第13章 全等三角形 单元测试卷（A卷 夯实基础）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a=b，则a2=b2 B．全等三角形的周长相等
C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】
A的逆命题是若a2=b2，则a=b，显然是错误的；B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形，错误；C的逆命题是若ab=0，则a=0，显然有可能，错误；D的逆命题是等腰三角形的两边相等，正确．故选D
2．有下列说法：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高线相等：④等腰三角形两底角的平分线相等其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
【解析】
解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形的两底角相等；正确；
③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握是解题的关键．
3．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
【答案】A
【分析】
由知，由全等三角形的判定定理知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解析】
解：A、若，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故符合题意．
B、若，，，由不能判定，故不符合题意；
C、若，，，由不能判定，故不符合题意；
D、若，，，由能判定，但不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，两直角三角形全等，还有．
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )
A．1.5 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
由直角三角形两个锐角互余得到∠B＝30°的度数，再根据角平分线的性质得到DE的长度，最后由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得BD的长.
【解析】
∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD=3，
∴BD=2DE=6，
故选：C
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，熟练掌握这些性质是解答此题的关键.
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
【答案】B
【解析】
【分析】
分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解析】
当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为50°，
则底角为×（180°﹣50°）＝65°，
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，
则底角为×（180°﹣130°）＝25°，
综上可知该三角形的底角为65°或25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.
6．作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【分析】
利用基本作图得到OD=OE，DC=EC，然后根据全等三角形的判定得到进行判断．
【解析】
解：如图，连接EC，DC．
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS），
∴∠EOC=∠DOC，
∴OC平分∠BOA．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
8．如图，点 P 在∠MAN的角平分线上，点 B ，C 分别在 AM，AN上，作 PR⊥AM， PS⊥AN，垂足分别是 R，S．若∠ABP ∠ACP 180，则下面三个结论：① AS AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP ．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】
利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用HL证明△APR≌△APS，得到AS=AR，可判断①；再根据∠ABP ∠ACP 180，得到∠ABP=∠PCS，再利用AAS证明△BRP≌△CSP可判断③；再说明若要PC∥AB，则需要说明AC=PC，无法达成，从而可判断②.
【解析】
解：∵点 P 在∠MAN的角平分上，PR⊥AM， PS⊥AN，
∴PR=PS，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①正确；
∵∠ABP ∠ACP 180，
∴∠ABP=∠PCS，
又∵PR=PS，∠PRB=∠PSC=90°，
∴△BRP≌△CSP（AAS），故③正确；
若∠MAP=∠CPA，则PC∥AB，
则需要AC=PC得出∠PAN=∠CPA，
从而根据∠MAP=∠PAN，
得出∠MAP=∠CPA，
而题中没有条件说明AC=PC，故②错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质和线段平行条件．辅助线是解决本题的关键．
9．在中，，中线，则边的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【解析】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=7，
∴AE=7+7=14，
∵14+5=19，14-5=9，
∴9＜CE＜19，
即9＜AB＜19．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
10．如图，已知中，，，，若把绕点A逆时针旋转一个角度，使它与原的重叠部分为等腰三角形．则为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由∠BAC=90°，AB=AC可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，则利用互余可计算出∠BAD=60°，由于把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，而等腰三角形的腰不能确定，所以分类讨论：当AE=AF时，如图1，根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判断△AEF为等边三角形，得到∠1=∠2=60°，则可根据三角形外角性质可计算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；当AFA=FC时，如图2，∠BAB′=α，根据等腰三角形的性质得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值为15°或45°．
【解析】
解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BAD=60°，
把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，
当AE=AF时，如图1，则∠BAB′=α，∠B′AD=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
而∠1=∠B+∠BAB′，
∴∠BAB′=60°-45°=15°，
即α=15°；
当AF=FC时，如图2，则∠BAB′=α，
∵∠ACB=45°，
∴∠FAC=45°，
∴∠BAB′=90°-45°=45°，
即α=45°；
综上所述，α的值为15°或45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
二、填空题
11．命题“线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点距离相等”的逆命题是_________．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】
从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点，结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案.
【解析】
由题意，得逆命题为
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
【点睛】
本题考查命题和逆命题，关键知道命题由题设和结论组成，准确的找到题设和结论.
