专题1.20 用勾股定理求线段的长（分层练习）
本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
一、单选题
1．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点（网格线的交点），以点A为圆心，的长为半径作弧，交格线于点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的线剪成一个四边形．剪掉部分的面积为6cm2，剪完后展开的图形如图所示，则展开后的四边形的周长是（ ）
A．20cm B．cm
C．cm D．18cm
4．如图，在长为2的线段AB上，用尺规作如下操作：过点B作BC⊥AB，使得BC=，连接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上取点A，使OA=5，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
7．如图，是的中线，，把沿着直线对折，点落在点的位置．如果，那么以线段为边长的正方形的面积为（ ）．
A．6 B．72 C．12 D．18
8．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，在中，是边中点，连接，将沿线段翻折后得，其中，则到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路（M、N分别是中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了（ ）
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
二、填空题
11．在中，，，，则线段AC的长为 ．
12．已知和长的两条线段与第三条线段首尾顺次相接构成直角三角形，则第三条线段的长为 ．
13．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为 ．
14．如图，在中，，F是高和高的交点，若，则线段的长度为 ．
15．如图，在中，，，E、F分别为边、上的点，沿将折叠，使点A落在边的中点处，若，则线段的长度为 ．
16．某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米．
17．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个三角形OA1A2是等腰直角三角形，且 ，则线段OA8的长为 ．
18．如图，在中，，点为射线上一点，连接，点为三角形外右侧一点，连接，连接交射线于点，已知 ，，则线段长为 ．
三、解答题
19．如图，中，∠ACB＝90°，，AC＝8，BC＝6，则线段CD的长度是多少？
20．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，，E是AC上的一点，，，．
(1)判断△ABE的形状，并说明理由．
(2)求线段AB的长．
21．如图，在中，，垂足为D，点E是线段AD上的点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求BD的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．
23．如图，已知MN∥BF，AB∥DE，点E在点C右侧．
(1)如图1，求证：∠ABC＝∠ADE；
(2)如图2，点G是DE上一点，连接AG，AG⊥DE．
①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求线段DG的长；
②若AD＝20，点E到AD的距离与线段AG的长度之比为5：4，求线段DE的长．
24．在中，，，．
(1)如图1，求点到边的距离；
(2)如图2，点是线段上一动点．过点作交于点，当时，求的长；
(3)如图3，点是直线上一动点，连接，请直接写出当为何值时，为等腰三角形．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】如图，连接，根据圆中半径相等，利用勾股定理求出，利用即可得解．
【详解】解：如图，连接，
则：，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查网格中的勾股定理．熟练掌握圆中半径都相等以及勾股定理解三角形是解题的关键．
2．B
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得：，，，，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确计算是解题关键．
3．B
【分析】根据剪掉部分的面积，求出矩形的宽，结合勾股定理，求出等腰梯形的腰长，进而代入梯形周长公式，可得答案．
【详解】解：∵剪掉部分的面积为6cm2，
∴矩形的宽为：2cm，
∴等腰梯形的腰长为：(cm)，
∴打开后梯形的周长是：8+8-6+2=10+2(cm)，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理，其中根据勾股定理，求出等腰梯形的腰长，是解答的关键．
4．C
【分析】求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD．
【详解】解：∵AB=2，BC=AB，
∴BC=1，
∴AC=，
∵CE=BC=1，
∴AD=AE=ACCE=，
∴BD=ABAD=2（）=，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长．
5．C
【分析】根据勾股定理，以及AB，OA的长度，可求出OB的长度，进而即可求解．
【详解】解：在Rt△ABO中，AB=2，OA=5，
则：，
故选C ．
【点睛】本题考查勾股定理与数轴，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
6．D
【分析】当MN⊥BC时最短;当M在点A,N在点C时,MN最长,利用勾股定理计算即可;
【详解】解:当MN⊥BC时
MN最短=AB=AE+BE=4+5=9
当M在点A，N在点C时,
MN最长===15
∴9≤MN≤15
故答案选D
【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离以及勾股定理,识别出MN最短情况和最长情况是解题的关键．
7．D
【分析】由题意易得，进而可得，然后根据勾股定理可求BE，最后根据正方形的面积进行求解即可．
【详解】∵是中点，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴以为边的正方形面积为．
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．
8．B
【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】∵AC＝6m，BC＝3m，
∴AB＝＝＝3m，
∵AC′＝6m，B′C′＝m，
∴AB′＝＝＝m，
∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；
故选：B．
【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．
9．D
【分析】首先连接AA′，延长BD与AA′交于点E，作DF⊥AB，由翻折的性质得出△ABA′为等腰三角形，△A′CD是等边三角形，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出BE⊥AA′，AE=A′E，进而利用勾股定理得出DE、BD，再次利用勾股定理构建方程，即可得出AF，进而得出DF.
【详解】连接AA′，延长BD与AA′交于点E，作DF⊥AB于F，如图所示：
由已知，得AB=A′B=，AD=A′D=4
∴△ABA′为等腰三角形，
∴BE⊥AA′，AE=A′E
∵A′C=4
∴△A′CD是等边三角形
∴∠ADA′=120°，∠EDA′=60°，∠AA′C=90°
∴DE=2，AE=A′E=
∴
∴BD=BE-DE=5-2=3
设AF=，在△ABD中，
∴
即
解得
∴
故答案为D.
