圆与四边形的综合 压轴题专项习
【例1】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形．
（1）如（图①），、、、是⊙O上的四个点，，延长到，使．求证：四边形是准平行四边形；
（2）如（图②），准平行四边形内接于⊙O，，，若⊙O的半径为5，，求的长；
（3）如（图③），在中，，，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值．
【思路点拨】
（1）可证是等边三角形，可得，由圆的内接四边形的性质可得，由四边形内角和定理可证，可得结论；
（2）如图②，连接，由准平行四边形定义可求，可得是直径，由勾股定理可求，将绕点顺时针旋转得到，可得，，，，由勾股定理可求的长；
（3）如图③，作的外接圆，过点作于，于，由准平行四边形定义可求，可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求，，由勾股定理可求，由当点在的延长线时，的长有最大值，即可求解．
【解题过程】
解：证明：（1）∵，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∴，且，
∴四边形是准平行四边形．
（2）如图②，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是准平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，，
∴，
∴是直径，
∴，
∴，
将绕点顺时针旋转90°得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴点，点，点三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图③，作的外接圆，过点作于，于，
，，，
，，
四边形是准平行四边形，且，
，
，且，，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
当点在的延长线时，的长有最大值，
长的最大值．
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若BF=2，，求⊙O的半径．
2．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，G为的中点，的外接圆交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
4．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点
（1）求证：与相切
（2）如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3） AF的最大值是__________．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
7．（2022春·江苏·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2022秋·江苏·九年级期中）如图1，已知，，点在轴的正半轴上，，，．点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．
（1）__________；
（2）当时，求的值；
（3）以线段为直径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为．
①是否存在这样的，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图①，矩形与以为直径的半圆O在直线l的上方，线段与点E、F都在直线l上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当、都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接、，若为直角，求此时t的值．
（3）当矩形为正方形时，连接，在点B运动的过程中，若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
11．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，的半径为，的顶点，，在上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若也与相切，求证：四边形是菱形；
（3）如图2，与相交于点，连接于，当时，求的对角线的长及阴影部分图形的面积．
12．（2023·全国·九年级专题练习）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，的面积等于？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的同时与直线相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
15．（2022·江西抚州·校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠BAD＝75°；
①求BE的长；
②求阴影部分的面积．
16．（2023秋·广东东莞·九年级统考期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC、OD．
（1）如图1，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝3，DF＝2，求AB的长．
18．（2023·河南开封·河南大学附属中学校考二模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E．交于点G．过点E，G分别作，的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．
（1）【探究发现】如图1，与的大小和位置关系：_________．
（2）【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图3，若，则
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为__________；
②在旋转过程中，的最大值是 .
19．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，在矩形中，，，点以/的速度从点向点运动，点以/的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．
（1）当时，的半径是___________，与直线的位置关系是___________；
（2）在点从点向点运动过程中，
①圆心的运动路径长是___________；
②当与直线相切时，求的值．
（3）连接，交于点，如图2，当时，求的值．
20．（2023·江苏连云港·统考一模）问题提出：（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图①，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点．若，求的长；
变式应用：（2）如图②，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为 ．
拓展应用：（3）如图③，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路（即），现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路（即、、），并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．
