雷州市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则的实部是（ ）
A.2 B.0 C. D.
3.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（ ）
A.3 B.4 C.3.5 D.4.5
4.已知，表示直线，，表示平面，下列正确的是（ ）
A.，， B.，，
C.， D.，
5.如图，设，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B.1 C. D.
7.在正方体中，直线与面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为
10.已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B.，夹角的余弦值为
C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D.在上的投影向量为
11.对于空间一点，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则，，，四点共面
B.若，则，，，四点共面
C.若，则，，三点共线
D.若，则是线段的中点
12.如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.点到直线的距离为1
C.异面直线与所成角的正切值为
D.平面与平面的夹角的余弦值为
三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分.
13.若，则___________.
14.若角的终边经过点，则的值为________.
15.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3、9，侧棱长是6，则它的表面积为________.
16.已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量，，，，.
（1）求，，；
（2）求与所成角的余弦值.
18.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，且，设，，.
（1）试用，，表示；
（2）已知是的中点，求的长.
19.如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、中点.
（1）求直线和夹角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
20.三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且.
（1）是棱的中点，求证：平面；
（2）求面与面夹角的大小.
21.如图，在正四棱锥中，底面边长为，点在线段上，且的面积为1.
（1）是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置：若不存在，说明理由.
（2）若点是的中点，点是弦所对的外接圆劣弧上的一个动点，求长度的取值范围.
22.某学校组织人工智能知识竞赛，在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答，每答对1题得20分，答错得0分；第二轮从B类分值分别为10，20，30的3个问题中随机抽取2题作答，每答对1题该题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，乙只能答对3个问题；在B类3个分值分别为10，20，30的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲、乙在第一轮得最高分的概率；
（2）谁晋级复赛的概率更大？请说明理由.
雷州市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷答案
一、单项选择题：
1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.B
二、多项选择题：
9.AB 10.BCD 11.BCD 12.AD
三、填空题：
13. 14. 15. 16.
四、解答题：
17.（1），故，即
故，，，即，，，
故，，故
（2），，与所成角的余弦值为：
18.（1）.
（2）由题意知，，，，.
，.
19.解：（1）因为平面，为正方形，则、、三线两两互相垂直，
如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则直线的方向向量，直线的方向向量，
，
所以直线和夹角的余弦值为；
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量，则，
令，得，
所以点到平面的距离为
20.（1）连接
证明：是正方形的中心，，则，
又平面，平面，∴，又，
由勾股定理得，同理，，
∴，均为等边三角形，又为中点，
∴，，，
又∵平面，平面，∴平面，
∵，∴平面；
（2）以为原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，
∴，，，
设面的法向量，则，解得
令，则，故，由（1）知，面的法向量为，
设面与面的夹角为，
则，
∵，∴.
21.（1）因为是正四棱锥，
所以顶点在底面的射影是正方形中心，即的中点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为底面边长为，所以，
因为的面积为1，所以有，
，，，，
，，，设
设，
，设平面的法向量为，
所以，
因此，
假设存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
所以，
或，因为，所以舍去，
所以假设成立，此时，即点是靠近点的三等分点.
（2）由（1）可知：，，
因为，所以是以为斜边的直角三角形，
所以外接圆的圆心是，且半径为1，如下图所示：设
所以在平面内，，
于是在空间直角坐标系下，，点是的中点，所以，
因此，
因为，所以，因此.
22.（1）解：在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为，
所以甲在第一轮得最高分（即60分）的概率为，
在A类的4个问题中，乙只能答对3个问题，
设这4个问题分别为a，b，c，d，乙只会回答其中的a，b，c，
从中随机选三个问题所得的4个样本点为：a，b，c；a，b，d；a，c，d；b，c，d，得60分的一个样本点为a，b，c，所以乙在第一轮得最高分（即60分）的概率为.
（2）解：甲在第一轮的得分可能为0，20，40，60，乙在第一轮的得分可能为40，60.把甲在第一轮选择的3个问题分别记为e，f，g，答对分别记为E，F，G，
所以甲在第一轮得40分的概率为，
甲在第一轮得60分的概率为，
甲在第二轮得分分类如下：
选10分和20分的题所得分数为10分和30分，
选10分和30分的题所得分数为10分和40分，
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
所以甲两轮的总积分不低于90分的概率为
.
由（1）得，乙在第一轮得40分的概率为，乙在第一轮得60分的概率为，
乙在第二轮得分分类如下：
选10分和20分的题所得分数为0分、10分、20分和30分，
选10分和30分的题所得分数为0分、10分、30分和40分，
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
所以乙两轮的总积分不低于90分的概率为
.
因为，所以乙晋级复赛的概率更大.