12．已知等腰三角形一个外角等于130°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______．
【答案】50°或80°
【分析】
等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论，由此即可求解．
【解析】
等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°；当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
13．如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为______．
【答案】120°
【分析】
连接DA、EA，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，EA＝EC，得到∠FAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据等边三角形的判定得到∠FAE＝60°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解析】
解：连接FA、EA，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点F、E，
∴FA＝FB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BF＝FE＝EC，
∴AF＝EF＝AE，
∴∠FAE＝60°，
∴2∠B＋2∠C＋60°＝180°，
∴∠B＋∠C＝60°，
∴∠BAC＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．如图所示，在中，，则_____．
【答案】30°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A+∠C的度数，再由AM=AN，CN=CP用∠A与∠C表示出∠ANM与∠CNP的度数，由补角的定义即可得出结论．
【解析】
解：∵∠ABC=120°，
∴∠A+∠C=180°-120°=60°．
∵AM=AN，CN=CP，
∴∠ANM=，∠CNP=，
∴∠MNP=180°--
=180°-90°+∠A-90°+∠C
=（∠A+∠C）
=×60°
=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
15．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
【答案】60°
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解．
【解析】
解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键．
16．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1___S2+S3．（填“＞“＜”或“＝”）
【答案】
【分析】
过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，设，根据三角形面积公式得到，，然后根据三角形三边的关系进行大小比较．
【解析】
解：过点作于，于，于，如图，
和的角平分线交于点，
，，
，
设，
，，
而，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
17．如图，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点，若，则的面积为______．
【答案】5
【分析】
过D点作DH∥AC交BE的延长线交于G点，根据已知条件可得出△BGH≌△DFH（AAS），推出BG＝DF，BEFD，根据BE，得出DF＝2，即可解决问题．
【解析】
解：过D点作DH∥AC交BE的延长线交于G点，如图，
∵AB=AC ， ∠BAC=90° ，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵DH∥AC，
∴∠BDH＝∠C＝45°，
∴△HBD为等腰直角三角形
∴HB＝HD，
∵∠EDB∠C＝22.5°，
∴∠EDB=∠EDG，
∴DE平分∠BDG，
∵DE⊥BG，
∴∠BED＝∠GED＝90°
∵DE=DE
∴△DBE≌△DGE
∴BE＝GE，即BEBG，
∵∠DFH+∠FDH＝∠G+∠FDH＝90°，
∴∠DFH＝∠G，
∵∠GBH＝90°﹣∠G，∠FDH＝90°﹣∠G，
∴∠GBH＝∠FDH
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG＝DF，
∴BEFD，
∵BE，
∴DF＝2，
∴S△BDF25，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型．
18．如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为______．
【答案】4
【分析】
延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．
【解析】
延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；构造辅助线证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题
19．已知：如图AB，CD相交于点O，AC＝BD，求证：∠CAD＝∠BDA．
【答案】见解析
【分析】
由题目条件可证△ACD≌△DBA，由全等三角形的性质推∠CAD=∠BDA．
【解析】
解：证明：∵∠C=∠B=90°
在△ACD与△DBA中，
，
∴△ACD≌△DBA（HL）．
∴∠CAD=∠BDA．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，在证明题中注意图形中隐含的条件，如本题中的公共边．
20．如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）30°
【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC的平分线即可；
（2）由BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠ABC，由AD＝BD得到∠A＝∠ABD，然后根据三角形内角和计算∠A的度数．
【解析】
解：（1）如图，BD为所作；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
即∠A＋2∠A＝90°，
∴∠A＝30°．
【点睛】
本题考查了作图 基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
21．如图，在中，，，是边上的高，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；
（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE＝90°即可求出∠DAE的度数．
【解析】
解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°．
（2）∵∠CAE＝∠BAE＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝110°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB ∠ADE＝20°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；（2）牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
22．如图，已知点、在△ABC的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过点作于点，由，，根据等腰三角形三线合一可得，，进而可得；
（2）设，根据已知条件等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的外角性质分别求得，进而根据三角形内角和定理求得，进而求得的度数．
【解析】
（1）过点作于点，
即
（2）设
，，
∴AE=CE，
又
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
23．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足；
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
【答案】(1)；（2）；（3）
【分析】
（1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；
（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】
解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣25°﹣55°＝100°；
（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，
