绝密★启用前
辽宁省名校联盟2023-2024学年高一上学期10月联合考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，集合满足，则可以是（ ）
A． B． C． D．
3．数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，则命题，，的否定为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．满足下面两个条件的整数的所有取值之和为
①关于的不等式组的解集为；
②关于，的二元一次方程组有正整数解（，均为正整数）．
A．9 B．8 C．7 D．6
8．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知实数，，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知正实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出的一个必要不充分条件为__________．（用区间表示）
14．已知不等式的解集为，则__________．
15．已知且，则的最小值为__________．
16．已知集合，，在求时，甲同学看错的值，求得，乙同学看错的值，求得，若甲、乙同学求解过程正确，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知全集，，．
（1）求；
（2）求，，并探究它们之间的关系．
18．（12分）
（1）证明：，，；
（2）已知，证明：．
19．（12分）
已知命题，为假命题，记实数的取值为集合．
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若__________，求实数的取值范围．
从①“”是“”的充分不必要条件；
②“”是“”的必要不充分条件，这两条件中任选一个，填入上面的横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）
已知关于的不等式．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式．
21．（12分）
已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样．
（1）若用48米长的栅栏围成小矩形花池（不考虑用料损耗），则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？
（2）若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？
22．（12分）
已知全集，集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若中仅有负整数元素，求实数的取值范围．
参考答案及解析
一、选择题
1．C【解析】因为是自然数，所以，A项错误；
因为是无理数，所以是无理数，则，B项错误；
表示正整数集，显然是整数集的子集，所以，C项正确；
集合是含有一个元素0的集合，空集不含任何元素，所以，D项错误．故选C项．
2．B【解析】当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意．故选B项．
3．D【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题，，的否定为，，．故选D项．
4．A【解析】由，得，，，所以，因此甲是乙的充分条件；
由，得，，中至少有一个不为0，不能推出，因此甲是乙的不必要条件，
所以甲是乙的充分不必要条件．故选A项．
5．D【解析】由，得，
所以解得或．故选D项．
6．D【解析】由解得则．故选D项．
7．B【解析】由解得由题意可知解得．
由解得，
由为正整数可知，0，2，6，经验证可知当，6时，为正整数，所以，6，
则整数的所有取值之和为8．故选B项．
8．A【解析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，
观看过田径类与游泳类比赛的有人，则，
只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①，
因为有18人没看过球类比赛，所以，
因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，，
所以②，由①②得，则．故选A项．
二、选择题
9．ABC【解析】对于A项，当时，满足，A项正确；
对于B项，因为，，且，所以，B项正确；
对于C项，，，C项正确；
对于D项，因为，所以无解，D项错误．故选ABC项．
10．BCD【解析】当，，，时，满足条件，
此时，A项错误；
由，得，又，，所以，B项正确；
由，，得，C项正确；
由，得，所以，则，
又，所以，D项正确．故选BCD项．
11．AD【解析】由题意作出如图所示的Venn图，由，知，没有共同元素，
所以，所以，，A项正确，B项错误；
由图可知，，C项错误；
，D项正确．故选AD项．
12．ABD【解析】由题得．
对于A项，，所以，当且仅当时等号成立，A项正确；
对于B项，，解得，当且仅当时等号成立，B项正确；
对于C项，由，得，C项错误；
对于D项，由，得，所以，所以，D项正确．故选ABD项．
三、填空题
13．（答案不唯一）【解析】根据必要不充分条件的概念可知，的一个必要不充分条件可以为．
14．5【解析】原不等式等价于当时，该不等式的解集为，
此时，即，，所以；
当时，该不等式的解集为，不满足题意；
当时，该不等式的解集为，不满足题意．综上，．
15．【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即时取得等号．
16．【解析】由，得，
由，得，解得．
由得，再由解得或
故．
四、解答题
17．解：（1）因为，，所以．（3分）
（2）全集，（4分）
因为，，所以，（6分）
因为，，所以，（7分）
所以．（8分）
由上可知．（10分）
18．证明：（1），（2分）
因为，．所以，（4分）
则，故，（当且仅当，时取等号）．（5分）
（2）因为，所以，所以，则，（6分）
所以，即，（8分）
又，所以，（10分）
故．（12分）
19．解：（1）由为假命题可知，方程没有实数根，（1分）
所以，（2分）
即，解得，（4分）
所以实数的取值集合．（5分）
（2）由，得，解得，
所以该不等式的解集．（7分）
若选择①，则，（8分）
所以解得，经检验符合题意，（11分）
故实数的取值范围为．（12分）
若选择②，则，（8分）
由（1）可知，，（9分）
易知，所以或，解得或，（11分）
故实数的取值范围为．（12分）
20．解：（1）当时，，（1分）
可化为，即，（3分）
所以原不等式的解集为．（4分）
（2）当时，原不等式化为，解得，此时不等式的解集为；（5分）
当时，原不等式化为，此时不等式的解集为；（7分）
当时，原不等式化为，此时不等式的解集为；（9分）
当时，原不等式化为，此时不等式的解集为；（10分）
当时，原不等式化为，此时不等式的解集为．（11分）
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．（12分）
21．解：设每个小矩形花池的长、宽分别为米、米，则每个花池的面积为平方米．
（1）由题意可知，所以，（2分）
则，所以，（4分）
当且仅当，即，时取得等号．
故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大．（6分）
（2）由题意知，则，（7分）
所以，（10分）
当且仅当，即，时取得等号，
故每个小矩形花池的长为7米、宽为米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小．（12分）
22．解：（1）易知，
，（3分）
由可知，．（4分）
当时，，解得；（5分）
当时，则解得．（8分）
综上，实数的取值范围为．（9分）
（2）由（1）可知，，
由中只有一个整数元素，可知，所以，①（10分）
可知，要使中仅有一个整数元素，
则解得，②（11分）
由①②可知．故实数的取值范围为．（12分）
