第1单元 一元二次方程压轴精选30题
一．选择题（共13小题）
1．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
4．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003
5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
6．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
7．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
10．设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
11．若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7．那么b的值是（ ）
A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣1
12．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
13．已知方程x2﹣（m﹣1）x+（m+7）＝0有一个正根和一个负根，那么（ ）
A．m＞7 B．m＞1 C．m＜1 D．m＜﹣7
二．填空题（共11小题）
14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
15．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为 ．
16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ．
17．已知直角三角形两边x、y的长满足|x2﹣4|+＝0，则第三边长为 ．
18．已知m、n是方程x2﹣2002x+2003＝0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是 ．
19．若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则α2+αβ﹣3α＝ ．
20．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根，那么代数式2m2+4n2﹣6n+1999的值＝ ．
21．如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为 ．（化简为一般式）
22．设一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则两根与方程之间有如下的关系：x1+x2＝，x1x2＝．请根据这种关系填空：已知x1，x2是2x2+5x+4＝0的两个实数根，则＝ ．
23．定义新运算“*”，规则：a*b＝，如1*2＝2，*．若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
24．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
三．解答题（共6小题）
25．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
26．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
27．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
28．某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣费用）
29．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
30．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．
问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 cm，宽是 cm；
问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 cm，宽为 cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第1单元 一元二次方程压轴精选30题
一．选择题（共13小题）
1．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
【答案】C
【解答】解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）] [（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
故选：C．
4．设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．﹣2003
【答案】D
【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，
故ax12005+bx22005＝（x1+x2）（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），
＝2003×2004﹣2005×2003，
＝﹣2003．
故选：D．
5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（ ）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
【答案】D
【解答】解：∵x2≥0，2[x]＝x2，
∴x≥0，
①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
②1≤x＜2时，x2＝2，解得x＝或x＝﹣（舍）；
③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；
④x≥3时，方程无解；
综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x＝，
故选：D．
6．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足+＝﹣1，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
【答案】A
【解答】解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
7．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
【答案】B
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣＝﹣1，
并且a2+a﹣2011＝0，
∴a2+a＝2011，
∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2011﹣1＝2010．
故选：B．
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
【答案】A
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
10．设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000
【答案】D
【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣9，α β＝1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
又∵α，β是方程x2+9x+1＝0的两个实数根，
∴α2+9α+1＝0，β2+9β+1＝0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
＝2000α 2000β
＝2000×2000αβ，
而α β＝1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）＝4 000 000．
故选：D．
11．若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7．那么b的值是（ ）
A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣1
【答案】A
【解答】解：x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，
得x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3b．
又x12+x22＝7，则（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6b＝7，解得b＝﹣7或1，
当b＝﹣7时，Δ＝49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b＝1．
故选：A．
12．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【答案】B
【解答】解：依题意Δ＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，
即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，a≠0，
∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，
∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，又a≠1，
∴a＝﹣1．
故选：B．
13．已知方程x2﹣（m﹣1）x+（m+7）＝0有一个正根和一个负根，那么（ ）
A．m＞7 B．m＞1 C．m＜1 D．m＜﹣7
【答案】D
【解答】解：根据题意可知
两根之积小于0，
所以m+7＜0，即m＜﹣7；
又因为Δ＝m2﹣6m﹣27＞0，
即m＜﹣3，或m＞9，
所以m＜﹣7．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ 3或﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x＝3或2，
①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；
②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．
故答案为：3或﹣3．
15．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
则原式＝＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣
16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
17．已知直角三角形两边x、y的长满足|x2﹣4|+＝0，则第三边长为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|x2﹣4|≥0，，
∴x2﹣4＝0，y2﹣5y+6＝0，
∴x＝2或﹣2（舍去），y＝2或3，
①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：＝；
②当2，3均为直角边时，斜边为＝；
③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是＝．
18．已知m、n是方程x2﹣2002x+2003＝0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得m2﹣2002m+2003＝0，
则m2＝2002m﹣2003；
又n2﹣2002n+2003＝0，
则n2＝2002n﹣2003，
∴（n2﹣2003n+2004）×（m2﹣2003m+2004）
＝（2002n﹣2003﹣2003n+2004）（2002m﹣2003﹣2003m+2004）
＝（﹣n+1）（﹣m+1）
＝mn﹣（m+n）+1
＝2003﹣2002+1
＝2．
故填空答案：2．
19．若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则α2+αβ﹣3α＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴α2﹣3α+1＝0，即α2﹣3α＝﹣1，αβ＝1；
∴α2+αβ﹣3α＝﹣1+1＝0；
故答案为：0．
20．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根，那么代数式2m2+4n2﹣6n+1999的值＝ 2011 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根，
∴m2﹣3m+1＝0，n2﹣3n+1＝0，m+n＝3，
∴m2＝3m﹣1，n2＝3n﹣1，
∴2m2+4n2﹣6n+1999
＝2（3m﹣1）+4（3n﹣1）﹣6n+1999
＝6m﹣2+12n﹣4﹣6n+1999
＝6（m+n）+1993
＝6×3+1993
＝2011．
21．如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为 x2+125x﹣3750＝0 ．（化简为一般式）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设花色地毯的宽为xcm，
那么地毯的面积＝（150+2x）（100+2x）
镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，
所以，可得出（150+2x）（100+2x）＝2×150×100
即：x2+125x﹣3750＝0．
故答案为：x2+125x﹣3750＝0．
22．设一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则两根与方程之间有如下的关系：x1+x2＝，x1x2＝．请根据这种关系填空：已知x1，x2是2x2+5x+4＝0的两个实数根，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵＝＝，
又∵x1，x2是2x2+5x+4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝2，
∴原式＝．
故填空答案：．
23．定义新运算“*”，规则：a*b＝，如1*2＝2，*．若x2+x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在x2+x﹣1＝0中，
a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝5＞0，
所以x1＝，x2＝或x1＝，x2＝．
∴x1*x2＝*＝．
24．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，
∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共6小题）
25．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
26．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出 （300+100×） 只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100×） 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出（300+100×）只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100×）元．
（2）令（1﹣m）（300+100×）＝420．
化简得，100m2﹣70m+12＝0．
即，m2﹣0.7m+0.12＝0．
解得m＝0.4或m＝0.3．
可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多．
答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
27．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x＝6
整理得：x2﹣5x+6＝0
解得：x＝2或x＝3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
5t2﹣10t＝0，
t（5t﹣10）＝0，
t1＝0（舍弃），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
△＝25﹣32＝﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
28．某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣费用）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设年产量为t吨，费用为y（万元），每吨销售价为z（万元），则0≤t≤1000，
由图（1）可求得y＝10t，
由图（2）求得z＝﹣t+30．
设毛利润为w（万元），
则w＝tz﹣y＝t（﹣t+30）﹣10t＝﹣t2+20t．
∴﹣t2+20t＝7500，
∴t2﹣2000t+750000＝0，
解得t1＝500，t2＝1500（不合题意，舍去）．
故年产量是500吨时，当年可获得7500万元毛利润．
29．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故k的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1或0．
30．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．
问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 2b+c+6 cm，宽是 a cm；
问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 2x+38 cm，宽为 2x+26 cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：问题1：（2b+c+6）；a，
问题2：（1）26+2x，18.5×2+1+2x＝38+2x；
（2）设折进去的宽度为xcm，列方程得：
（38+2x）（26+2x）＝1260，
988+128x+4x2＝1260，
x2+32x﹣68＝0，
x1＝2 x2＝﹣34（舍去），
折进去的宽度为2cm．
∴x＝2．
答：小正方形的边长为2cm．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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