2023-2024学年河南省鹤壁市淇滨区兰苑中学九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.要使式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 或 D. 且
2.关于的方程：；；；其中一元二次方程的个数是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.用配方法解方程时，配方后正确的是( )
A. B. C. D.
5.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
6.已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是( )
A. B. C. D.
7.估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
8.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图是某公园在一长，宽的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为，则满足的方程为( )
A. B.
C. D.
10.如图：长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合．折痕为，则长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
12.若，且是的整数部分，则的值是______ ．
13.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
14.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：______．
15.在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为米的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______米．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
计算：
； ．
17.本小题分
解方程：
用配方法； ．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论为何值，方程总有实数根；
若等腰三角形一腰长为，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．
20.本小题分
如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，，则正方形的边长为是多少？
21.本小题分
列方程组解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克元；
小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
22.本小题分
【阅读材料】像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
填空：的有理化因式为______；
化简：；
已知正整数，满足，求，的值．
23.本小题分
阅读理解：求代数式的最小值．
解：因为，
所以当时，代数式有最小值，最小值是．
仿照应用解决下列问题：
求代数式的最小值；
求代数式的最大值；
某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，当时，该方程不是一元二次方程；
属于分式方程；
符合一元二次方程的定义；
是一元二次方程，
综上所述，其中一元二次方程的个数是个．
故选：．
根据一元二次方程的定义解答即可．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3.【答案】
【解析】解：二次根式的被开方数是负数，无意义，故此选项不符合题意；
B.，故此选项不符合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的运算法则以及合并同类项法则、完全平方公式分别判断得出答案．
本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根是，
根据根与系数的关系，得，
解得，
故选：．
根据与系数的关系先求出．
此题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系式是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：原式，
，
，
．
故选：．
先计算出原式得，再根据无理数的估算可得答案．
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据方程的两实数根为，，得出与的值，再根据，即可求出的值．
【解答】
解：方程的两实数根为，，
，，
，
，
整理得：，解得：，，
方程有两个实数根，
，
整理得：，解得：，
．
故选：．
【点评】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，难度适中，掌握，是方程的两根时，，是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：若设人行观景曲桥的宽为，、
根据题意得：，
故选：．
分别表示出长和宽，根据矩形的面积公式列方程即可．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出矩形的长和宽，难度不大．
10.【答案】
【解析】解：设，则，，
在中，，即．
解得：．
故选：．
注意发现：在折叠的过程中，，从而设即可表示，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求解．
此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．
11.【答案】
【解析】【分析】
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：是的整数部分，
，
，
即，
，
，
解得，
故答案为：．
先求得，代入求得，据此即可求解．
本题考查了无理数的估算，二次根式的运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
13.【答案】且
【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得且．
故答案为：且．
先根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题可得，，，
，，，
，
故答案为：．
依据数轴即可得到，，，即可化简．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
15.【答案】
【解析】解：雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比等于下部与全部的高度比，
该雕像的下部设计高度，
故答案为：．
根据黄金分割的定义可得：该雕像的下部设计高度全部高度，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：移项得：，
配方得：，即，
开方得：或，
，；
，，，
，
，
，．
【解析】方程移项后，利用配方法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：原式，
，
．
，
原式．
【解析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入即可求出结论．
本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；
解：等腰三角形一腰长为，
另外一边长度为，
方程一个根为，
，
解得，
方程为，
，
解得，，
故的周长．
【解析】先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
依题意方程一个根为，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
20.【答案】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
点是的中点，
，
由翻折的性质可得：，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，，，
在中，，
，
解得：舍或，
．
【解析】连接，根据正方形的性质可得，，再由翻折的性质可得，，，从而可证≌，即可得，设，则，，，利用勾股定理可得，即可求出结果．
本题考查正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及解一元二次方程，综合运用相关知识是解题的关键．
21.【答案】解：设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为元．
答：水果的销售价为每千克元时，超市每天可获得销售利润元．
【解析】设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：的有理化因式为；
原式
；
原式可化为，
，
，
，，
．
阅读材料可直接得出结果；
先分母有理化，再合并同类项；
先去括号，化为，根据等式恒等性列式计算．
本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键．
23.【答案】解：由题意，，
当时，代数式的最小值为．
由题意，，
当时，代数式的最大值为．
由题意可得，花园的面积为：，
当时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是，的长是，
即当时，花园的面积最大，最大面积是．
【解析】依据题意，由，从而可以判断得解；
由，从而可以得其最大值；
先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．
第1页，共1页