①则的度数为 ；
②求四边形的面积．
圆与四边形的综合 压轴题专项习
【例1】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形．
（1）如（图①），、、、是⊙O上的四个点，，延长到，使．求证：四边形是准平行四边形；
（2）如（图②），准平行四边形内接于⊙O，，，若⊙O的半径为5，，求的长；
（3）如（图③），在中，，，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值．
【思路点拨】
（1）可证是等边三角形，可得，由圆的内接四边形的性质可得，由四边形内角和定理可证，可得结论；
（2）如图②，连接，由准平行四边形定义可求，可得是直径，由勾股定理可求，将绕点顺时针旋转得到，可得，，，，由勾股定理可求的长；
（3）如图③，作的外接圆，过点作于，于，由准平行四边形定义可求，可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求，，由勾股定理可求，由当点在的延长线时，的长有最大值，即可求解．
【解题过程】
解：证明：（1）∵，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∴，且，
∴四边形是准平行四边形．
（2）如图②，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是准平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，，
∴，
∴是直径，
∴，
∴，
将绕点顺时针旋转90°得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴点，点，点三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图③，作的外接圆，过点作于，于，
，，，
，，
四边形是准平行四边形，且，
，
，且，，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
当点在的延长线时，的长有最大值，
长的最大值．
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若BF=2，，求⊙O的半径．
【思路点拨】
（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证；
（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°．
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA=90°．
∴∠AFD=∠CED=90°．
在△DAF和△DCE中，，
∴△DAF≌△DCE（AAS）．
∴AF=CE．
（2）解：如图，连接AH，DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD=∠DFA=90°．
∵AD=AB，，
∴．
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，
∴AD2－AF2=BD2－BF2．
∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．
∴．
∴AD=5．
∴⊙O的半径为．
2．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，G为的中点，的外接圆交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【思路点拨】
（1）连接并延长交于点E，连接，可证得，从而得到，进而得到垂直平分，从而得到，即可求证；
（2）过点O作，垂足为H，连接，，先证明四边形是矩形，可得，，再根据勾股定理求出，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：证明：连接并延长交于点E，连接，
∵四边形是矩形，
∴．
∵G为的中点，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴垂直平分，即．
∴，
∴，即．
∵点G在上，
∴与相切；
（2）解：过点O作，垂足为H，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵与相切，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【思路点拨】
（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）连接EF，作EG⊥AC，由（1）可知的性质得出后证明是等边三角形，接着求出，利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出，最后利用勾股定理求出EF的长．
【解题过程】
（1）解：连接AE，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AE是的半径，
∴与相切；
（2）连接EF，作EG⊥AC，
由（1）可知，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∴，
在中，
．
4．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点
（1）求证：与相切
（2）如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积．
【思路点拨】
（1）过点O作于点F，根据切线的性质可得，再由角平分线的性质可得，即可；
（2）设的半径为r，则，根据平行四边形的性质可得，，，再由平分，可得，从而得到，根据，，可得，再由切线长定理可得，从而得到，再由勾股定理求出r的长，然后根据弧、线段和组成的图形面积，即可求解．
【解题过程】
（1）证明∶过点O作于点F，
∵与相切，
∴，
∵平分，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解∶设的半径为r，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵与相切，与相切，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，解得：或3，
当时，，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴弧、线段和组成的图形面积
．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3） AF的最大值是__________．
【思路点拨】
（1）连接AE，根据同角的余角相等可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，再由其性质即可得解；
（2）分两种情况讨论：①当点E在正方形内部时，点A、E、F三点共线时，AF与圆C相切；②当点E在正方形外部时，点A、、三点共线时，与圆C相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；
（3）根据题意判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．
【解题过程】
解：（1）连接AE，如图所示：
∵，
即：，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）①如图所示：当点A、E、F三点共线时，AF与圆C相切，