∵FG是线段AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣25°﹣55°＝20°；
（3）∵BC=30，
由（2）可知， AD＝BD，FA＝FC，
∴C△DAF=AD+DF+FA ＝BD+DF+FC＝BC＝30．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形性质，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BCD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）15°
【分析】
（1）根据∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，可得∠ABE＝∠CBD＝90°，利用即可证△ABE≌△CBD；
（2）根据AB＝CB，∠ABC＝90°，△ABC为等腰直角三角形，∠CAB＝45°，根据∠CAE＝30°，可得∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝15°，由（1）可知△ABE≌△CBD，则有∠BCD＝∠BAE＝15°．
【解析】
（1）证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
又∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝15°．
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．
（1）求证：∠BCM＝∠BDM；
（2）求∠CMN的度数；
（3）求证：AM＝BN．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】
（1）根据和为等边三角形，且为公共边，可以得出条件，，即可证明，由性质即可得出结论；
（2）根据，得出，，又根据和为对顶角，可得，再根据和为全等三角形，为平角，利用等量代换即可求出；
（3）连接由（1）可知：，即可得，证出为等边三角形，进而证明出，由性质即可得出结论．
【解析】
解：（1）证明：和为等边三角形，且为公共边，
，
又在和中，
，
，
；
（2），
，
，
又和为对顶角，
，
又和为全等三角形，为平角，
，，
，
（3）证明：连接，如图所示：
由（1）可知：
，
，
又，
，
为等边三角形，
，
又为等边三角形，
是和重叠的部分，
，
又在和中，
，
，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质，再利用等量代换的思想进行解答．
26．如图，的和的平分线，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，连接，求证：平分；
（3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长．
【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28
【分析】
（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，两个角的和求解即可；
（2）利用角平分线的判定定理证明判断即可；
（3）利用两次三角形的全等证明即可．
【解析】
（1）证明：如图1，
分别平分，
，
，
，
；
(2)如图2，过点分别作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， GQ⊥AC于Q，
平分， GM⊥AB于M，GN⊥BC 于N，
，
同理，
，
∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，
平分 ；
（3）解：∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，GM=GQ，
∴ 平分，
∵又，
，
在上取点，使 ，
平分
，
又，
，
，
，
，
， ，
，
，
又，，
，
，
△ABC的周长为：，
的周长是．
【点睛】
本题考查了角的平分线定义，性质定理和逆定理，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理，灵活运用三角形全等的相关知识是解题的关键．第13章 全等三角形 单元测试卷（A卷 夯实基础）
【华东师大版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人 得 分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a=b，则a2=b2 B．全等三角形的周长相等
C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
2．有下列说法：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高线相等：④等腰三角形两底角的平分线相等其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC
4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )
A．1.5 B．3 C．6 D．9
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．65°或25° C．25° D．50°
6．作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；（2）分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
7．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，点 P 在∠MAN的角平分线上，点 B ，C 分别在 AM，AN上，作 PR⊥AM， PS⊥AN，垂足分别是 R，S．若∠ABP ∠ACP 180，则下面三个结论：① AS AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP ．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．在中，，中线，则边的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知中，，，，若把绕点A逆时针旋转一个角度，使它与原的重叠部分为等腰三角形．则为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．命题“线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点距离相等”的逆命题是_________．
12．已知等腰三角形一个外角等于130°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______．
13．如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为______．
14．如图所示，在中，，则_____．
15．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
16．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1___S2+S3．（填“＞“＜”或“＝”）
17．如图，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点，若，则的面积为______．
18．如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为______．
三、解答题（第19-20题每小题4分，第21-22题每小题5分，第23-24题每小题6分，第25-26题每小题8分，共46分）
19．已知：如图AB，CD相交于点O，AC＝BD，求证：∠CAD＝∠BDA．
20．如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的度数．
21．如图，在中，，，是边上的高，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
22．如图，已知点、在△ABC的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足；
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
24．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BCD的度数．
25．如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．
（1）求证：∠BCM＝∠BDM；
（2）求∠CMN的度数；
（3）求证：AM＝BN．
26．如图，的和的平分线，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，连接，求证：平分；
（3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长．
