故答案为．
根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断即可．
本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，以及矩形的性质．
14.【答案】
【解析】解：连接．
，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理求出的长，根据勾股定理求出，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平方弦是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为．
故答案为．
设圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算．
16.【答案】
【解析】解：的周长为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，
过点作，且使，
连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，
理由：，且，
四边形为平行四边形，
，
的周长为最小，
，
的周长的最小值为，
故答案为：．
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解．
本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键．
17.【答案】解：，
．
．
；
，
．
．
．
，．
【解析】等号的左边配方，利用直接开平方法求解；
把常数项移到等号的右边，利用直接开票方方求解即可
本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程解法的直接开平方法和配方法是解决本题的关键．
18.【答案】解：小白同学的解法，
，
，
则，
或，
解得：，．
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
19.【答案】解：是的直径，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
是的直径．
【解析】根据圆周角定理得出，根据三角形的内角和定理求出，根据圆周角定理得出即可；
根据三角形的内角和定理可求解的度数，进而可证明结论．
本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理，能根据圆周角定理得出和是解此题的关键．
20.【答案】证明：，
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
解：把代入得，
整理得：，
．
【解析】计算出即可得出答案；
由方程的解的概念得出，代入到计算即可．
本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
21.【答案】解：直线与圆相切．
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
直线与圆相切，
连接，作于，
，
，
，
扇形的面积为：．
【解析】由切线的判定定理，可证明；
根据扇形面积公式，可求解．
本题考查圆的切线的判定定理，扇形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，扇形面积的求法．
22.【答案】解：作的平分线交于，以为圆心，为半径作，如图：
即为所求；
，，
，
由切线长定理可得：，
，
设半径为，则，，
在中，，
，
解得：，
的半径为．
【解析】作的平分线交于，以为圆心，为半径作，即为所求；
求出，由切线长定理得，可得，设半径为，由，有，即可解得答案．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质和勾股定理的应用．
23.【答案】解：设矩形的边，则边．
根据题意，得，
化简，得解得，
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
答：不能，
理由：由题意，得，
化简，得，
，
一元二次方程没有实数根．
羊圈的面积不能达到．
【解析】根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出；
把代入中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
24.【答案】解：根据题意得，
，
与母线长的比值为；
，，，
而，
，
．
答：加工材料剩余部分的面积为．
【解析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出：即可；
先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算．
25.【答案】解：件．
答：当销售单价为元，每天可售出件．
设销售单价应定为元件，则每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
要使顾客得到实惠，
不合题意，
应取．
答：销售单价应定为元件．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据销售数量定价，即可得出结论；
设销售单价应定为元件，则每天可售出件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
26.【答案】解：，，，
，
；
证明：与相切，
，
即，
，
，
，
，
，
即．
【解析】根据直角三角形的边角关系可求出，进而求出；
根据切线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．
本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的关键．
27.【答案】
【解析】解：，，，
在中，，
，
化简得：，
故答案为：；
先在坐标系内找到，，连接，以为直径的圆与轴的交点即为，点，如图所示．
由题意得：，
根的判别式，
方程有两个相等的实数根，
与轴只有一个交点，即与轴相切；
由题意得，以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是．
故答案为：．
根据题目中给定的解法求解即可；
用尺规作图法做出以为直径的圆即可；
先根据题意得出方程，再根据判别式，得出圆与轴的位置关系；
由题意直接得出结论．
本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用．
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