专题2.17 应用一元二次方程（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）个人．
A．8 B．9 C．10 D．11
2．粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，某小区居民休闲娱乐中心是建在一块长方形（长30米，宽20米）场地，被条宽度相等的绿化带划分为总面积为480平方米的6块活动场所．如果想求绿化带的宽度米，可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为2300元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使面积为的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
7．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5 D．
8．某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
10．张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 ．
11．用一段长为的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，若菜园的面积为，墙的长度为．设垂直于墙的一边长为，则x的值为 ．
12．两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程 ．
13．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元．
14．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ．
15．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
16．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为
三、解答题
17．春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有三人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？
18．为助力实现“双碳”目标，安徽大力发展光伏零部件制造，合肥某公司年第一季度生产A型零件的成本是万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，若该公司每个季度的平均下降率都相同．
(1)求该公司每个季度的平均下降率是多少．
(2)按照这个平均下降率，预计年第一季度生产A型零件的成本是多少元
19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
(1)当长度是多少时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成矩形花园面积为，为什么？
20．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由．
21．某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均每月可多卖出20本．设每本科普读物的售价降低元．
(1)小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，并说明理由；
(2)若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低3元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低1元即可”，请判断甲、乙两人的说法是否正确并指出应采取谁的意见．
22．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
(1)几秒后，的长度为；
(2)几秒后，的面积为；
(3)的面积能否为？请说明理由．
23．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
24．年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
(1)若降价元后，则平均每天销售数量为 件（用含的代数式表示）；
(2)若该经销商每天获得利润元，则每件商品应降价多少元？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得：，即，
解方程得 (舍去)，
即每轮传染中平均一个人传染了10个人；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．
2．B
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于x的一元二次方程；
【详解】设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．C
【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形，结合活动场所的总面积为480平方米，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：绿化带的宽度为米，
6块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．B
【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程．
【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为，
则，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键．
5．D
【分析】根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得的利润，即售价定为每个元，销售量为个，结合获得的利润为元，可列方程．
【详解】解：根据题意可得：，
即：
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意列出方程．
6．B
【分析】设出动点，运动秒，能使的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点，运动秒后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得，（当时，，不合题意，舍去）．
动点，运动3秒时，能使的面积为．
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，图形中的动点问题，根据题意，列出方程是关键．
7．A
【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x1＝x2＝0.4．
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．B
【分析】设有支球队参加比赛，每支球队都要和其他支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能算作一场，由此列出不等式即可．
【详解】解：设有支球队参加比赛，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9．10
【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．
【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：．
解得：，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用 ，难度一般．
11．10
【分析】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜园的面积为，列出一元二次方程，解之得出的值，再结合墙的长度为，即可确定的值．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
即的值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．或
【分析】已知设其中的一个奇数为，且设其中的一个奇数为，分两种情况讨论：若为较小的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程；若为较大的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程，即可正确解答．
【详解】①若为较小的奇数，则另一个奇数为，
∵两个连续奇数的积为323，
∴；
②若为较大的奇数，则另一个奇数为，
∴；
故答案为：或
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．
13．10
【分析】设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．
【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．
【分析】根据题意设，则，在中，用含的式子表示出，根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解．
【详解】解：，，，设，则，
在中，，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等，
∴，则，
∴，解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方程，解方程是解题的关键．
15．
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，
设小路宽为x米，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
17．在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人
【分析】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意列一元二次方程，求解即可得出结论．
【详解】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）设该公司每个季度的下降率是x，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）由（1）知x的值，代入计算即可得知年第一季度生产A型零件的成本．
【详解】（1）解：设该公司每个季度的下降率是x，由题意可得
，（不合题意，故舍去）
答：该公司每个季度的平均下降率是；
（2）解：年第三季度的生产成本为万元，由（1）知x的值为，
那么（万元），
答：按照这个平均下降率，预计年第一季度生产A型零件的成本是元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．(1)米
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论；
（2）设，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园．
【详解】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
20．最小的数是5，理由见解析
【分析】设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65或33，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设最小的数为x，则最大数为(x+8)，
由题意得x(x+8)=33，
解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合实际舍去；
由题意得x(x+8)=65，
解得x1=-13（舍去），x2=5，
所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(1)不正确，理由见解析
(2)甲、乙两人的说法都正确，应采取销售经理甲的意见
【分析】（1）根据题意卖出600本得到销售价格，发现低于成本则不能获利，故不正确；
（2）据题意列出一元二次方程，解出结果后得出结论．
【详解】（1）解：小宇的说法不正确，
理由是：根据小宇的说法可列方程，
解得，
∵售价为，
∴此时亏本销售，与题意不符，
∴小宇的说法不正确．
（2）解：由题意得
解得，，
∴两人的说法都正确．
∵由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取销售经理甲的意见．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
22．(1)后，的长度为
(2)或后，的面积等于
(3)的面积不可能等于，见解析
【分析】（1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）根据，解方程即可求解；
（3）根据，得关于的一元二次方程，运用根与系数的关系判定方程是否有实数解即可．
【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，，
∴在中，根据勾股定理，得，，
∴，解得或（舍去），
∴后，的长度为．
（2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，，
∴，即，解得或，
∴或后，的面积等于．
（3）解：不能，理由如下：
当时，即，
∴，整理得，，
∵，
∴方程没有实数根，
∴的面积不可能等于．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根据与系数的关系等知识是解题的关键．
23．(1)300
(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
24．(1)
(2)每件商品应降价元
【分析】（1）根据题意得，降价元后，则平均每天销售数量为件；
（2）根据题意得，降价元后，每件衬衫的利润为元，每天销售数量为件，即可得，进行计算得，，因为要尽快减少库存、增加盈利，所以，即可得．
【详解】（1）解：根据题意得，降价元后，则平均每天销售数量为件，
故答案为：，
（2）解：根据题意得，降价元后，每件衬衫的利润为元，每天销售数量为件，
，，
∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴，
即每件商品应降价元．
【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