则，
，
，
∴，
∴；
②如图所示：当点A、、三点共线时，与圆C相切，
则，
，
，
∴，
∴；
综合可得：当点A、E、F三点共线时，EF长为或；
（3）如图所示，点C在线段AF上，AF取得最大值，
，
∵，
∴，
即：AF的最大值是，
故答案为：．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
【思路点拨】
（1）连接BD，运用勾股定理求出BD和AD即可；
（2）①连接OB，OC，OD，证明BD是的直径即可；②过点D作于点E，设圆的半径为R，由勾股定理求出AB，AD，BC，CD的长，再根据运用三角形面积公式求解即可．
【解题过程】
解：（1）连接BD，如图，
在中，BC＝4，CD＝2，
∵
∴
在中，AB＝3，BD＝2 ，
∵
∴
（2）连接OB，OC，OD，如图，
∵
∴
在和中
∴≌
∴
∴O是线段BD的中点，
∴BD为的直径
∴
∴四边形ABCD是双直角四边形；
（3）过点D作于点E，
∵
∴
∴是等腰直角三角形
在中，，
∵
∴
设圆的半径为R，
∵和均为等腰直角三角形，
∴
在中，
在中，
∵，
∴
解得，
∴
7．（2022春·江苏·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．根据题意结合图形易证线段ON为中位线，即可求出长，从而求出与长，最后在中利用勾股定理即可求出DE的长，即⊙O的直径，即可判断OD=DE=OM，从而证明AB为⊙O的切线．
（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，利用圆周角定理以及三角形中线的性质易证，即证明CF=CD．
（3）取AD中点H，连接CH、FH、FD．根据（2）中三角形中线的结论可知，再在中，利用勾股定理可求出．最后利用三角形三边的关系即可求出CF的最小值．
【解题过程】
（1）如图，过点O作，且OM的反向延长线交CD于点N．
由题意可知四边形BCNM为矩形，
∴MN=AD=3，
∵O为圆心，即O为DE中点，
∴N为DC中点，即线段ON为中位线，
又∵，
∴，
∴OM=MN-ON=3-1=2．
在中，．
∴OD=DE=OM=2．
即AB为⊙O的切线．
（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，
∵DE为直径，
∴．
∴，
∴CG为直径．
∴，
∵E为BC中点，
∴G为AD中点，
在中，FG为中线，
∴AG=DG=FG，
在和中， ，
∴．
∴CF=CD．
（3）如图，取AD中点H，连接CH、FH、FD．
由（2）可知，
在中，，
∵．
∴当F点在CH上时CF长有最小值，最小值为．
8．（2022秋·江苏·九年级期中）如图1，已知，，点在轴的正半轴上，，，．点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒．
（1）__________；
（2）当时，求的值；
（3）以线段为直径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．
【思路点拨】
（1）根据等腰三角形的判定和勾股定理即可得出答案；
（2）分①当点P在点B右侧时，②当点P'在点B左侧时两种情况进行求解即可；
（3）分①当该圆与BC相切于点C，②当该圆与CD相切于点C，③当该圆与AD相切三种情况分别求出t的值即可；
【解题过程】
解：（1）
，
（2）如图1中，
①当点P在点B右侧时，
②当点P'在点B左侧时，
综上所述： t的值为或
(3)如图2中，
由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当该圆与BC相切于点C时，有
则，
秒，
②当该圆与CD相切于点C时，有即点P2与点O重合，
秒，
③当该圆与AD相切时，
设P3的坐标为(-10 +t，0)，
∴M点的坐标为
过M作MH⊥AD于H ，
整理得10t=9，
解得
综上所述，当与四边形ABCD的边或边所在的直线相切时，t的值为16秒或10秒或 秒
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为．
①是否存在这样的，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）．
【思路点拨】
（1）由平行四边形的性质可得PQOB，PQ＝OB，可证四边形PQOA为平行四边形，可得PAQO，PA＝QO．由中点的性质可得OM＝PN，可证四边形OMPN为平行四边形，由等腰三角形的性质可得∠ONP＝90°，可得结论；
（2）①求出点Q落在半圆O上时，t的值，点P与点A重合时，t的取值，根据这两个特殊位置，可求点Q落在半圆O内时，t的取值范围；
②由面积公式可得S矩形OMPN＝S△AOP，由△AOP的底AO为定值，则当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，即可求t的值，由平行线的性质可得∠OPQ＝90°，可证PQ与半圆O相切．
【解题过程】
解：（1）四边形OMPN为矩形，
理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，
∴PQOB，PQ＝OB，
又∵OB＝OA，
∴PQ＝AO，
又∵PQOA，
∴四边形PQOA为平行四边形，
∴PAQO，PA＝QO．
又∵M、N分别为OQ、AP的中点，
∴OM＝OQ，PN＝AP，
∴OM＝PN，
∴四边形OMPN为平行四边形，
∵OP＝OA，N是AP的中点，
∴ON⊥AP，即∠ONP＝90°，
∴四边形OMPN为矩形；
（2）①如图，当点Q落在半圆O上时，
∵四边形POBQ是平行四边形，
∴PQ＝OB，PO＝BQ，
又∵OB＝OP＝OQ，
∴OP＝OQ＝PQ＝BO＝BQ，
∴△POQ是等边三角形，△BQO是等边三角形，
∴∠POQ＝∠BOQ＝60°，
∴∠BOP＝120°，
∴t＝＝8s，
∴当t＝8s时，点Q落在半圆O上，
∵当点P与点A重合时，t＝＝12s，
∴当8＜t＜12时，点Q落在半圆O内；
②∵四边形OMPN为矩形，
∴S矩形OMPN＝ON NP＝AP ON，
∴S矩形OMPN＝S△AOP，
∵△AOP的底AO为定值，
∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值．
∴t＝90÷15＝6秒．
∴当t＝6s时，四边形OMPN面积最大，
此时，PQ与半圆O相切．
理由如下：∵∠POB＝90°，PQOB，
∴∠OPQ＝90°，
∴PQ与半圆O相切．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图①，矩形与以为直径的半圆O在直线l的上方，线段与点E、F都在直线l上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当、都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接、，若为直角，求此时t的值．
（3）当矩形为正方形时，连接，在点B运动的过程中，若直线与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
【思路点拨】
（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解；
（3）当半圆O与直线相切时，可求得，此时半圆O与直线只有一个交点；当点E与点A重合时，可求得，此时半圆O与直线有两个交点；当点F与点A重合时，可求得，此时半圆O与直线只有一个交点，即可得到t的取值范围．
【解题过程】
（1）设与交于点M
当时，
∵
∴
∴
∴
在矩形中，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
即半圆O在矩形内的弧的长度为.
