22.2 二次函数与一元二次方程
一、选择题
1．根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
1.1 1.2 1.3 1.4
-0.59 0.84 2.29 3.76
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
2．已知二次函数（k为常数）的图象与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．二次函数y＝x2＋bx的对称轴为x＝1，若关于一元二次方程x2＋bx－t＝0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＜8 B．t＜3 C．－1≤t＜3 D．－1≤t＜8
5．已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的顶点坐标为，其部分图像如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．
B．
C．关于x的方程没有实数根
D．关于x的方程的负实数根取值范围为：
7．设二次函数y=ax2+c(a，c是常数，a<0)，已知函数的图象经过点(-2，p)，(，0)，(4，q)，设方程ax2+c+2=0的正实数根为m， （ ）
A．若p>1，q<-1，则2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ．
10．已知二次函数的图像与x轴交于点，则关于x的一元二次方程的解为 .
11．已知函数 的图象如图所示，那么关于 的方程 有两个不相同的实数根，则 的取值范围是 .
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根之和是 ．
13．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数根，则c的最小值为 .
三、解答题
14．已知点为二次函数图像上的点，求代数式的值．
15．已知二次函数y＝x2+2bx+c
（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值.
16．已知抛物线.
（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（2）若，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，请说明理由.
17．设二次函数 （m是常数）．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）试判断二次函数图象与x轴的交点情况；
（3）设二次函数的图象与y轴交于点 ，当 时，求n的最大值．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．B
6．C
7．D
8．B
9．
10．，
11．m＜2
12．2
13．-4
14．解：∵点在二次函数图像上
∴
∴
∵
把代入得
15．（1）解：由y＝1得 x2+2bx+c＝1，
∴x2+2bx+c﹣1＝0
∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，
则存在两个实数，使得相应的y＝1；
（2）解：由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，
①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；
②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时
﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣ ，不合题意，舍去，
③当﹣2＜﹣b＜2时，则 ＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝ （不合题意，舍去），b2＝ .
综上：b＝3或 .
16．（1）解：∵
∴
即
该抛物线与x轴公共点的坐标为 和
（2）解：当a=b=1时，抛物线y = 3x2＋2x+ c与x轴有公共点，则所对应方程的根的判别式△=4-12c≥0，有c≤
①当 时，由 ，得 ，符合题意；
②当 时，x1=-1 时， y1=1+c， 当 x=1时，y=5+c.由已知 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，且对称轴为 ，应有 ，即1+c≤0，5+c＞0解得-5
综合可得， 或
（3）解：在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点
理由：∵x1=0，y1＞0，
∴c＞0，
∵x2=1，y2＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∵a+b+c=0
∴2a+b＞0，
∵b=-a-c，
∴2a-c-a＞0，即a-c＞0，
∴a＞c＞0；
当y=0时，3ax2+2bx+c=0
∴4b2-12ac=4（-a-c）2-12ac=4[（a-c）2+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴的下方，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
∴-2a＜b＜-a，
∴
∴对称轴大于0小于1，
∴在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点
17．（1）解：当m＝3时，二次函数y＝x2﹣4x+17＝（x﹣2）2+13，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13）；
（2）解：令x2﹣（m+1）x+m2+2m+2＝0，
∴Δ＝（m+1）2﹣4（m2+2m+2）＝﹣3（m+1）2﹣4＜0，
∴该一元二次方程无解，
∴二次函数图象与x轴无交点；
（3）解：令x＝0，
∴n＝m2+2m+2＝（m+1）2+1，
∴对称轴为m=-1，
∵﹣2≤m≤2，抛物线开口向上，
∴当m＝2时，二次函数有最大值，即n的最大值为10．
