专题2.27 一元二次方程（中考常考考点分类专题）（基础练）
一、单选题
【考点1】一元二次方程定义★★一元二次方程的解★★整体思想
（2022·青海·统考中考真题）
1．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
（2022·四川遂宁·统考中考真题）
2．已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【考点2】解一元二次方程★★配方法及其运用
（2023·新疆·统考中考真题）
3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北衡水·统考二模）
4．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点3】解一元二次方程★★公式法与因式分解解一元二次方程
（2020·四川凉山·统考中考真题）
5．一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C．， D．，
（2021·贵州遵义·统考中考真题）
6．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【考点4】一元二次方程定义★★根的判别式
（2023·河南·统考中考真题）
7．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
（2023·山东聊城·统考中考真题）
8．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【考点5】一元二次方程的解★★根与系数关系★★整体思想
（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）
9．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
（2022·四川宜宾·统考中考真题）
10．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【考点6】根与系数关系★★分式的化简★★整体思想
（2023·湖北武汉·校考模拟预测）
11．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）
12．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【考点7】根的判断式★★根与系数关系★★整体思想
（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）
13．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）
14．下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有
①若，则；
②若方程两根为和，则；
③若方程有一个根是，则．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【考点8】一元二次方程的解★★几何问题
（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）
15．在中，，三边长为整数，且两直角边的长为关于的一元二次方程的两实数根，其中为正整数，则的面积是( )
A． B． C．或 D．或
（2021秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）
16．若菱形对角线的长是方程的根，则菱形的面积等于（ ）
A．15 B． C．8 D．4
【考点9】一元二次方程的解★★函数问题
（2022·江苏苏州·苏州草桥中学校考一模）
17．已知一元二次方程有两个实数根，，直线经过点和点，则直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东威海·统考一模）
18．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【考点10】一元二次方程的解 增长率★★图形问题
（2023春·山东济南·八年级统考期末）
19．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考阶段练习）
20．如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点11】一元二次方程的解 利润问题
（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）
21．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·九年级假期作业）
22．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【考点12】一元二次方程的解 其他问题
（2018·内蒙古赤峰·中考真题）
23．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·重庆·模拟预测）
24．某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
【考点1】一元二次方程定义★★一元二次方程的解★★整体思想
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
25．若是关x的方程的解，则的值为 ．
（2022·江苏连云港·统考中考真题）
26．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
【考点2】解一元二次方程★★配方法及其运用
（2023·山东聊城·统考一模）
27．将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ．
（2022·湖北荆州·统考中考真题）
28．一元二次方程配方为，则k的值是 ．
【考点3】解一元二次方程★★公式法与因式分解解一元二次方程
（2020·江苏扬州·中考真题）
29．方程的根是 ．
（2019·西藏·统考中考真题）
30．一元二次方程的根是 ．
【考点4】一元二次方程定义★★根的判别式
（2013·甘肃兰州·中考真题）
31．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
（2023·上海·统考中考真题）
32．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是 ．
【考点5】一元二次方程的解★★根与系数关系★★整体思想
（2023·四川内江·统考中考真题）
33．已知a、b是方程的两根，则 ．
（2023·四川达州·统考中考真题）
34．已知是方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【考点6】根与系数关系★★分式的化简★★整体思想
（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考二模）
35．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 ．
（2023·四川成都·统考二模）
36．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【考点7】根的判断式★★根与系数关系★★整体思想
（2023·全国·九年级假期作业）
37．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是 ；
（2023·江苏·模拟预测）
38．一元二次方程的两根是和，则的最大值为 ．
【考点8】一元二次方程的解★★几何问题
（2023春·广东梅州·九年级统考期中）
39．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积是 ．
（2021春·浙江绍兴·八年级统考期末）
40．已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是 ．
【考点9】一元二次方程的解★★函数问题
（2023·山东东营·统考二模）
41．关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
（2022·江苏南京·统考二模）
42．若函数y1= x+6与y2=（k为常数，且k≠0）的图像没有交点，则k的值可以为 （写出一个满足条件的k的值）．
【考点10】一元二次方程的解 增长率★★图形问题
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
43．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
（2023·上海·八年级假期作业）
44．如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为 的花圃， 的长是 ．
【考点11】一元二次方程的解 利润问题
（2023春·浙江·八年级专题练习）
45．深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价（元/千克）与销售量（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出关于的函数关系式 ；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为 ．
（2023·上海·八年级假期作业）
46．某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽量减少库存，保暖衬衫的单价应降 元．
【考点12】一元二次方程的解 其他问题
（2023·河南信阳·校考三模）
47．小明在解方程时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
第①步
第②步
第③步
第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
（2023·湖南岳阳·统考三模）
48．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，，若，则k的值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
2．B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
3．D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．D
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
【详解】解：
∴
解得：,
丁同学是错的，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
5．D
【分析】首先移项，将方程右边移到左边，再提取公因式x，可得，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
6．B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
7．A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
8．D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
9．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
11．D
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，再化简分式代值求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，解答的关键是正确化简分式，熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
12．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