（2）连接，
∵
∴，
∵
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∴
解得：
即t的值为8或9．
（3）或
理由：当半圆O与直线相切时，过圆心O作于点P
则
∵四边形为正方形
∴
又∵
∴为等腰直角三角形
则
∴
则，此时半圆O与直线相切；
当点E与点A重合时，，此时半圆O与直线有两个交点；
当点F与点A重合时，，此时半圆O与直线只有一个交点，
则t的取值范围为或．
故答案为：或．
11．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，的半径为，的顶点，，在上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若也与相切，求证：四边形是菱形；
（3）如图2，与相交于点，连接于，当时，求的对角线的长及阴影部分图形的面积．
【思路点拨】
（1）连接，，，延长交于，根据垂直平分线的性质得出垂直平分，再根据平行四边形的性质进行证明即可；
（2）根据切线长定理和四边形是平行四边形进行证明即可；
（3）连接，，过点作交于，根据平行四边形的性质和圆内接四边形的性质得出，，再根据勾股定理、等腰三角形的性质和含角直角三角形的性质得到和的长，最后根据弓形的面积进行求解即可．
【解题过程】
（1）连接，，，延长交于，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
又∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵是的切线，也是的切线，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（3）连接，，过点作交于，
∵，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴弓形的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积．
12．（2023·全国·九年级专题练习）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
【思路点拨】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解题过程】
解：（1）如图1，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
【思路点拨】
（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．
【解题过程】
解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2，
∴EA2+CF2＝EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，
即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，
∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3，
∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2，
∴，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝AB＝6，
∴⊙O的半径为6．
14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，的面积等于？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的同时与直线相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若与四边形有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
【思路点拨】
（1）由题意可知，从而得到．再根据，即可列出关于t的方程，解出t的值即可；
（2）连接，依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）①先用含t的式子表示出的长，然后依据列出关于t的方程，从而可求得t的值；②当时，与四边形有两个公共点，由①可知当时，与四边形有两个公共点，从而可确定出t的取值范围．
【解题过程】
（1）解：∵当运动时间为t秒时，，
∴．
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，，
∴当t为1秒或3秒时，的面积等于；
（2）解：连接，如图，
∵以P为圆心的同时与直线相切，
∴，．
在中，，
∴．
∵，
∴，．
在中，，
∴，
解得：；
（3）解：①如图，
∵，
∴．
∵点D落在上，
∴．
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：，（舍），
∴存在t值，使得点D落在上，此时t值为；
②分类讨论：当时，如图，
与四边形有两个公共点；
当经过点D时，与四边形有两个公共点，如图，
由①可知此时，
∴当时，与四边形有三个公共点．
故答案为：．
15．（2022·江西抚州·校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠BAD＝75°；
①求BE的长；
②求阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）根据垂径定理的推论可确定BE⊥AD，再结合平行四边形的性质即可证明．
（2）①连接AO．根据直角三角形两个锐角互余求出∠ABO，再根据等边对等角和三角形外角的性质求出∠AOE，根据30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理和等价代换思想求出OB和OE的长度，即可求出BE的长度．
②连接OD，OF，BF．根据等价代换思想求出DE的长度，进而求出△ODE的面积；根据平行四边形的性质，圆内接四边形的性质求出∠ABF，进而求出∠OBF，根据等边三角形的判定定理和性质求出∠BOF，进而求出扇形OBF的面积；根据圆周角定理求出∠BOD，进而求得DOF，再根据三角形面积公式求出△DOF的面积；根据线段的和差关系和平行四边形的性质求出BC的长度，然后根据梯形面积公式求出梯形EBCD的面积，再减去扇形OBF，△DOF，△ODE这三部分的面积即可得到阴影部分的面积．
