第2单元 一元二次方程（易错28题11个考点）
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
三．一元二次方程的解（共2小题）
3．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
4．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m＝ ．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
5．解方程：9（x+1）2﹣25＝0．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
6．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2
7．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
六．解一元二次方程-公式法（共1小题）
8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
9．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
八．根的判别式（共3小题）
10．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠1 C． D．且k≠1
11．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
九．根与系数的关系（共3小题）
13．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
14．已知方程x2﹣2（m2﹣1）x+3m＝0的两个根是互为相反数，则m的值是（ ）
A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0
15．x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为m、n，则＝ ．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
16．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
17．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10
18．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90
C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90
一十一．一元二次方程的应用（共8小题）
19．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
21．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2？
22．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 千克、销售利润为 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
23．某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
24．随着天气回暖，运动休闲服装大量上市．某商场购进了一批A、B两款休闲运动装，已知每件A和每件B的进价之和为1320元，且购进2件A和3件B共需2920元．
（1）请分别求出每件A和每件B的进价；
（2）三月以前，商场将A款服装按进价提高50%出售，每天可销售A款服装3件，B款服装售价每件525元，每天可销售B款服装20件；进入三月后，需求量有所下降，该商场决定在之前售价的基础上，降价促销以增加销量，尽可能的减少库存，若A款服装每件每降价40元，每天销量在三月以前的基础上就多增加2件，同时B款服装打8折出售，每天销量在三月以前的基础上增加10件，若要使调价后每天利润达到8400元，则A款服装售价每件降价多少元出售？
25．如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
26．如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若馨望家地的面积比馨雨家的多了50%，则馨望家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度；
（3）若馨雨家今年收获了1200 斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每可销售40斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜馨雨家能赚多少元？
一十二．配方法的应用（共2小题）
27．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1
因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，
因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？
（2）当x＝ 时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为 ．
28．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0
∴（x+2）2+1≥1
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为 ．
（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；
（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．
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第2单元 一元二次方程（易错28题11个考点）
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±2
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
三．一元二次方程的解（共2小题）
3．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
4．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个解是0，则m＝ ．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
5．解方程：9（x+1）2﹣25＝0．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
6．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2
7．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
六．解一元二次方程-公式法（共1小题）
8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
9．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
八．根的判别式（共3小题）
10．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且k≠1 C． D．且k≠1
11．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
九．根与系数的关系（共3小题）
13．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
14．已知方程x2﹣2（m2﹣1）x+3m＝0的两个根是互为相反数，则m的值是（ ）
A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0
15．x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为m、n，则＝ ．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
16．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
17．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10
18．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90
C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90
一十一．一元二次方程的应用（共8小题）
19．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，其“加倍矩形”的对角线长为 ．
20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
21．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到1344m2？
22．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 千克、销售利润为 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
23．某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
24．随着天气回暖，运动休闲服装大量上市．某商场购进了一批A、B两款休闲运动装，已知每件A和每件B的进价之和为1320元，且购进2件A和3件B共需2920元．
（1）请分别求出每件A和每件B的进价；
（2）三月以前，商场将A款服装按进价提高50%出售，每天可销售A款服装3件，B款服装售价每件525元，每天可销售B款服装20件；进入三月后，需求量有所下降，该商场决定在之前售价的基础上，降价促销以增加销量，尽可能的减少库存，若A款服装每件每降价40元，每天销量在三月以前的基础上就多增加2件，同时B款服装打8折出售，每天销量在三月以前的基础上增加10件，若要使调价后每天利润达到8400元，则A款服装售价每件降价多少元出售？
25．如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？
（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
26．如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．
（1）若馨望家地的面积比馨雨家的多了50%，则馨望家地的面积是 m2；
（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度；
（3）若馨雨家今年收获了1200 斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每可销售40斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜馨雨家能赚多少元？
一十二．配方法的应用（共2小题）
27．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1
因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，
因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？
（2）当x＝ 时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为 ．
28．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0
∴（x+2）2+1≥1
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值为 ．
（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；
（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．
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