2023-2024学年安徽省合肥市部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列函数一定是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
4.下列函数中，随的增大而增大的是( )
A. B. C. D.
5.某种药品售价为每盒元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格元与每次降价的百分率之间的函数关系式是( )
A. B. C. D.
6.将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
7.将二次函数化成的形式，正确的是( )
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，当时，的最大值与最小值的和为( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的部分图象如图所示，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论错误的是( )
A.
B. 若点是抛物线上的两点，则
C.
D. 若，则
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.已知抛物线开口向下，则的取值范围是______．
12.已知函数为二次函数，则的值为______ ．
13.已知二次函数的图象与轴交于，两点若，则 ______ ．
14.如图，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
的度数是______ ；
若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点，则的长的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的表达式．
16.本小题分
已知抛物线．
求该抛物线的顶点坐标；
在所给的平面直角坐标系中，画出该抛物线的图象．
17.本小题分
学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是．
求与之间的函数关系式．
若要使绿地面积增加，长与宽都要增加多少米？
18.本小题分
二次函数的图象经过点，，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过，两点．
求二次函数与一次函数的解析式；
根据图象，写出满足不等式的的取值范围．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数为常数的图象相交于，两点，点的坐标为．
求的值以及二次函数的表达式；
若点为抛物线的顶点，过点作轴，交于点，求线段的长．
20.本小题分
规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．
若点是“完美点”，则 ______ ；
已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与轴的交点到原点的距离为，求该“完美函数”的表达式．
21.本小题分
已知二次函数的图象与轴交于，两点，且点在点的左侧．
当时，求点，的坐标；
若直线经过点，且与抛物线交于另一点，连接，，试判断的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若发生变化，请说明理由．
22.本小题分
如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入正中间是宽米的值班室，其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明；
如图，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在抛物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大值．
23.本小题分
如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．
求直线的解析式；
若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值；
设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：时，不是二次函数，
选项A不符合题意；
是一次函数，
选项B不符合题意；
可化简为，
选项C符合题意；
不是二次函数，
选项D不符合题意，
故选：．
根据二次函数的定义进行逐一辨别．
此题考查了二次函数概念的应用能力，关键是能准确理解该知识，并能对所给出的函数解析式进行辨别．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
故选：．
根据二次函数的性质的顶点坐标是即可求解．
本题考查了二次函数的性质，正确记忆的顶点坐标是是关键．
3.【答案】
【解析】解：，
抛物线的对称轴是直线，
故选：．
根据二次函数的对称轴公式进行计算即可．
本题考查了二次函数的性质，对于二次函数的对称轴为直线，熟练掌握此知识点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、函数中，，在随增大而减小，故本选项不符合题意；
B、函数中，，随增大而增大，故本选项符合题意；
C、函数中，，对称轴是轴，当时，随增大而增大，故本选项不符合题意；
D、函数中，，对称轴是轴，当时，随增大而增大，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一次函数、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查一次函数、二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，函数图象与系数的关系．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间的函数关系式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为．
故选：．
根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．
本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
将二次函数化成的形式为．
故选：．
利用配方法化成顶点式即可得到答案．
本题考查了把化成顶点式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：对于二次函数，当时，符合条件的为、，
选项A：从二次函数看，、同号，即，则，
而从一次函数看，，
故A错误，不符合题意；
选项B：从二次函数看，、异号，即，则，
从一次函数看，，，
故B正确，符合题意；
对于二次函数，当时，符合条件的为、，
在选项C中，对于抛物线而言、异号，则，
对于一次函数而言，，，
故选项C错误，不符合题意；
对于选项D，从抛物线看，同号，则，
从一次函数看，，，
故D错误，不符合题意；
故选：．
逐次分析两个函数的、值，即可求解．
本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握图象和性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：函数中，，
函数图象开口向上，顶点坐标为，
，
，
当时，，
的最大值与最小值的和．
故选：．
先根据二次函数的解析式得出函数图象的开口方向及顶点坐标，进而可得出其最小值，再找出其最大值求和即可．
