参考答案：
1—4：CBDA 5—8：ABBA
8.【详解】如图，根据题意，该正方体的外接球半径为 R = 3
由题意，取 BB1的中点 N ，连接CN ,DN ,DO
以D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
C(0,2,0),D(0,0,0),N (2, 2,1),B(2, 2,0),M (1, 2,2),O(1,1,1)
CN = (2,0,1),BM = (-1,0,2),DC = (0, 2,0)
CN ×BM = 2 (-1)+ 0 0+1 2 = 0，
BM ×DC = -1 0+ 0 2+ 2 0 = 0
则CN ^ BM ，DC ^ BM
又CD,CN 平面DCN，CD CN = C
\BM ^平面DCN
\点 P的轨迹为平面DCN 与外接球的交线
DO×BM -1 1+0 1+ 2 1
O DCN d d 1设点 到平面 距离为 ，则 = = =
BM 5 5
\O 1到过平面DCN 距离 d =
5
r R2 d 2 3 1 14\截面圆的半径 = - = - =
5 5
\点 P C 2p r 2 70的轨迹周长为 = = p
5
9．ABD
10．ACD
11．BD
12．AC
12.【详解】
则D(0,0,0)， A(2,0,0)， B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,2,0)， F (0,2,0)，
设 P(2, t, 2),0 < t < 4，
则DP = (2,t, 2)，EP = (0,t - 2,2)，DF = (0,2,0)，DE = (2,2,0)，FP = (2,t - 2,2)，
BP = (0,t - 4,2)，
取平面 PEB的一个法向量为m = DA = (2,0,0)，
设平面 PDF的法向量为 n = (x1, y1, z1)，
ì n× D F
ìy = 0
则
= 0
1 ，取 n = (2,0,-2 ，
n×DP = 0 x1 + z
)
1 = 0
设平面 PDE的法向量为 p = (x2 , y2 , z2)，
ì p× D P = 0
ì2x2 + ty2 +2z2 = 0 p 则 ，取 = 2,-2,t - 2 ，
p×DE = 0 x
( )
2 + y2 = 0
设平面 PFB的法向量为 q = (x3 , y3 , z3)，
ì q×FP = 0 ì2x3 +(t - 2 ) y3 +2z3 = 0 则 ，取 q = (2,-2,t - 4 ，
q×BP = 0 (t - 4) y3 + 2z
)
3 = 0
A：设直线 PE与平面 PDF 所成角为β，
EP n ×
则 sinb = cos EP, n 4 2= = = ，EP × n 4 + 4× (t - 2)2 + 4 (t - 2)2 + 4
2 2
0＜t＜2时，函数 y＝ 单调递增，2＜t＜4时，函数 y＝ 单调递减，
(t - 2)2 + 4 (t - 2)2 + 4
∴当 t＝2时，即 P是 A1B1中点的时候，sinβ取最大值，故 A正确.
B：设直线 PD与平面 PEB所成角为α，
DP m ×
则 sina = cos DP,m = 4 2 = = ，DP ×m 2 t 2 +8 t 2 +8
2
∵0＜t＜4时，函数 y = 单调递减，没有最大值，故 B错误.
t 2 +8
C：设平面 PDE与平面 PFB的夹角为θ，
p ×q 2
则 cosq = cos p×q t - 6t +16= =p × q 8+ (t - 2)2 × 8+ (t - 4)2
t 2 - 6t +16
下面研究函数 y = 在 t∈(0，4)上的单调性：
8+ (t - 2)2 × 8+ (t - 4)2
令 t－3＝s， (t -3)2 = s2 = r，
t 2 - 6t +16 = (t - 3)2 +7 = s2 +7，
8+ (t - 2)2 ＝8+[(t - 3)+1]2 = 9 + (t - 3)2 + 2 (t - 3)= 9 + s2 + 2s ，
8+ (t - 4)2 8+[(t - 3)-1]2＝ = 9 + (t - 3)2 - 2 (t - 3)= 9 + s2 - 2s ，
则
8+ (t - 2)2 × 8+ (t - 4)2 = (9 + s2 + 2s)(9 + s2 - 2s)
( 2)2= 9+ s - 4s2 = s4 +14s2 2+81= (s2 +7) +32 ，
t 2 - 6t +16 s2 +7
∴ y = =
8+ (t - 2)2 × 8+ (t - 4)2 (s2 2+7) +32
1 1 1
= = = ，
( 2s2 +7) +32 1 32 32+
( 2 2
1+ 2
( 2s2 +7) s +7)
(r +7)
t∈(0，4)， r = (t - 3)2在 t (0,3)递减，在 t (3,4)递增，且 r [0,9)，
y 1又 = 在 r 0,9 时递增，
1 32
[ )
+
(r +7)2
t 2y - 6t +16故由复合函数单调性判断原理可知 = 在 t (0,3)递减，在
8+ (t - 2)2 × 8+ (t - 4)2
t (3,4)递增，则 cosθ在 t＝3时取最小值，此时θ最大，即平面 PDE与平面 PFB的夹角
取到了最大值，故 C正确.
