2023-2024学年浙教新版八年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉祥物、美好愿望表现得淋漓尽致．下列窗花的图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．3，4，5 C．4，6，8 D．5，7，11
3．等腰三角形的两边长分别为4cm和10cm，则此三角形的周长是（ ）
A．18cm B．24cm C．20cm D．24cm或18cm
4．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．相等的角是同位角
D．等边三角形的三个内角都相等
5．如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF（ ）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（ ）
A．54° B．63° C．27° D．27°或63°
7．如图，AC⊥BE，∠A＝∠E，不能判断△ABC≌△EDC的条件是（ ）
A．BC＝DC B．∠B＝∠CDE C．AB＝DE D．AC＝CE
8．已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，要确定x的取值范围，列出的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，点E在∠C内部，且△ADE是等边三角形，∠CBE＝60°，若BC＝14，BE＝8，则AD的长是（ ）
A．4 B．4 C．3 D．2
10．已知△ABC中，AB＝1，BC＝4，以AC为边长作等边三角形ACD，连接BD，则BD的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．有下列四个命题：
①有公共顶点，没有公共边的两个角一定是对顶角；
②实数与数轴上的点是一一对应的；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果点P（x，y）的坐标满足xy＞0，那么点P一定在第一象限．
其中正确命题的序号是 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．已知AB的中垂线DE交AB于点D，交BC于点E，则BE的值是 ．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若有两边为4和5，则第三边为 ．
14．不等式组的解集是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，则∠CAE＝ ．
16．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝12cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是12cm，则∠AOB的度数是 ．
17．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，经过C点的直线l∥AB，点D在直线l上，且AD＝AB．作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，则∠DAF的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠C＝84°，BD是△ABC的角平分线，BD＝AD，则∠A＝ °．
三．解答题（共6小题，满分66分）
19．解下列不等式（组）：
（1）＞2x﹣2；
（2）．
20．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
21．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝5，OB＝12，OC＝13，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO'．
（1）求点O与O'的距离；
（2）求∠AOB的度数．
（3）求△AOB的面积．
22．哈市某中学计划创建中、小型两类班级图书角，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，共需购书费用860元；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本，共需购书费用570元，又知每本科技类书籍价格相同，每本人文类书籍的价格也相同．
（1）求每本科技类书籍和每本人文类书籍的价格分别为多少元？
（2）若该学校计划用不超过20100元的资金组建中、小型两类图书角共30个，求最多组建多少个中型图书角？
23．如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．
（1）证明：EF＝DF；
（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CG＝CM．
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式a＝+6（c＜0），点P从A点出发沿折线AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
（1）直接写出A、B、C三点坐标；
（2）在点P的运动过程中，设三角形ACP的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）在点P的运动过程中，∠MPN＝50°，PM边与射线AO相交于点E，PN边与射线OC相交于点F，请探究∠AEP与∠PFC的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D．
2．解：A．∵12+22＝1+4＝5，42＝16，
∴12+22≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，
∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵52+72＝25+49＝74，112＝121，
∴52+72≠112，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：4cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、4cm、10cm，
∵4+4＜10，
∴不能组成三角形，
10cm是腰长时，三角形的三边分别为4cm、10cm、10cm，
能组成三角形，
周长＝4+10+10＝24cm，
综上所述，此三角形的周长是24cm．
故选：B．
4．解：A、对顶角相等的逆命题为“相等的角为对顶角”，此命题为假命题，故本选项错误；
B、全等三角形的对应角等的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，此命题为假命题，故本选项错误；
C、相等的角是同位角的逆命题为“如果两个角的同位角，那么这两个角为相等”，此命题为假命题，故本选项错误；
D、等边三角形的三个内角都相等的逆命题为“如果三个角相等，那么这个三角形是等边三角形”，此命题为真命题，故本选项正确；
故选：D．
5．解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+EC，
即BC＝EF，
A、添加BC＝EF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加AC＝DF可利用SSS推证△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
D、添加AC∥DF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：C．
6．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故选：D．
7．解：∵AC⊥BE，∠A＝∠E，
∴如果再加BC＝DC，利用ASA即可判定△ABC≌△EDC，
如果再加∠B＝∠CDE，不能证明△ABC≌△EDC，
如果再加AB＝DE，利用AAS即可判定△ABC≌△EDC，
同理如果加AC＝CE，利用AAS即可判定△ABC≌△EDC，
故选：B．
8．解：由题意得：，
故选：C．
9．解：在BC的延长线上取点F，使∠AFD＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，
∴∠DAF＝∠EDB，
又∵∠CBE＝60°，
∴∠AFD＝∠DBE＝60°，
∴△AFD≌△DBE（AAS），
∴FD＝BE＝8，AF＝BD，
设CF＝x，则CD＝8﹣x，BD＝14﹣（8﹣x）＝6+x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AF＝2CF＝2x，
∴2x＝x+6，
