2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图是一个机器的零件，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．主视图、左视图与俯视图均不相同
2．已知关于x的一元二次方程x2+2m＝4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2 B．m＜2 C．m≥0 D．m＜0
3．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
6．小张用手机拍摄得到图（1），经放大后得到图（2），图（1）中线段AB在图（2）中的对应线段是（ ）
A．FC B．EH C．EF D．FH
7．已知反比例函数的图象经过点（2，3），下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（1，5） B．（4，2） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2）
8．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二、三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为（ ）
A．80（1+x） 2＝340
B．80+80（1+x）+80（1+2x）＝340
C．80（1+x）3＝340
D．80+80（1+x）+80（1+x） 2＝340
9．如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是（ ）
①AC⊥BE；
②△BCG∽△GAD；
③点F是线段CD的黄金分割点；
④CG+DG＝EG．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
10．如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，F是DE的中点，连接AF，BF，EF，EE′，AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′；②AE＝OE；③tan∠ADE＝﹣1；④C△ADE﹣C△ODE＝；⑤S四边形AEFB＝．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③⑤ D．③④⑤
二．填空题（共5小题，满分15分）
11．已知a，b，c是非零实数，且，则k的值为 ．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为﹣1，则另一个根为 ．
13．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝15米，那么该古城墙的高度是 米．
14．如图，点A、B是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点，过点A、B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（﹣1，0），BD＝2，S△BCD＝S△AOC，则k＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝ °．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣3＝0的变形：
变形 m n p
（x+1）（x﹣5）＝﹣2 ﹣1 5 ﹣2
x（x﹣4）＝3 0 4 3
（x﹣1）（x﹣t）＝6 1 t 6
（x﹣2）2＝7 2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 ；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），则的值为 ．
17．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1个是白球，1个是红球的概率．
18．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（B，C，D，E均在同一平面内）．已知斜坡CD的坡度（或坡比）i＝4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（参考数据：sin24°＝0.41，cos24°＝0.91，tan24°＝0.45）
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．
20．如图，有一块长30m、宽20m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田地分成六块种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的，求道路的宽为多少m？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形AOBC为矩形，且OA＝4，AB＝8，连接AC，将△ABC以AC边为对称轴折叠得到△AB′C，且AB′交x轴于点E．
（1）求证：AE＝EC；
（2）点P为线段AC上一动点，连接PB′、PE，当PB′+PE的值取到最小值时．
①求PB′+PE的最小值；
②当PB′+PE的值取到最小值，过该点P的直线与直线AB相交且交点为M，并使得△APM为等腰三角形，求点M的坐标．
22．（1）如图1，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（m＞0）交点为A、B，AC⊥x轴于C点，∠AOC＝30°，OA＝2．
①求m的值；
②点P在y轴上，如果S△ABP＝3k，求点P的坐标；
（2）如图2，过原点的直线交双曲线y＝于A、B两点，点C在第四象限，△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，AC交x轴于D，AD＝CD，求C点坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：该几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层的中间是一个矩形；俯视图是两个同心圆．
故选：A．
2．解：∵x2+2m＝4x，
∴x2﹣4x+2m＝0，
根据题意，得：Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＞0，
解得m＜2，
故选：B．
3．解：根据题意，可得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，
所以B不成立．
故选：B．
4．解：（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选：C．
5．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinA＝cosB＝＝；cosA＝＝；tanB＝＝．
故选：B．
6．解：由位似变换的性质可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选：C．
7．解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点P（2，3），
∴k＝2×3＝6，
A、1×5＝5；
B、4×2＝8；
C、（﹣2）×（﹣3）＝6；
D、3×（﹣2）＝﹣6，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
8．解：设月平均增长率为x，则根据题意可得方程为：
80+80（1+x）+80（1+x） 2＝340．
故选：D．
9．解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD＝DF，DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
即∠DAG+DEF＝90°，
∴∠AGE＝90°，
即AC⊥BE，