本题考查的是二次函数的性质及二次函数的最值，根据题意得出函数的最大值与最小值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，故A错误；
抛物线开口向上，
在对称轴右侧随增大而增大，
关于对称轴的对称点为，，
，故B正确；
图象过，
，
，
，故C正确；
关于对称轴的对称点为，
时，，故D正确．
故选：．
根据对称轴判断，根据二次函数性质判断，根据抛物线与轴交点可判断，根据抛物线与轴交点及对称轴判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
；
故答案为：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】解：函数为二次函数，
，
解得：，
故答案为：
由函数为二次函数，可得，再解不等式组可得答案．
本题考查的是二次函数的定义，形如：的函数是二次函数，熟记二次函数的定义是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：当，则，
设方程的两根分别为，，
，，
，
，
，
，
，经检验符合题意；
故答案为：．
设方程的两根分别为，，可得，，利用，再解方程即可．
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用建立方程求解是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：在中，令得，
，
令得或，
，，
，，，
，
，
故答案为：；
由，得直线解析式为，
设，则，
，
，
当时，取最大值，
故答案为：．
由求出，，，可得，，，故；
由，得直线解析式为，设，可得，根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及勾股定理逆定理的应用，二次函数最值问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
15.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为：，
把代入可得：
，
解得：，
抛物线为：．
【解析】根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为：，再把代入，从而可得答案．
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据给定的条件设出合适的表达式是解本题的关键．
16.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为；
如图所示：
【解析】把化成顶点式即可得到结论；
根据题意画出抛物线的图象即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，正确地画出图象是解题的关键．
17.【答案】解：由题意可得，
化简，得
，
即与之间的函数关系式是：；
将代入，得
，
解得，舍去，，
即若要使绿地面积增加，长与宽都要增加米．
【解析】根据题意可以得到与之间的函数关系式；
将代入中的函数关系式，即可解答本题．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18.【答案】解：二次函数的图象经过点，，
，得，
，
二次函数的对称轴为直线，
，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，
点，
设一次函数的图象经过，两点，
，得，
一次函数，
即二次函数的解析式为，一次函数的解析式为；
由图象可知，
不等式的的取值范围：或．
【解析】根据二次函数的图象经过点，，可以求得二次函数的解析式，再根据点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过，两点，从而可以求得一次函数的解析式；
根据函数图象可以直接写出满足不等式的的取值范围．
本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：把点坐标为代入一次函数中可得：
，
，
把点坐标为代入二次函数中可得：
，
解得：，
，
答：的值为，二次函数的表达式为：；
，
顶点，
轴，
把代入中得：
，
，
．
【解析】把点的坐标为代入可求出的值，然后再把点坐标代入二次函数表达式即可解答；
求出，坐标，可得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，解题的关键是求出点，，的坐标．
20.【答案】
【解析】解：点是“完美点”，
，即，
解得：，
故答案为：；
某“完美函数”的顶点在直线上，
设函数的顶点为，
该函数为“完美函数”，
，
解得：，
，
该函数的顶点为，
设二次函数的解析式为，
令，则，
该函数与轴的交点到原点的距离为，
，
解得：或，
或
该“完美函数”的表达式为：或．
由定义可得，求出的值即可；
根据该“完美函数”的顶点在直线上可求出顶点为，然后可设二次函数的解析式为，令，则，再根据该函数与轴的交点到原点的距离为求出的值即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形、二次函数的图象与性质、相反数的定义，理解新定义，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
21.【答案】解：当时，，
当时，则，
解得：，，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为；
的面积不发生变化，理由如下：
对于抛物线，
当时，则，
解得：，，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
，
直线经过点，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，
解得：，，
点在上，
当时，，
，
．
【解析】将代入可得，令，解方程即可求解；
令，有，解方程得出点、的坐标，则，由直线经过点，可得直线为，联立求解方程组得到点的坐标，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
22.【答案】解：，．
设这条抛物线的函数解析式为，
抛物线过，
，解得，
这条抛物线的函数解析式为，
即．
当或时
．
故能行驶宽米、高米的消防车辆．
设点的坐标为
则，
根据抛物线的轴对称，可得：，
故BC，即
令
故当，即米时，三根木杆长度之和的最大值为米．
【解析】根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，的取值范围是；
根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论；
求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点或点的坐标表示三段的长度从而得出表达式．
本题考查通过建模把实际问题转化为数学模型，这充分体现了数学的实用性．
23.【答案】解：抛物线与轴相交于点，
，
抛物线与轴相交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
如图，过点作轴的垂线，交于点．
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值；
在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
【解析】已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
分三种情况进行讨论：以为直角顶点；以为直角顶点；以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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