解得，x＝6，
∴CF＝6，AC＝6，
∴CD＝FD﹣CF＝8﹣6＝2，
∴AD＝＝＝4，
故选：B．
10．解：如图，以AB为边作等边△ABE，
∵△ACD，△ABE是等边三角形，
∴AD＝AC，AB＝AE＝BE＝1，∠EAB＝∠DAC＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD，
在△DAB和△CAE中，
，
∴△DAB≌△CAE （SAS），
∴BD＝CE，
若点E，点B，点C不共线时，EC＜BC+BE；若点E，点B，点C共线时，EC＝BC+BE，
∴EC≤BC+BE＝5，
∴EC的最大值为5，
即BD的最大值为5，BD的长不可能为6，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：∵有公共顶点，没有公共边的两个角不一定是对顶角；
∴①不正确；
∵实数与数轴上的点是一一对应的；
∴②正确；
∵过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
∴③不正确；
∵如果点P（x，y）的坐标满足xy＞0，那么点P一定在第一象限或第三象限；
∴④不正确．
故答案为：②．
12．解：连接AE，过A作AH⊥BC，
∵AB＝AC＝5，BC＝8．
∴BH＝CH＝4，
∴AH＝3，
∵AB的中垂线DE交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵AE2﹣EH2＝AH2，
∴BE2﹣（4﹣BE）2＝32，
∴BE＝，
故答案为：．
13．解：如图1，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
此时第三边的长为3；
如图2，∠C＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝＝＝，
此时第三边的长为，
综上所述，第三边的长为3或，
故答案为：3或．
14．解：
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≤9，
∴不等式组的解集为x＜5，
故答案为：x＜5．
15．解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
故答案为：90°．
16．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是12cm，
∴PM+PN+MN＝12，
∴DM+CN+MN＝12，
即CD＝12＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故答案为：30°
17．解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴CE＝AB，
∵直线l∥AB，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，
∴DF＝CE，
∵AD＝AB，
∴DF＝AD，
∴∠DAF＝30°，
故答案为：30°．
18．解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝84°，
∴3∠A+84°＝180°，
∴∠A＝32°，
故答案为：32．
三．解答题（共6小题，满分66分）
19．解：（1）不等式两边同乘以4，得：5（x+2）＞4（2x﹣2），
去括号得5x+10＞8x﹣8，
移项得5x﹣8x＞﹣8﹣10，
合并得﹣3x＞﹣18，
系数化为1得x＜6；
（1），
由①得，x＞﹣2，
由②得x≤，
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤．
20．解：（1）如图甲所示：△ABC即为所求，
（2）如图乙所示：△ACD即为所求，
21．解：（1）∵等边△ABC，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°．
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO＝BO′，∠O′AO＝60°，
∴△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝OB＝12；
（2）∵∠OBO'＝∠ABC＝60°，
∴∠O′BA＝60°﹣∠ABO＝∠OBA．
在△BO'A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴OC＝O'A＝13，
∵AO2+O'O2＝25+144＝169＝O'A2，
∴△AOO′是直角三角形．
∴∠AOB＝∠AOO′+∠O′OB＝90°+60°＝150°．
（3）以AO为底，∵∠AOB＝150°，
∴边AO上的高就是BO＝6，
∴S△ABO＝×5×6＝15．
22．解：（1）设每本科技类书籍的价格为x元，每本人文类书籍的价格为y元，由题意得：
，
解得：
答：科技类每本7元，人文类每本6元
（2）设可以组建m个中型图书角，则小型图书角为（30﹣m）个，由题意得：
860m+570（30﹣m）≤20100，
解得：m≤，
∵m为整数，
∴想的最大整数为：10
答：中型图书角最多10个．
23．（1）证明：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，
∠ACB＝60°，
∴∠CAF+∠DAB＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠DAB+∠ABD＝60°，
∴∠CAF＝∠ABD，
∵AF＝BD，
∴△ACF≌△BAD（SAS），
∴EF＝DF；
（2）证明：如图2，
由（1）知，
EF＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
在EF上截取EN＝EM，连接MN，
∴CN＝CE+EN＝CE+EM＝EG，
∴△EMN是等边三角形，
∴∠CNM＝60°，
∵∠GMC＝∠GEC，∠α＝∠β，
∴∠NCM＝∠EGM，
∵CM＝GM，
∴△NCM≌△EGM（SAS），
∴∠MEG＝∠CNM＝60°，
∴∠CEG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°，
∴∠GME＝∠GEC＝60°，
∵CM＝GM，
∴△CMG是等边三角形，
∴CG＝CM；
（3）解：如图3，
由（1）（2）知，
△DEF和△CDG是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，CD＝GD＝4，
∵CD⊥AD，
∴∠CDF＝90°，
∴AD＝CF＝＝，
将△DPC绕点D顺时针旋转60°至△DQG，连接AG，
∴AD＝DQ，CP＝QG，
∴△PDQ是等边三角形，
∴PD＝PQ，
∴AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，
∴当A、P、Q、G共线时，AP+PD+CP最小＝AG，
作GH⊥AD于H，
在Rt△DGH中，
GH＝DG＝2，
DH＝DG＝2，
∴AH＝AD+DH＝+2＝，
∴AG＝
＝
＝，
∴AP+PD+CP的最小值是．
24．解：（1）∵a，c满足关系式a＝+6（c＜0），
∴，
∴c＝﹣8，a＝6，
∴A（6，0），B（6，﹣8），C（0，﹣8）．
（2）如图1中，①当0＜t≤4时，
S＝ AP CB＝ 2t 6＝6t．
②当4＜t＜7时，
S＝ PC AB＝ （14﹣2t） 8＝﹣8t+56，
综上所述，S＝．
（3）当点P在线段AB上时，分两种情况：
①如图3中，结论：∠PEA+∠PFC＝140°，理由如下：
连接OP，
∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO，
∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+50°＝140°；
②如图4中，结论：∠PFC﹣∠AEP＝40°，
理由如下：
设PM交OC于G，
∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝130°﹣∠PFC，
∴∠AEP+130°﹣∠PFC＝90°，
∴∠PFC﹣∠AEP＝40°，
③当点P在线段BC上时，
如图5中，结论：∠PFC﹣∠AEP＝40°，
理由：设PM交OC于G，
∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝130°﹣∠PFC，
∴∠AEP+130°﹣∠PFC＝90°，
∴∠PFC﹣∠AEP＝40°．
如图6中，结论：∠PEA+∠PFC＝140°．
理由：连接OP，
∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO，
∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+50°＝140°．
综上所述，∠PFC+∠PEA＝140°或∠PFC﹣∠AEP＝40°．
