南充市重点中学2023-2024学年高一上学期10月月考(数学)
1. 单选题
设集合 , 若 , 则 的值为 ( ).
A. B.-3 C. D.
2. 单选题
命题“ ”的否定是 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 单选题
设 , 则 的大小顺序是 ( )
A. B.
C. D.
4. 单选题
某小学对小学生的课外活动进行了调查. 调查结果显示: 参加舞蹈课外活动的有 63 人, 参加唱歌课外活动的有 89 人, 参加体育课外活动的有 47 人, 三种课外活动都参加的有 24 人, 只选择两种课外活动参加的有 22 人, 不参加其中任何一种课外活动的有 15 人, 则接受调查 的小学生共有多少人 ( )
A.120 B.144 C.177 D.192
5. 单选题
“ ” 是“ ” 的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 单选题
已知集合 或 , 若 , 则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7. 单选题
已知不等式 的解集为 , 则不等式 的解集为 ( )
A. 或
B.
C.
D. 或
8. 单选题
已知 且 , 则 的最小值为 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
9. 多选题
已知集合 为全集 的子集，且满足 , 则下列结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 多选题
下列说法正确的是 ( )
A.若 , 则
B.若 , 则
C.若 , 则
D.若 , 则
11. 多选题
“关于 的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件有 （ ）
A. B.
C. D.
12. 多选题
若正数 满足 , 则 （ ）
A.
B.
C.
D.
13. 填空题
填空题
(1) 已知集合 , 用列举法表示为________
(2) 已知 , 设 , 则 的取值范围是________
(3) 若集合 有且仅有两个子集, 则实数 的值是_________
(4) 若对于任意 , 不等式 恒成立, 设 , 则 取值范围为________
14. 解答题
已知全集 ,
(1)求集合 ;
(2)若集合 , 求实数 的值.
15. 解答题
如图, 某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园. 设菜园的 长为 , 宽为 .
(1)若菜园面积为 , 则当 为何值时, 可使所用篱笆总长最小 并求出最小值。
(2)若使用的篱笆总长度为 , 则当 为何值时, 可使菜园面积最大 并求出最大值。
16. 解答题
已知 , 且 .
(1)求证: ;
(2)求 的最小值以及此时的 的值
17. 解答题
关于 的不等式 .
(1) 若 , 求不等式的解集 .
(2)若不等式的解集为 , 求实数 的取值范围.
18. 解答题
关于 的一元二次方 恒有两个实数根 .
(1) 当 且两个根皆为负时, 求实数 的取值范围。
(2) 不等式 恒成立, 求实数 的最大值.
19. 解答题
对任意的非空数集 , 定义: , 其中 表示非空数集 中所有元素的乘积, 特别地, 如果 , 规定 .
(1) 若 , 请直接写出集合 和 中元素的个数;
(2) 若 , 其中 是正整数 , 求集合 中元素个数的最大值和最小值, 并说明理由;
(3) 若 , 其中 是正实数 , 求集合 中元素个数的最小值, 并说明理由.
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】
【分析】由集合中元素确定性得到: 或 , 通过检验, 排除掉 .
【详解】由集合中元素的确定性知 或 .
当 时, 或 ; 当 时, .
当 时, 不满足集合中元素的互异性, 故 舍去;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求.
综上, 或 .
故选: D.
2. 【答案】B
【解析】
【分析】特称命题的否定: 存在改任意并否定原结论, 即可写出原命题的否定.
【详解】由特称命题的否定为全称命题, 则原命题的否定为 .
故选: B
3. 【答案】C
【解析】
【分析】将 化简, 使分子相同, 即可根据分母大小关系进行比较; 利用作差比较 大小 关系即可.
【详解】 ,
,
.
又 , 故 .
则 .
故选: C.
4. 【答案】B
【解析】
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系, 结合三个集合的容斥原理, 即得解.
【详解】如图所示, 用韦恩图表示题设中的集合关系, 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活 动的小学生分别用集合 表示,
则 , ,
不妨设总人数为 , 韦恩图中三块区域的人数分别为 ,
即 ,
,
由容布原理:
,
解得: ,
故选: B.
5. 【答案】A
【解析】
【分析】先考虑充分性, 再考虑必要性得解.
【详解】先考虑充分性.
,
,
因为 , 所以 ,
所以“ ” 是“ ”的充分条件.
再考虑必要性.
,
不能推出 . 如: .
所以“ ” 是“ ”的非必要条件.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选 A
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断, 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6. 【答案】B
【解析】
【解析】因为集合 或 , 所以 . 故选: B.
7. 【答案】A
【解析】
【分析】由 的两根为 , 得出 , 再由一元二次不等式的解法得出答案.
【详解】因为不等式 的解集为 ,
所以 的两根为 , 即 , 解得 .
所以不等式 可化为 , 其解集为 或 .
故选: A
8. 【答案】B
【解析】
【分析】令 , 结合 可得 ,
由此即得 , 展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意 得, ,
令 , 则 ,
由 得 ,
故 ,
当且仅当 , 结合 , 即 时取等号,
也即 , 即 时, 等号成立,
故 的最小值为 9 ,
故选: B
9. 【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知条件画出 Venn 图, 如图所示, 然后根据图形逐个分析判断即可
【详解】因为集合 为全集 的子集, 且满足 , 所以作出 Venn 图, 如图所示,
由 Venn 图, 得 , 故 正确;
, 故 正确;
故选:
10. 【答案】AD
【解析】
【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.