D：设平面 PDF 与平面 PEB的夹角为φ，
m ×n
则 cosj cos m , n 4 2= = = = ，即j = 45 为定值，故 D错误.m × n 2× 4 + 4 2
故选：AC.
13．过点（﹣1，﹣2）斜率为 3的直线方程是 3x-y+1=0 ．
【分析】根据直线的点斜式方程，列方程即可．
【点评】本题考查了直线的点斜式方程，是基础题．
14. 24
15．已知 O为坐标原点，直线 l1：x+my﹣2＝0与 l2：mx﹣y+2m＝0 交于点 P，则|OP|的值
为 2 ．
【分析】根据两直线经过定点，即可根据 m≠0和 m＝0，利用斜率得垂直关系即可分情
况求解．
【解答】解：直线 l1过定点 A（2，0），l2过定点 B（﹣2，0），
当m≠0时，两直线的斜率分别为 ，k2＝m，k1k2＝﹣1，故AP⊥BP，从而 ；
当 m＝0时，易求得 P（2，0），此时|OP|＝2，
综上可知，|OP|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查直线的位置关系相关知识，属于基础题．
81
16． /40.5
2
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算，可求
m1 +m2 + +m27 的值.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0,0,0)， A2 (1,0,0)， A3 (1,1,0)，
A4 (0,1,0)， A5 (0,0,1)， A6 (1,0,1)， A7 (1,1,1)， A8 (0,1,1)，
设向量 A1Aj = (x, y, z)，而 A1A7 = (1,1,1)，
故m j = A1Aj ×A1A7 = x + y + z，故m1 +m2 + +m27 表示各点的坐标和的和.
现各点的横坐标之和为 X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为 Z ，
1 27
根据对称性可得 X = Y = Z = 1 9+ 9+ 0 9 = ，
2 2
27 81
故m1 +m2 + +m27 = 3 = ，2 2
81
故答案为： .
2
【点睛】方法点睛：对于一些较为复杂的计算问题，如果直接算比较麻烦，则可以换一个等
价的计算方法，从而使得问题得以简化.
17. (1) x - 4y - 4 = 0 （2） x - y -1= 0
7 - 6 1
【详解】（1）由 B、C两点的坐标可得 kBC = = ，8- 4 4
1
因为待求直线与直线 BC平行，故其斜率为 k = kBC = 4
1
由点斜式方程可得目标直线方程为 y = x - 4
4( )
整理得 x - 4y - 4 = 0 .
y - 3 x - 4
（2）AC中点坐标为（4,3），所以两点式方程为 = ，所以直线方程为 x-y-1=0.
7 - 3 8- 4
1 1
18. 【详解】（1） AE = AB +BC +CE = AB + AD + AA1 = a +b + c2 2
7
（2）
21
19.（1）令 n = xm + ya + zb
2
\n×a = xm×a + ya + za×b = 0
2
n×b = xm×b + ya×b + zb = 0
ì 2 ya + za b 0 ①
又 m×a = 0,m×b = 0, \í
2 ya b zb = 0 ②
2 2
方法一：①× y +②× z = y 2a + z 2b 2yza×b = 0
\(ya + zb)2 = 0
又 a,b 不共线，\ y = z = 0.
