列五高级中学校2023-2024学年高三上学期10月阶段性考试（一）
数学（理科）
一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）
1.某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2.设集合，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知复数（x，）的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，若，则双曲线C
的焦距为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
4.展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
5.函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6.将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A． B． C．216 D．
7.设，则（ ）
A. B． C. D．
8.执行如右图所示的程序框图，若输入的，则（ ）
A.输出的S的最小值为，最大值为5 B.输出的S的最小值为，最大值为4
C.输出的S的最小值为0，最大值为5 D.输出的S的最小值为0，最大值为4
9.某四面体的三视图如图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），
该四面体的外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A．540 B．480 C．360 D．240
11.设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意，不等式
恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该
容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）
13.已知随机变量，若，则 .
14.已知向量，，若向量与垂直，则__________.
15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为 .
16.若函数在上单减，则实数的取值范围为 ．
三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）
17（本小题满分12分）.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．
经常锻炼 不经常锻炼 总计
男 35
女 25
总计 100
已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为．
(1)完成上面的列联表；
(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
附：.
18（本小题满分12分）.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，
其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职
工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
19（本小题满分12分）.如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求二面角的余弦值．
试题卷，请勿答题
20（本小题满分12分）.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点 .
(1)求抛物线方程;
(2)若直线 与抛物线交于 两点，且满足 ，求证: 直线恒过定点，并求出定点坐标.
试题卷，请勿答题
21（本小题满分12分）.已知函数.
(1)当时，试讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，证明：.
试题卷，请勿答题
22（本小题满分10分）．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，直线的参数方程为(为参数，)，且直线与曲线交于A、两点，求的值．
试题卷，请勿答题列五高级中学校2023-2024学年高三上学期10月阶段性考试（一）
理科数学答案
一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）
1. 选B. 2.选C. 3.选B. 4.选C. 5.选A. 6. 选D.
7.选B 8.选A. 9.选D.
10.解：一类：，有种不同的方法
二类：，有种不同的方法；
三类：，有种不同的方法
综上，共有种不同的方法， 选A.
11.解：设时，，由已知，
又 综上，
不等式对任意的恒成立
对任意的恒成立对任意的恒成立
对任意的恒成立，又
对任意的恒成立 【不断化简】
对任意的恒成立 选D.
12.解：将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，
则如图，水最少的临界情况为，水面为面，
水最多的临界情况为多面体，水面为，
因为，
，
所以，即. 选：A.
二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）
13.答案为：16. 14. 答案7.
15.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为 .
解：如右图，
因为，则，
设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
16.若函数在上单减，则实数的取值范围为 ．
解：， 当时，在为增函数，
当时，由得，故的单调减区间为，
因为在上单减，所以，解得. 答案为：
三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）
17解：（1）设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则，解得．……………3分
列联表完成如下
经常锻炼 不经常锻炼 总计
男 35 25 60
女 15 25 40
总计 50 50 100
……………………………3分
（2）由（1）可知，，………………4分
因为，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．………2分
18（本小题满分12分）.
解：（1）由题意得， 解得．……………3分
（2）由题意知样本的平均数为，所以．…2分
又，所以．
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．…………2分
（3）对应的频率比为，即为，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，………………1分
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为， 则的所有可能取值为0，1，2，
，，，…………2分
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．………………………2分
19（本小题满分12分）.
解：（1）连接，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面平面，所以平面，
在矩形中，，
同理可得平面，又，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面；……………………………4分
（2）过点做交于点，连接
由题可知平面，且，所以平面
则，又，平面，
所以平面， ∴在平面内射影为，
则即为与平面所成的角，所以
在中，由可知 则，，………2分
以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于平面为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为， 则，即，
令，则，所以，
设平面的法向量为， 则，即，
令，则，，所以，
所以，…………………………………………………………4分
因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为.……2分
20（本小题满分12分）.
解：（1）由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为 ，
因为经过点 ， 所以 ，解得
所以，抛物线的标准方程为: .……………………4分
（2）如图，设直线的方程为: ，
联立方程
消有：
由于交于两点，设 ，
则 ，即，
，………………………………………………4分
由 .
则 .
解得: ，验证满足条件.
所以直线的方程为 ，
即证直线恒过定点.…………………………………………………4分
21（本小题满分12分）.
解：（1）当时，定义域为，
，
令解得或，且当或时，，当时，，
所以当或时，单调递增，当时，单调递减，
综上在区间，上单调递增，在区间单调递减.……………………4分
（2）由已知，可得，
函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
又，，………………………………………………………………………2分
所以
，
要证，即证， 只需证，…………2分
令，， 则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得， 即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
又由对勾函数知在上单调递增， 所以
所以，即得证.………………………………………………………4分.
22（本小题满分10分）．
解：（1）曲线的参数方程为为参数），
则，即，
两式相减，可得曲线的直角坐标方程：……………………………4分
（2）直线与曲线交于A、两点，
设A，两点对应的参数为，，直线的方程可转化为，……………2分
代入，
得，则，则，
.………………………4分