【详解】对于 ,
, 故选项 A 正确;
对于 , 当 时, 有 ,
但此时 , 故选项 B 错误;
对于 , 当 时, 有 ,
但此时 , 故选项 C 错误;
对于 D, ,
,
由不等式的同向可加性, 由 和 可得 , 故选项 D 正确. 故选: AD.
11. 【答案】CD
【解析】
【分析】讨论二次项系数, 求出满足条件的 的范围, 根据题中条件考查选项即可.
【详解】若关于 的不等式 对 恒成立,
当 时, 不等式为 , 满足题意;
时, 则必有 且
解得 ,
故 的范围为 ,
故“关于 的不等式 对 恒成立” 的必要不充分条件的集合必真包含集合 ,
考查选项知 满足条件.
故选: CD.
12. 【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式化简, 可判断各个选项的正误.
【详解】A 选项：根据基本不等式,
,
当且仅当 时, 等号成立, 故 对;
选项：因为 , 所以 ,
所以
同理, , 所以
所以 ,
当且仅当 时, 等号成立, 故 对;
选项: 因为 , 所以 , 所以 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 , 故 C 对;
选项: , 所以 , 化简得 ,
当且仅当 时, 等号成立, 故 D 错误;
故选: ABC.
13. 【答案】
(1) (2) (3) (4) .
【解析】
(1) 【分析】根据 , 求出 的值即可.【详解】由 , 得 , .故答案为: .【点睛】本题考查集合的表示, 理解集合元素表示的意义是解题的关键, 属于基础题. (2) 【解析】令 则 ,又 ① ① 得 . (3) 【解析】因为集合 有且仅有两个子集, 所以集合 有 1 个元素.当 时, , 符合题意;当 时, 要使集合 只有一个元素, 只需 , 解得: ;综上所述：实数 的值是 1 或 -1 . 故答案为: (4) 【分析】先把不等式变形为 恒成立, 结合 最值, 找到 的 限制条件, 结合所学知识可得.【详解】对于任意 , 不等式 恒成立,可得当 时, 不等式 恒成立,设 ;作出 的函数图像, 可得 时取得最小值 或 时取得最大值 5 ,所以 的值域为 ;所以原不等式恒成立, 等价于 , 即 ,设 , 则 , 所以 ,所以 ,当 时, , 显然当 时 ,而 , 故 ; 故此时 当 时, , 显然 ;综上可得, 的范围是 .
14. 【答案】
【解析】
【分析】(1) 由 得 , 将 2 代入等式, 解出 的值, 得 ; (2) 由 的结果列出方程组, 解得 的值.
【详解】(1) ，
综上,
（2）由（1）得 ,
所以 , 得
15. 【答案】
(1) .
【解析】
【详解】(1) 由已知可得 , 而篱笆总长为 .
又 , 当且仅当 , 即 时等号成立.
菜园的长 为 ，宽 为 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为
(2) 由已知得 , 而菜园面积为
所以
当且仅当 , 即 时取等号.
菜园的长 为 , 宽 为 时, 可使菜园面积最大, 最大值为
16. 【答案】
(1)证明见解析(2)见解析
【解析】
【分析】(1)用巧用“1”进行代入化简, 再用基本不等式即可得证. (2)将 代入 “ ”中, 再进行化简, 即可求解.
【详解】(1) 证明: 由 , 所以 . 所以
,
当且仅当 时取等号, 即 . 由此得证.
(2) 由 .
当且仅当 时取等号.
于是 的最小值为 , 此时 .
17. 【答案】
(1)
(2) .
【解析】
(1) 略
(2) 当 , 即 时, 原不等式为 ,
当 时,解集为 .
当 时, 由题意, 得
解得 .
综上, 可得 的取值范围为 .
18. 【答案】
(1)
(2) .
【解析】
【解答】(1) 当 时, 方程化为
由已知有
所以实数 的取值范围为
(2)
此时
则 的最大值为 .
19. 【答案】
(1) 中有4个元素, 中有7个元素.
(2)最大31，最小11
(3)13
【解析】
(1) ,
,
中有4个元素, 中有7个元素.
(2)最大值即：集合 的非空子集有 个, 因此 中最多有 31 个元素.
可能的构造如下: ,
则集合 中人员两个不同子集元素的乘积不同.
最小值: 如 , 则 最少有11个元素.
即集合 中的元素成等比数列即可.
中最少有 13 个元素.如
,
, 4, 8, 16, 32, 64\} 证明如下:
对集合 分类:
,
,
,
设 ,
,
.
设 , 再对集合 分类：
,
,
,
设 . 分析 与 的关系:
对集合 中的元素: , 则
则 ①
对集合 中的元素: , ②
对集合 中的元素:
则
则
, ③
①+②+③得
注意到 , 当 时,
(均值不等式)
从而 中最少有 13 个元素.