【点睛】此题主要考查等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解题关键是利用勾股定理构建方程.
10．B
【分析】利用勾股定理分别求出即可求解．
【详解】解：在直角梯形中，M、N分别是的中点，所以是梯形的中位线，
∴m．
过D点作的垂线交于点E，则，
∵，
∴，
在直角三角形中，即，
∴，则，
∴
由勾股定理可知即
∴所以他们少走了6m，
故选：B．
【点睛】本题考查了梯形的中位线、勾股定理的应用等．熟练掌握勾股定理形式是解题关键．
11．
【分析】根据勾股定理即可得出答案
【详解】解：∵，，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
12．或##25cm或
【分析】设第三条线段的长为，分的线段是直角三角形的斜边或是直角三角形的直角边两种情况进行讨论．
【详解】解：设第三条线段的长为，
当的线段是直角三角形的斜边时，
，
解得；
当的线段是直角三角形的直角边时，
，
解得．
综上所述，第三条线段的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
13．
【分析】当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
【详解】解：当BN为最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】先求，推导出，再求出，，根据证明，可得，在中，再由勾股定理，即可得出答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在△BFD和△ACD中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等．证明两个三角形全等是解题的关键．
15．5
【分析】由折叠的性质可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得，
为等腰直角三角形，，
，
为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
16．1000
【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C，
由题意可得：，
由图中数据可得：，
，
∴米，
故答案为：1000．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形．
17．
【分析】反复利用勾股定理计算出的长即可．
【详解】∵，图中所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理可得：，，，，，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长．
18．
【分析】根据题意可求证，延长CM交AB与点G，过G作GK垂直于BC于点K，根据角相等判断边相等，AG=AM，列出方程求出AG的长，从而求出AM的长，从而求出BN的长，DN=BN-BD即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∵，CN=CM
∴，
∴，
延长CM交AB与点G，过G作GK垂直于BC于点K，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴，AM=AG，
∵，
∴，
∴，
设BK=a，则GK=a，，
∴，
∴a=1，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．
19．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．
【详解】解：∵在中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握利用三角形面积的表示方法求出CD．
20．(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，从而可得，由此即可得出结论；
（2）设，则，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：设，
∵，，
∴，
在中，，即，
解得，
即．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
21．(1)见解析
(2)BD=12．
【分析】（1）利用SAS即可证明△BDE≌△ADC，由全等三角形的性质可证明∠EBD=∠CAD；
（2）利用勾股定理易求AD的长，再由DE=DC，即可求出BD的长．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°．
∵AD=BD，DE=DC，
∴在△BDE和△ADC中
，
∴△BDE≌△ADC，
∴∠EBD=∠CAD；
（2）解：∵∠ADC=90°，AC=13，DE=5即DC=5，
∴AD==12，
∵△BDE≌△ADC，
∴BD=AD=12．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键在于证明△BDE≌△ADC．
22．24
【分析】由题意得出AC+CD+AD＝AD+BD+AB．得出AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，
∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．
∴AC+CD＝BD+AB．
∵CD＝2，BD＝6，
∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，
∴AC＝AB+4，
设AB＝x，则AC＝4+x．
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+4）2．
∴x2+64＝16+x2+8x．
∴x＝6．
∴．
【点睛】本题主要考查够勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①；②25
【分析】（1）根据平行线的性质，即可求解；
（2）①根据题意，画出图形，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解；
②连接AE，过点E作EH⊥AD于点H，设点E到AD的距离为，则线段AG的长度为，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵MN∥BF，AB∥DE，
∴∠ADE=∠DEF，∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC＝∠ADE；
（2）解：①根据题意，画出图形，如下图：
设，则，
∵AG⊥DE．
在中，
∴ ，
解得：，
∴线段DG的长为；
②如图，连接AE，过点E作EH⊥AD于点H，
∵点E到AD的距离与线段AG的长度之比为5：4，
∴设点E到AD的距离为，则线段AG的长度为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ED=25．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，勾股定理，三角形的面积问题，熟练掌握平行线的性质，勾股定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)的长为或或时，为等腰三角形
【分析】（1）过点作于点，先运用勾股定理求得长，再运用面积公式列出关于的方程即可求得点到边的距离
（2）连接，用证得，得到，最后由即求得的值，设，则,在中，，勾股定理即可求解；
（3）分三种情况讨论：第一种情况，当时，为等腰三角形；第二种情况，当时为等腰三角形，第三种情况，当时，为等腰三角形，分别画出图形即可求解．
【详解】（1）解：如图，
过点作于点，
在中，由勾股定理得，，
即，解得．
，，
，
点到边的距离为；
（2）连接，如下图2．
，
，
，
在与中，
∴，
，
，
的长为；
设，则,
在中，，
，
解得：，
即;
（3）分三种情况计论：
第一种情况，当时，为等腰三角形；
，
．
，
，，
，
，
，
；
第二种情况，当时为等腰三角形，
第三种情况，当时，为等腰三角形，
如图，过点作于点，
由（1）可得，
∴，
，
∴，
综上所述，的长为或或时，为等腰三角形．
【点睛】此题考查用勾股定理计算长度和等腰三角形的性质判定，掌握相关基本技能是关键．最后一问要注意分情况讨论．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