\n = xm 即， n∥m
方法二：若 y, z 不全为 0，不妨设 z 0
2
y a×b
由①② 可得： = - 2 = -
b
z a a×b
2 2
\(a×b)2 = a ×b
\a b a b ，即 a,b共线
\ y = z = 0
\n = xm 即， n∥m
（2）已知：如图，a ^g，b ^g，a b =a ，求证： a ^g .
证明：如图，取平面a 的法向量 n1 ，平面 b 的法向量 n2 ，平面g 的法向量 n3 ，
直线 a 的方量向量 a .
ìa ^g ìn ×n = 0
,\ 1 3 ，
b ^g n2 ×n3 = 0
ì n1×a = 0
又 a b = a,\í ，且 n1,n2 不共线
n2 ×a = 0
所以根据（1）结论， n3 a.
所以 a ^g .
20．(1)证明见解析
6a
(2)
3
【详解】（1）证明：∵PA^平面 ABCD，AB, AD 平面 ABCD，四边形 ABCD为正方
形，∴ PA^ AB,PA^ AD,AD ^ AB ，即 AP， AB， AD两两垂直，
分别以 AB， AD， AP所在直线为 x轴， y轴， z轴建立如题所示空间直角坐标系:
则 A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0) a， P(0,0,a)，M ,0,0 ，2
N a , a , a ，
2 2 2
a a
∴MN = 0, , ， ND a a a= - , ,- ，
2 2 2 2 2
PC = (a,a,-a)，CD = (-a,0,0)，
ì a a
y + z = 0 2 2
设平面MND的一个法向量为m = (x, y, z)，则 í ， a x a a - + y - z = 0 2 2 2
令 y = -1得 z =1， x = -2，∴m = (-2,-1,1)，
ìam +an - al = 0
设平面 PCD的一个法向量为 n = (m,n,l)，则 í ，有 n = 0,1,1)满足，
-am = 0
(
∵m×n = (-2) 0+(-1) 1+1 1= 0 ，
∴m^ n，
∴平面MND ^平面 PCD；
（2）由（1）知m = (-2,-1,1)为平面MND的一个法向量，且 PD = (0,a,-a)，
m×PD
所以 P到平面MND d 2a 6a的距离 = = = .
m 6 3
21．(1)证明见解析
3
(2)
5
【详解】（1）由底面 ABCD为菱形，得 BD ^ AC ，
又 BD ^ SC ,SC AC = C ,SC、AC 平面 ASC，∴ BD ^平面 ASC，
∵ SE 平面 ASC，∴ BD ^ SE，
又 AC ^ SD,SD AD = D,SD、AD 平面 BSD，∴ AC ^平面 BSD，
∵ SE 平面 BSD，∴ AC ^ SE，
又 BD AC = E,BD、AC 平面 ABCD，
∴ SE ^平面 ABCD；
（2）由（1）结论，可以以点 E坐标原点，以向量 EC,ED,ES 的方向分别为 x轴，y轴，z
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，取 EC =1，则 ED = ES = 3，
由DH = mDC，则 E(0,0,0),C (1,0,0),S (0,0, 3),D (0, 3,0)，
H (m , 3 - 3m ,0),ES = (0,0, 3),EH = (m , 3 - 3m ,0)
设平面 SHE的一个法向量为 n1 = (x1,y1,z1),
ì n1×ES = 0
ì 3z1 = 0
则由 ，
n1×EH = 0 m x1 +( 3 - 3m)y1 = 0
取 y1 = m ，则 x1 = 3m - 3, z1 = 0，
所以平面 SHE的一个法向量为 n1 = ( 3m - 3,m ,0)，
直线 SC的方向向量为 SC = (1,0,- 3)，
记直线 SC与平面 SHE所成角为θ，
n1×SC 3m - 3 7
则 sinq = cos n1,SC = = = ，n SC 21 ( 3m - 3) + m 2×2 7
3 3
解得 m = 或μ＝3(舍)，∴ m = .