【解题过程】
（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴BE⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴BE⊥BC．
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：①如图，连接AO．
∵BE⊥AD，∠BAD＝75°，
∴∠ABO＝15°．
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝15°．
∴∠AOE=∠BAO+∠ABO＝30°．
∵AE=1，
∴OA＝2AE＝2．
∴OB＝2，OE＝．
∴BE＝OB+OE＝2+．
②如图，连接OD，OF，BF．
∵AE=1，E是AD的中点，
∴DE=1．
∴，AD=AE+DE=2．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝75°，
∴∠ADC＝180°-∠BAD=105°，∠BOD=2∠BAD=150°．
∵四边形ABFD内接于，
∴∠ABF=180°-∠ADC=75°．
∴∠OBF=∠ABF-∠ABO=60°．
∵OF=OB=2，
∴△OBF是等边三角形．
∴∠BOF=60°．
∴∠DOF=∠BOD-∠BOF=90°，S扇形OBF．
∵OF=2，
∴OD=OF=2．
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴S梯形EBCD=．
∴S阴=S梯形EBCD-S扇形OBF．
∴阴影部分的面积为．
16．（2023秋·广东东莞·九年级统考期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）由平分得，加上，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）如图，过点作与，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长；
（3）如图，连接，点是弧的中点得到，先证明四边形为菱形，得到，，和为等边三角形，从而得到，，，
在中，可计算出，，所以，然后利用即可得出结论．
【解题过程】
（1）证明：如图，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线．
（2）解：如图，过点作与，
∴，
∵，，，
∴
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，，
在中，
∵，，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴．
∴的长为．
（3）如图，连接，
∵是弧的中点，的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴．
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC、OD．
（1）如图1，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝3，DF＝2，求AB的长．
【思路点拨】
（1）连接OA、OB，则OA=OB，根据矩形的性质和等腰三角形的性质证得∠DAO=∠CBO，AD=BC，进而利用SAS证明△AOD≌△BOC即可证得结论；
（2）过O作OM⊥CD于M，则OM∥AD，根据等腰三角形的三线合一性质证得∠DOM=∠COM=∠COD，根据平行线的性质证得∠ODA=∠DOM=∠COD=∠EDO，进而证得结论；
（3）连接OB、OG、AG、OE、EF，设EF与AD相交于H，利用切线性质可得OE⊥DE，进而得到OC⊥OE，利用弦切角定理和角平分线定义得到∠AHE=45°，根据平行线的性质证得∠DAG=∠AHE=45°，再利用圆周角定理和勾股定理求得圆的半径和DE长，过D作DN⊥OC于N，利用矩形的判定与性质可得DN=OE=3，ON=DE=4，再利用勾股定理求得CD即可求得AB长．
【解题过程】
（1）证明：如图1，连接OA、OB，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC，AB=CD，
∴∠DAO=∠CBO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴OC=OD；
（2）证明：过O作OM⊥CD于M，则∠OMD=90°，
∴∠ADC=∠OMC=90°，
∴OM∥AD，
∵OM⊥CD，OC=OD，
∴∠DOM=∠COM=∠COD，
∵OM∥AD，DE∥OC，
∴∠COD=∠EDO，∠DOM=∠ODA，
∴∠ODA=∠EDO，
∴DA平分∠EDO；
（3）解：连接OB、OG、AG、OE、EF，设EF与AD相交于H，
∵DE与⊙O相切，
∴OE⊥DE，又OC∥DE，
∴OC⊥OE，
∴∠EOD+∠ODE=90°，即∠EOD+∠EDO=45°，
由（2）结论知，∠EDA=∠EDO，
∵∠DEF为弦切角，
∴∠DEF= ∠EOD，
∴∠AHE=∠DEF+∠EDA=45°，
∵弧FG＝弧AE，
∴EF∥AG，
∴∠DAG=∠AHE=45°，又∠BAD=90°，
∴∠BAG=90°－∠DAG=45°，
∴∠BOG=2∠BAG=90°，
在Rt△BOG中，OB=OG，BG＝3，
由勾股定理得：，即，
∴OB=3，
∴OE=OF=3，又DF＝2，
∴OD=OF+DF=3+2=5，
∴DE= = =4，
过D作DN⊥OC于N，则四边形EOND为矩形，
∴DN=OE=3，ON=DE=4，
∵OC=OD=5，
∴CN=OC－ON=5－4=1，
在Rt△CDN中，CD= = ，
∴AB=CD= ．
18．（2023·河南开封·河南大学附属中学校考二模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E．交于点G．过点E，G分别作，的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．
（1）【探究发现】如图1，与的大小和位置关系：_________．
（2）【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．
（3）【思维拓展】如图3，若，则
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为__________；
②在旋转过程中，的最大值是 .
