2023年初中毕业生学业水平调研测试
九年级数学
本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时90分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
3．（3分）体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．7m﹣3m＝4m B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（m﹣2）2＝m2﹣2m+4 D．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
6．（3分）如图，已知直线AB∥EF，EC与AB交于点C，若∠A＝23°，∠ADE＝59°，则∠E的度数为（ ）
A．23° B．59° C．36° D．31°
7．（3分）如图，AB∥x轴交反比例函数的图象于点A，交y轴于点B，连接OA、OB，S△OAB＝3，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．6 D．﹣6
8．（3分）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）
A．（6，2） B．（2，6） C．（2，4） D．（4，2）
9．（3分）已知直线l：y＝x，点P在直线l上，点A（2﹣，0），点B（2+，0），若△APB是直角三角形，则点P的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是边BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转（点E不与A，B重合）时，给出以下5个结论：①AE＝PF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP；⑤∠ABP＝∠APF．上述结论始终正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a2﹣4b2＝ ．
13．（3分）一元二次方程x2+2x＝4的两个根分别是x1和x2，则x1 x2的值是 ．
14．（3分）如图所示，小明在A处看山顶C的仰角为30°，在B处看山顶C的仰角为45°，若山高120米，AB距离为 m（，，结果取整数）．
15．（3分）如图，点P为等边三角形ABC外一点，连接PA，PB，PC，若PA＝7，PB＝9，∠APB＝30°，则PC的长是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：（﹣3）2+2×（﹣1）﹣|﹣2|．
17．（8分）先化简，然后在0，1，2中选一个合适的值代入．
18．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为 人，将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中A部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有1800名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数．
19．（9分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；
（2）求建筑物MN的高度．
20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形．
（2）若DC＝2，BD＝，求四边形AEBD的面积．
21．（9分）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
22．（12分）如图1，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）求证：△CAB∽△CED；
（2）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD＝2，求⊙O的半径．
23．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C′关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．
2023年广东省江门市蓬江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣的倒数是﹣3．
故选：C．
2． 解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．
故选：B．
3． 解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4． 解：A.7m﹣3m＝（7﹣3）m＝4m，故正确，不符合题意；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3 （m2）3＝﹣8m6，故正确，不符合题意；
C．（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故不正确，符合题意；
D．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1，故正确，不符合题意；
故选：C．
5． 解：A、两点之间，线段最短，故选项A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故选项B符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故选项D不符合题意；
故选：B．
6． 解：∵∠A＝23°，∠ADE＝59°，∠ADE是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠ADE﹣∠A＝36°，
∵AB∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝36°．
故选：C．
7． 解：由反比例函数的几何意义得，
S△OAB＝＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：D．
8． 解：过点B作BD⊥x轴于D，
∵A（2，0），C（0，4），
∴OA＝2，OC＝4，
∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，
∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，
∴∠ACO＝∠BAD，
在△AOC和△BAD中，
，
∴△AOC≌△BAD（AAS），
∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，
∴OD＝AD+OA＝6，
∴C（6，2）．
故答案为：A．
9． 解：①如图，当∠A为直角时，过点A作AP交函数y＝x于点P，连接BP，
所得△ABP即为直角三角形；
②如图，当∠B为直角时，过点B作BP交函数y＝x于点P，连接AP，
所得△ABP即为直角三角形；
③如图，以AB 为直径作圆，
设D为AB中点，
∵点A（2﹣，0），点B（2+，0），
∴点D（2，0），
∴⊙D的半径为，
过点D作DP⊥OP于点P，连接AP，BP，
∵∠OPD＝90°，∠POD＝45°，
∴∠PDO＝∠POD＝45°，
∵OD＝2，
∴DP＝，
∴点P在⊙D上，即：
以AB为直径的⊙D与函数y＝x只有一个交点P，
∴∠APB＝90°（圆周角定理）【如果没学圆周角定理可继续看下面另一种解法】
∵DA＝DP＝DB，
∴∠DAP＝∠DPA，∠DPB＝∠DBP，
∵∠DAP+∠DPA+∠DPB+∠DBP＝180°，
∴∠DPA+∠DPB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴△ABP为直角三角形，
综上，点P的个数为3个，
故选：C．
10． 解：①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴∠BAP＝∠C＝45°，AP＝CP，
∵∠EPF是直角，
∴∠APE+∠APF＝∠CPF+∠APF＝90°，
∴∠APE＝∠CPF，
在△AEP和△CPF中，
，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴PE＝PF，
当点E不是AB的中点时，PE≠AE，