故①正确；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC＝90°，
即△BGC是直角三角形，而△AGD显然不是直角三角形，
故②错误；
在Rt△FCB和Rt△FDE中，
∵∠BFC＝∠EFC，
∴Rt△FCB∽Rt△FDE，
∴，
∵BC＝AD＝DF，DE＝DC，
∴，
即DF2＝FC DC，
∴点F是线段CD的黄金分割点，
故③正确；
在线段EF上取EG′＝CG并连接DG′，如图，
∵DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，
∴∠DEG′＝∠DCG，
在△DCG和△DEG′中，
，
∴△DCG≌△DEG′（SAS），
∴DG＝DG′，∠CDG＝∠EDG′，
∵∠CDG＝∠GDA＝90°，
∠EDG′+∠GAD＝90°，
∴∠GDG′＝90°，
∴△GDG′是等腰直角三角形，
∴GG′＝DG，
∵EG′＝CG，
∴EG＝EG′+GG′＝CG+DG，
故④正确；
故选：D．
10．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，设EE′交AD于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，
∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌ABE，
∴DE＝DE′，AE＝AE′，
∴AD垂直平分EE′，故①正确，
∴EN＝NE′，
∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，
∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，
∴AE≠EO，故②错误
∴，故③正确，
∴AB＝AD＝AO＝2+，
∴，故④正确，
∴，，
∵DF＝EF，
∴，
∴，故⑤错误；
综上分析可知，正确的是①③④，故B正确．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分）
11．解：分为两种情况：①当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，
所以k＝＝＝﹣1，
②当a+b+c≠0时，
∵，
∴k＝
＝
＝
＝2，
所以k＝2或﹣1，
故答案为：2或﹣1
12．解：设方程的另一根为x1，
由根据根与系数的关系可得：x1 （﹣1）＝﹣2，
解得x1＝2．
故答案为：2．
13．解：根据题意，容易得到△ABP∽△CDP．
即＝
故CD＝×AB＝10；
那么该古城墙的高度是10米．
故答案为：10．
14．解：连接OB，
∵点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴S△BOD＝S△AOC＝|k|，
∵S△BCD＝S△AOC，
∴S△BCD＝k，
∴CD＝OC＝1，
∴OD＝2，
∵BD＝2，
∴B（﹣2，2），
∵B是反比例函数y＝（x＜0）图象上的点，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，
∴∠CDE＝∠B＝70°，BC＝CD，
∴∠B＝∠BDC＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠1＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．解：（1）x2﹣4x﹣3+6＝6，
x2﹣4x+3＝6，
（x﹣1）（x﹣3）＝6，
所以t＝3；
故答案为3；
（2）﹣1+5＝4，
0+4＝4，
1+3＝4，
2+2＝4，
所以m+n为一次项系数的相反数，
即m+n＝4；
故答案为m+n＝4；
（3）由（2）的结论得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，
所以m1+n1＝m2+n2，
即n1﹣n2＝﹣（m1﹣m2），
∴＝﹣1．
故答案为﹣1．
17．解：（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．
（2）将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（1个白球，1个红球）＝；
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．
18．解：延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，如图所示：
则四边形BMFC是矩形，
∵CF⊥DE，
在Rt△CDF中，∵＝，CF＝8，
∴DF＝6，
∴CD＝＝10，
∵四边形BMFC是矩形，
∴BM＝CF＝8，BC＝MF＝20，EM＝MF+DF+DE＝20+6+40＝66，
在Rt△AEM中，tan24°＝，
∴0.45＝，
解得：AB＝21.7（米），
答：建筑物AB的高度为21.7米．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE⊥AC，DE⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形OCED是矩形，
则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的面积为： AC BD＝×4×2＝4．
20．解：设道路宽为x米，则六块菜地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，
依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝×30×20，
整理，得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x1＝33（不合题意，舍去），x2＝2．
答：道路的宽为2m．
21．（1）证明：如图1，∵矩形AOCB中，AB∥OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
由折叠可得∠BAC＝∠CAB，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴AE＝EC；
（2）①如图2，连接BE交AC于P，
∵点B与点B′关于直线AC对称，
∴PB＝PB′，
∴PB′+PE＝PB+PE，
∴BE为PB′+PE的最小值，
∵OA＝4，AB＝OC＝8，
设AE＝EC＝x，则OE＝8﹣x，
在Rt△AOE中，AO2+OE2＝AE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，即EC＝5，
在Rt△BEC中，；
②设直线AC解析式为：y＝kx+b，直线BE解析式为y＝mx+n，
得，，
解得，，
∴直线AC：，直线BE：，
∴，
解得，
∴P（），
①若PA＝PM时，作PG⊥AB于G，
则AG＝GM，
∴AM＝2AG＝，
∴M1（，4）；
②若AP＝AM时，
∵PG＝4﹣＝，
∴AP＝，
∴M2（）或M3（）；
③若MA＝MP时，设MA＝MP＝a，
则MG＝﹣a，
在Rt△MGP中MG2+GP2＝MP2，
∴，
解得a＝，
∴M4（，4）．
综上，点M的坐标为（，4）或（）或（）或（，4）．
22．解：（1）①∵∠AOC＝30°，OA＝2，AC⊥OC，
∴AC＝1，OC＝AC＝，
∴点A（，1）
∴m＝×1＝；
②设点P（0，y）
∵y＝kx过点A（，1）
∴k＝，
∴y＝x，
∵
∴或
∴点B（﹣，﹣1）
∵S△ABP＝3k＝＝|y|×（+），
∴y＝±1，
∴P（0，1）或（0，﹣1）
（2）如图，过点C作CF⊥x轴于F，过点A作AH⊥y轴于H，AE⊥x轴于E，连接CO，
设点A（a，）
∴OH＝AE＝，AH＝a，
∵过原点的直线交双曲线y＝于A、B两点，
∴OA＝OB，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CO⊥AB，CO＝AO，
∴∠AOC＝90°＝∠HOF，
∴∠AOH＝∠COF，且AO＝CO，∠AHO＝∠CFO＝90°，
∴△AOH≌△COF（AAS）
∴CF＝AH＝a，OF＝OH＝，
∵AE∥CF，
∴△AED∽△CFD，
∴，且AD＝CD，
∴
∴a＝，
∴CF＝，OF＝2，
∴点C（2，﹣）
