2023-2024第一学期九年级10月学情诊断数学试卷
考试时间：90分钟 分值：100分
一.选择题（共10小题，每题3分共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
3.若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4.下列方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
5.在四边形ABCD中，，.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A. 5m B. 70m C. 5m或70m D. 10m
7.向阳村2010年的人均年收入为12000元，2012年的人均年收入为14520元.设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作，，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（ ）
A.若AD平分，则四边形AEDF是菱形
B.若，则四边形AEDF是菱形
C.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D.若，则四边形AEDF是矩形
9.如图，在矩形ABCD中，，M为AB的中点，连接MD，E为MD中点，连接BE、CE，若为直角，则AB的长为（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 5
10.如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：.设，.若，则图中阴影部分的周长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 20
二.填空题（共5小题，每题3分共15分）
11.如果，是方程的两根，则______.
12.已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______.
13.如图，在矩形OABC中，点B的坐标为，则AC的长是______.
14.有一个人患了流感，两轮传染后共有121人患了流感，则平均每人传染______人.
15.小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是______.
三.解答题（共7小题，共55分）
16.（3+3+3=9分）用恰当的方法解下列方程：
（1） （2）；
（3）.
17.（1+4=5分）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米.
（1）______米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB.
18.（3+3=6分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E.
（1）求证：；
（2）连接OE，若，，求OE的长.
19.（2+4+3=9分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件.为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件.
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到______件，每天共盈利______元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由.
20.（4+1+2=7分）如图，矩形ABCD中，，，点M，N分别为AB，CD上一点，且，连接MN，DM，BN.
（1）当时，求证：四边形DMBN是菱形；
（2）填空：
①当______时，四边形DAMN是矩形；
②当______时，以MN为对角线的正方形的面积为.
21.（1+2+3+3=9分）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为，所以5是“完美数”.
【解决问题】
（1）数53______“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知，则______；
（3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
【拓展结论】
（4）已知实数x、y满足，求的最大值.
22.（4+3+3=10分）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q.
探究：设A、P两点间的距离为x.
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置.并写出相应的x值，如果不可能，试说明理由.
2023-2024学年九年级上学期10月月考试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1.【解答】解：A.是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.是二元一次方程，选项B不符合题意；
C.是一元二次方程，选项C符合题意；
D.是分式方程，选项D不符合题意.
故选：C.
2.【解答】解：，
，
，
，
故选：D.
3.【解答】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，，
，，，，
在中，由勾股定理得：（cm），
，
∴菱形ABCD的面积（cm2），
故选：A.
4.【解答】解：A.，，，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B.，，，
，
∴原方程有两个相等的实数根，符合题意；
C.，，，
，
∴原方程没有实数根，不符合题意；
D.，，，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，不符合题意.
故选：B.
5.【解答】解：A、，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C.，
，
，
，
，，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
，
，，
，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D.，
，，
，
，
，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C.
6.【解答】解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m.
故选：A.
7.【解答】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
.
故选：B.
8.【解答】解：A、若AD平分，则四边形AEDF是菱形；正确；
B、若，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；
D、若，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选：A.
9.【解答】解：连接AE，过点E作于F，并延长FE，交BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，，
，，，，
，
∴四边形ABHF是矩形，
∵E为MD的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
为AB的中点，
，
，
，
，
故选：C.
10.【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，，，
，，，
∴，
，
∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，
，
整理得：，
，
，
，
，
∴阴影部分的周长为：.
故选：C.
二.填空题（共5小题）
11.【解答】解：，是方程的两根，
，
故答案为：6.
12.【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为1，设方程的另一根为t，
，
，
即另一个根为.
故答案为：.
13.【解答】解：连接OB，过B作轴于M，
∵点B的坐标是，
，，
由勾股定理得：，
∵四边形OABC是矩形，
，
，
故答案为：13.
14.【解答】解：设平均每人传染x个人，
由题意得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：平均每人传染10人.
故答案为：10.
15.【解答】解：过点G作于N，过点F作于M，
∵在边长为2的正方形ABCD内作等边，
，，，
，，
设，
，，
，，
，
解得：，
，
同理：，
.
故答案为：.
三.解答题（共7小题）
16.【解答】解：（1）方程移项得：，
配方得：，即， ……1分
开方得：， ……2分
解得：，； ……3分
（2）方程移项得：，
分解因式得：， ……1分
所以或， ……2分
解得：，； ……3分
（3）方程移项得：，
分解因式得：， ……1分
所以或， ……2分
解得：，. ……3分
17.【解答】解：（1）篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为x米，
长BC为米.
故答案为：；
（2）根据题意得：， ……2分
整理得：，
解得：，. ……3分
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意 ……4分
答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米. ……5分
18.【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，，，
.
.
四边形ACED是平行四边形. ……1分
. ……2分
在矩形ABCD中，，
. ……3分
（2）解：作于H，如图.
在矩形ABCD中，，且AC与BD交于点O，
.
.，
，，
，. ……4分
在平行四边形ACED中，.
.
. ……5分
在中，. ……6分
19.【解答】解：（1）降价5元，销售量达到件，
当天盈利：（元）；
故答案为：40，1800； ……2分
（2）根据题意，得：， ……3分
解得：或， ……4分
该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选， ……5分
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元； ……6分
（3）根据题意可得， ……8分
整理得到：.
由于， ……8分
所以该方程无解.
故商场日盈利不可以达到2200元. ……9分
20.【解答】（1）证明：如图1，四边形ABCD是矩形，，，
，，，
，
，
， ……1分
，
∴四边形DMBN为平行四边形， ……2分
，
， ……3分
∴四边形DMBN为菱形. ……4分
（2）解：（1）如图2，，
∴当时，四边形DAMN是平行四边形，
，
∴当时，四边形DAMN矩形，
由（1）得，
，
，
，
∴当时，四边形DAMN矩形，
故答案为：4. ……5分
②如图3，以MN为对角线的正方形是正方形MFNG，连接FG，
，，
.
，
作于点E，则，
∴四边形ADNE是矩形，
，，
，
，
，
，
解得或，
当或，以MN为对角线的正方形的面积为，
故答案为：或. ……7分
图3
图2
图1
21.【解答】解：（1）根据题意得：.
故答案为：是. ……1分
（2）已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则：.
故答案为：1. ……3分
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
， ……5分
是完美数，
是完全平方式，
. ……6分
（4）
，即， ……7分
， ……8分
当时，最大，最大值为2. ……9分
22.【解答】解：（1），（1分）
过P点作分别交AB、DC于点M、N，
在正方形ABCD中，AC为对角线，
，
又，
， ……2分
，
；
又，
， ……3分
在与中，
，（4分）
.
（2）.
，
，
，
又， ……5分
，
， ……6分
.（）.（7分）
（3）可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
，此时，.（8分）
②当点Q在DC的延长线上，且时，（9分）
有：，，，
，
当时，.（10分）