14．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念判断即可．
【详解】解：①当时，，
则，故①是假命题；
②程两根为和，
，
，故②是真命题；
③方程有一个根是，
，
，
，
，故③是真命题；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念是解题的关键．
15．B
【分析】首先利用根的判别式求出的取值范围，进而分别得出符合题意的值；
【详解】解：∵，
解得，
为正整数，
或
当时，，
解得：，，
此时不为整数，故舍去，
当时，，
解得：，，
故，，则；
的面积是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根的判别式，勾股定理，分类讨论是解题关键．
16．B
【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积等于两条对角线的积的一半求解即可．
【详解】解：，
，
则或，
解得，，
菱形的面积等于，
故选： B．
【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积等于两条对角线的积的一半．
17．A
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b，ab=﹣3，进而可得出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，此题得解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b，ab=﹣3，
∴点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(0，﹣3)．
设直线l的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，
将A(，0)，B(0，﹣3)代入y=mx+n，
得：，
解得：，
∴直线l的函数表达式为y=6x﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
18．C
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
19．D
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．B
【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为，
∵要使长方体盒子的底面积为，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键．
21．B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利即可得出方程．
【详解】解：设每盆应该多植株，由题意得
，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键．
22．A
【分析】根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值．
【详解】解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．B
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
24．D
【分析】根据今年“五一”到期后取得本息和1107.45元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得，
即．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
26．1
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
27．
【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即，
则，
故，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．１
【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
【详解】解：
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
29．
【分析】两边开方，然后解关于的一元一次方程．
【详解】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
30．．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【详解】，
a=1，b=－1，c=－1，
，
，
所以，
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
31．且．
【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
【详解】∵，．
∴一元二次方程为．
∵一元二次方程有实数根，
∴且．
【点睛】本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
32．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
33．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
34．7
【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可．
【详解】∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴解得．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
35．##
【分析】先将分式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解．
【详解】解：，
∵a、b为一元二次方程的两个不等实数根，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程，两根之和为，两根之积为．
36．
【分析】根据根与系数的关系，可得出和的值，再代入即可．
【详解】解：由题意得，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
37．
【分析】根据根的判别式、根与系数的关系列出关于的不等式组，通过解该不等式组，求得的取值范围．
【详解】解：∵的一元二次方程两个实数根、
∴，，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了解不等式组，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
38．1
【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵方程有两个根是和，
∴，，
解得：，
∴的最大值为1．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
39．
【分析】解一元二次方程得到，再利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到答案．
【详解】解：解得到，
∴菱形的两条对角线长分别是，
∴菱形的面积是，
故答案为：
【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程和利用菱形的性质求面积，正确解方程是解题的关键．
40．6
【分析】设两直角边的长度分别为，n，则，n是方程的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案．
【详解】解：设两直角边的长度分别为，n，
由题意可得：，n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，则，，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
41．且
【分析】关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，且二次项系数不等于，据此列不等式求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得且．
故答案是：且．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，解不等式组；根据一元二次方程判别式定理构建不等式组是解题的关键．
42．10(答案不唯一)
【分析】函数的图象没有交点，即无解，用一元二次方程根的判别式可解．
【详解】解：由联立方程y=（k≠0）和一次函数y=-x+6，
有=-x+6，即x2-6x+k=0．
∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2-6x+k=0无解．
∴△=（-6）2-4×k=36-4k＜0，
解得k>9．
解也符合k≠0的前提条件
∴当k>9时，两函数的图象没有交点．
∴k可以取10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入一次函数解析式，求得两个函数的交点坐标．
43．
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．
【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用 ，难度一般．
44．
【分析】设的长为 ，则的长为 ，由题意得， ，整理得 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设的长为 ，则的长为 ，
由题意得， ，整理得 ，
解得，或，
当时，的长为 ，不满足题意，舍去，
∴的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．
45． 60
【分析】（1）设关于的函数关系式为，用待定系数法列方程组求解即可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销量，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）设关于的函数关系式为，
由图可知，点，在，
，
解得，
关于的函数关系式为，
故答案为；
（2）根据题意可得：
，
解得：或，
让利于顾客，
，
板栗的销售单价应定为60元，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题．
46．20
【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
【详解】解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得：，．
因为尽量减少库存，，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
47．④
【分析】由，，解得或，进而判断作答即可．
【详解】解：，
，
解得或，
∴第④步错误，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．
48．2
【分析】先利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；再由一元二次方程的根与系数的关系可得，解方程即可解答．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
由题意得：，
解得或，
又，
的值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
答案第1页，共2页
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