【思路点拨】
（1）①延长交于H，连接， 证得三点共线，是等腰三角形，由四边形是矩形，四边形是矩形，可得出；
（2）通过延长交于点M，交于点N．证得，即可得出答案；
（3）①延长、交于点Q，可得四边形是矩形、四边形是矩形，得出，，再利用勾股定理即可得出答案；②依题意可得出F的运动轨迹是以A为圆心，为半径的圆，当C、A、F三点共线，且时，取得最大值，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：延长交于H，连接，
在正方形和正方形中：
，平分，平分，
∴，，
∴三点共线，
∴．
∵，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵， ，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为∶．
（2）解：（1）中的关系存在．理由如下：
延长交于点M，交于点N，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
∴且．
（3）解：①延长、交于点Q，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
②在正方形和正方形中∶
，
∴F的运动轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
∴当C、A、F三点共线，且时，取得最大值．
此时，
故答案为：．
19．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，在矩形中，，，点以/的速度从点向点运动，点以/的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．
（1）当时，的半径是___________，与直线的位置关系是___________；
（2）在点从点向点运动过程中，
①圆心的运动路径长是___________；
②当与直线相切时，求的值．
（3）连接，交于点，如图2，当时，求的值．
【思路点拨】
（1）过点作于，交于，根据矩形的性质，得出，，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出的直径是，，再根据题意，得出当时，，，再根据线段之间的数量关系，得出，，再根据勾股定理，得出，进而得出的半径为，再根据中位线的性质，得出，进而得出，再根据，即可判断与直线的位置关系；
（2）①根据、运动的速度与、的比相等，得出圆心在对角线上，再根据图形和题意，得出和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，是的中点，再根据中点的性质，得出，再根据勾股定理，得出，进而得出的长，即为圆心的运动路径长；②当与相切时，设切点为，连接并延长交于，根据切线的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系和题意，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据圆的性质，得出，再根据中位线的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，列出关于的方程，解出即可得出答案；
（3）过作，交的延长线于点，连接，根据等量代换，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据①，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：如图，过点作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴的半径为，
∵，是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴与直线的位置关系是相离；
故答案为：；相离
（2）解：①如图，
∵、运动的速度与、的比相等，
∴圆心在对角线上，
由图可知，和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，是的中点，
∴，
由勾股定理，可得：，
∴，
∴圆心的运动路径长是；
故答案为：
②如图，当与相切时，
设切点为，连接并延长交于，则，，
则，，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：（舍去），，
∴．
20．（2023·江苏连云港·统考一模）问题提出：
（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为的正方形制作了一个“弦图”：如图①，在正方形内取一点，使得，作，，垂足分别为、，延长交于点．若，求的长；
变式应用：
（2）如图②，分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为，，则正方形的面积为 ．
拓展应用：
（3）如图③，公园中有一块四边形空地，米，米，米，，空地中有一段半径为米的弧形道路（即），现准备在上找一点将弧形道路改造为三条直路（即、、），并要求，三条直路将空地分割为、和四边形三个区域，用来种植不同的花草．
①则的度数为 ；
②求四边形的面积．
【思路点拨】
（1）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图②，延长交于，延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，同理，，根据全等三角形的性质得到，求得正方形的面积，于是得到结论；
（3）①如图③，连接，根据勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，推出是所在圆的直径，是等腰直角三角形，得到点，，，四点共圆，，圆内接四边形的性质得到的度数；
②根据三角形的面积公式得到；根据旋转的想得到，，，延长交于，推出是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解题过程】
解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不合题意，舍去），
∴的长为；
（2）解：如图②，延长交于，延长交于，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形，
∵的面积为，，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的面积为：，
故答案为：；
（3）如图③，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是所在圆的直径，是等腰直角三角形，
∴点，，，四点共圆，，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵是等腰直角三角形，
∴，
把绕着点逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴∠，，
∴，
∴，
延长交于，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴（平方米）．