此时AE≠PF，
故①错误；
②∵PE＝PF，∠EPF＝90°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
故②正确；
③∵△AEP≌△CPF，
∴S△APE＝S△CPF，
∴S四边形AEPF＝S△APC，
∴S四边形AEPF＝S△ABC，
故③正确；
④根据等腰直角三角形的性质，EF＝PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF＝PE＝AP，
故④错误；
⑤∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
当PF不是∠APC的平分线时，∠APF≠45°，
此时∠ABP≠∠APF，
故∠⑤错误；
故②③正确，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：∵二次根式有意义，
∴a﹣3≥0，
解得a≥3，
故答案为：a≥3．
12． 解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
13． 解：∵x2+2x＝4，
∴x2+2x﹣4＝0，
∵一元二次方程x2+2x＝4的两个根分别是x1和x2，
∴x1 x2＝＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14． 解：由题意得∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝120，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝45°，CD＝120，
∴BD＝CD＝120（米），
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，CD＝120，
∴AD＝＝＝120（米），
∴AB＝AD﹣BD＝120﹣120≈88（米），
故答案为：88．
15． 解：把PB绕点B顺时针旋转60°，连接PQ，AQ，
则PB＝QB，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴∠QPB＝60°，PQ＝PB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴∠PBC＝∠QBA＝60°+∠PBA，
∴△PBC≌△QBA（SAS），
∴PC＝QA，
∵∠QPB＝60°，
∴∠APQ＝90°，
又AP＝7，PB＝PQ＝9，
∴PC＝AQ＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝9+2﹣2﹣2
＝7．
17． 解：原式＝ ＝ ＝，
当x＝2时，原式＝2．
18． 解：（1）调查人数为：45÷25%＝180（人），
选择B的人数为：180﹣50﹣45﹣25＝60（人），补全条形统计图如下：
故答案为：180；
（2）样本中选项A所对应的圆心角为360°×＝100°，
答：扇形统计图中A部分扇形所对应的圆心角的度数为100°；
（3）1800×＝250（人），
答：该校1800名学生中选择D小组的学生大约有250人．
19． 解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．
∵tan∠PAD＝＝，PD＝5，
∴AD＝15，PA＝＝5（米），
∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．
（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，
∴∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，
在Rt△AMN中，∵tan60°＝，
∴MN＝AM，
∴x+5＝（x﹣15）
解得x＝（10+25）（米），
∴MN＝x+5＝（10+30）米．
20． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AE＝BD＝，AB⊥DE，AF＝FB＝1，EF＝DF，
∴EF＝＝3，
∴DE＝6，
∴S菱形AEBD＝ AB DE＝×2×6＝6．
21． 解：（1）设甲商品每件的进价是x元，乙商品每件的进价是y元，根据题意得，
，
解得：，
答：甲商品每件的进价是40元，乙商品每件的进价是60元；
（2）解：设购进甲商品a件，则购进乙商品（50﹣a）件，根据题意得，
，
解得：24≤a≤26，
∵a为正整数，故a＝24，25，26，
∴有三种进货方案，
方案一：购进甲商品24件，乙商品26件；
方案二：购进甲商品25件，乙商品25件；
方案三：购进甲商品26件，乙商品24件；
22． （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△CAB∽△CED．
（2）解：直线CE与⊙O相切，证明如下：
连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠DAC＝∠AEO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE，
∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠AEO+∠DEC＝90°，
∴∠OEC＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EC，
∵OE为半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（3）∵点E落在线段AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴∠DAC＝∠ECA，
由（1）得∠DAC＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠ECA＝∠DCE．
在Rt△ACD中，∠DAC+∠ECA+∠DCE＝90°，
∴∠DAC＝∠DCE＝30°，
∴，，AC＝4，
∴，
∵OA＝OE，
∴∠DAC＝∠AE0＝30°，
∴∠AEO＝∠ACE，
又∵∠EAO＝∠CAE，
∴△EAO∽△CAE，
∴，
∴，
解得．
23． 解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），
∴，解得：，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，
∴∠ACD＝∠EBO，
在Rt△ACO和Rt△DBO中，
，
∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），
∴OA＝OD，
解﹣x2+2x+3＝0，
得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴D（0，1），
由B（3，0），D（0，1）的坐标得，直线BD的解析式为：y＝﹣x+1；
（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，
∵抛物线对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴CC′＝2，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∴∠C′CB＝45°，
∵C′H⊥BC，CC′＝2，
∴C′H＝CH＝，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，
∴BH＝3＝2，
∴tan∠CBC′＝，
∵∠MBA＝∠CBC′，
∴tan∠MBA＝＝，
∴ON＝，
∴N（0，）或N（0，﹣），
当N（0，），如图：
由点B、N的坐标得，直线BN解析式为：y＝﹣x+，
解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，
解得：x＝﹣或3（舍去），
∴M的横坐标为﹣；
当N（0，﹣），如图：
同理可得，直线BN解析式为：y＝x﹣，
解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，
解得：x＝3（舍去）或﹣，
∴M的横坐标为﹣，
综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．
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