5 5
22.（1）略
（2）存在，以{DA,DC,DD1} 为基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
\DA = (1,0,0),DC = (0,1,0),DD1 = (0,0,1)
设该平面法向量为 n = (x0 , y0 , z0 )
\ cos n,DA = cos n,DC = cos n,DD1
x y z
\ 0 = 0 = 0
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z20 0 0 0 0 0 0 0 0
\ x0 = y0 = z0
图中红蓝两部分即为满足题意的两种情况
E(1 ,0,1),F (0, 1 ,1),\EF = ( 1- , 1 ,0)
2 2 2 2
又 该平面过直线 EF ,\n×EF = 0, 1 x 1\- 0 + y0 = 02 2
\ x0 = y0
G(1, 1 ,0),H (1 ,1,0),C1(0,1,1)2 2
GH ( 1 1
\ = - , ,0),GC1 = (-1,
1 ,0) ，设平面C1GH 法向量为m = (a,b,c)2 2 2
ì 1 1
ì ìa = 2m×GH = 0 - a + b = 02 2 \ ,\ ,取a= 2,\ b= 2 ,\ m= (2, 2,1)
m×GC1 = 0 1-a + b + c = 0 c =1
2
设该平面与平面C1GH 夹角为q ，
n×m
①若x0 = y0 = z0 ，取 n = (1,1,1) ，\cosq
5 5 3
= cos n,m = = =
n × m 3×3 9
n×m
x y z , n (1,1, 1), cosq cos n,m 3 3②若 0 = 0 = - 0 取 = - \ = = = =
n × m 3×3 3
CGH 5 3 3所以该平面存在，且与平面 1 夹角的余弦值为 或 .9 32022级高二（上）期
十月质量监测数学试题
(120分钟150分命题人：数学备课组)
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.直线x+√3y+5=0的倾斜角为()
A.1209
B.60°
C.150%
D.30°
2.已知向量AB=(2,3,1),AC=(4,5,3),那么BC=()
A.（-2,-2,-2)B.（2,2,2)
C.(6,8,4)
D.(8,15,3)
3.已知{a,b,c是空间的一个基底，下列不能与m=a-6,n=b-c构成空间的另一个基底
的是()
A.a+b+c
B.a+c
C.a+6
D.a-c
4.直线ax+2y+4=0与直线×+(a-1)y+2=0平行，则a的值为()
A.a=-1
B.a=0
C.a=2
D.a=-1或a=2
5.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2,则PO.PA=（)
A号
B.v6
C.4v2
3
3
D.5
6.已知直线1过点P(13,1),且方向向量为m=10,-1),则点A(1-1-1)到1的距离为
()
A.4
B.32
C.25
D.3
7.已知A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线
AB反射回到P点，则光线所经过的路程为()
A.210
B.√26
C.33
D.6
8.设球O是棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D的外接球，M为B,C1的中点，点P在球
面上运动，且总有DP⊥BM则点P的轨迹的周长为()
A.270n
B.45π
C.23元
5
D.4
5
试卷第1页，共4页
二·多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下四个命题中错误的是()
A.向量a,6,若ab=0,则a⊥b
B.若空间向量m、n、p,满足mln,n∥p,则mln
C.对于空间向量m、n、p,满足m=n,n=p,则m=p
D.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若OP=2OA-2OB-OC,则P、
A、B、C四点共面
10.对于直线l:ax+2y+3a=0和直线2：3x+(a-1)y+3-a=0,以下说法正确的有
()
2
A.直线l2一定过定点
1
B.ll2的充要条件是a=3
c.若l12,则a=】
D.点P(1,3)到直线1的距离的最大值为5
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD为等边三角形，PA=
2,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PC上运动（不含端点），则下列说法错误的是
()
A,平面PAD⊥平面PCD
B.存在点M使得BD⊥AM
D
C.当M为线段PC中点时，过点A,D,M的平面交PB于点N,
则四边形ADMN的面积为3
D.BM+AM的最小值为2+2√2
12.在长方体ABCD-AB,CD中，AB=4cm,BC=|CC=2cm,E,F分别为AB,CD的
中点，P是线段AB(不含端点)上的任意一点，下述说法正确的是()
A.存在点P,使直线PE与平面PDF所成角取得最大值
B.存在点P,使直线PD与平面PEB所成角取得最大值
C.存在点P,使平面PDE与平面PFB的夹角取得最大值
D.存在点P,使平面PDF与平面PEB的夹角取得最大值
试卷第2页，共4页
