第4单元 图形的相似（易错31题8个考点）
一．比例的性质（共1小题）
1．已知，则a：b＝ 19：13 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵
∴5（a+2b）＝9（2a﹣b）
∴5a+10b＝18a﹣9b
∴19b＝13a
∴a：b＝．
二．比例线段（共2小题）
2．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 6 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．
3．3与4的比例中项是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设比例中项是x，则：
3：x＝x：4，
x2＝12，
x＝±＝±2．
三．平行线分线段成比例（共4小题）
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
解得：EC＝2，
故选：B．
5．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：EF＝6．
故选：C．
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵AG＝2，GB＝1，
∴AB＝AG+BG＝3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
故选：D．
7．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝ 12 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC＝12cm．
故答案为：12．
四．相似三角形的性质（共1小题）
8．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 （1，4）或（3，1）或（3，4） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2，
故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）；
△ABC≌△BAP3，
此时P的坐标为（3，1）；
∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）．
五．相似三角形的判定（共3小题）
9．如图所示，在 ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【解答】解：在 ABCD中，AB∥CD，
所以，△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG，
AD∥BC，
所以，△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，
所以△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD
故图中相似三角形有6对．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；
当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
六．相似三角形的判定与性质（共16小题）
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：
【答案】C
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△CBA∽△ACD
＝＝＝，
∵＝（）2＝
∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．
故选：C．
13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】
解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝，
cot∠DAO＝＝，
∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO，
∴BA1＝AB＝，
∴CA1＝+＝×，
同理，得：C1A2＝××，
由正方形的面积公式，得：S1＝，
S2＝×，S3＝××，
由此，可得Sn＝×（1+）2n﹣2，
∴S2010＝5×（）2×2010﹣2，
＝5×（）4018．
故选：D．
14．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
15．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】A
【解答】解：∵＝，
∴＝＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴9S△AEF＝S△ABC，
∵S四边形BCFE＝8，
∴9（S△ABC﹣8）＝S△ABC，
解得：S△ABC＝9．
故选：A．
16．如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BE AB
C．DE2＝AD BE D．AC BC＝AE BD
【答案】D
【解答】解：如图所示：
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC＝120°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ADC＝∠ACB，
在△ADC和△ACB中，
，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AB AD，
即答案A正确；
同理可证：△CEB∽△ACB，
∴，
∴BC2＝AB BE，
即答案B正确；
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CEB＝120°，
∴△ACD∽△CBE，
∴，
∴CD CE＝AD BE，
又∵CD＝DE＝EC，
∴DE2＝AD BE，
即答案C正确；
∵△ACE与△BDC不相似，
∴AC BC＝AE BD不成立，
即答案D错误．
故选：D．
17．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C．＝ D．＝
【答案】C
【解答】解：∵BE⊥AC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠ACD＝∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD＝∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝DC，
∴BM＝AM，
∴AN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF＝DA，故B选项正确；
设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，
由△ADC∽△ECB，可得＝，
即b＝a，
∴，
∴＝，故C选项错误；
∵E是CD边的中点，
∴CE：AB＝1：2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，故选D选项正确；
故选：C．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DC2＝CE CA，
∴＝，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴∠CDB＝∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC＝CD；
（2）解：方法一：如图，连接OC，
∵BC＝CD，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AO＝CO，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∴＝，
∵PB＝OB，CD＝，
∴＝
∴PC＝4
又∵PC PD＝PB PA
∴4 （4+2）＝OB 3OB
∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，
在Rt△ACB中，
AC＝＝＝2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°
∴∠FDA+∠BDC＝90°
∠CBA+∠CAB＝90°
∵∠BDC＝∠CAB，
∴∠FDA＝∠CBA，
又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴△AFD∽△ACB
∴
在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝，
∴在Rt△APF中有，，
求得DF＝．
方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，
易证△PCO∽△PDA，可得＝，
△PGO∽△PFA，可得＝，
可得，＝，由方法一中PC＝4代入，
即可得出DF＝．
19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴BD的长是．
20．如图．已知BD是∠ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB＝AE，
∴∠ABD＝∠E．
∴∠E＝∠CBD．
∵∠EDA＝∠BDC，
∴△ADE∽△CDB．
（2）解：∵AE＝AB，AB＝6，
∴AE＝6．
∵△ADE∽△CDB，
∴＝．
∵BD＝4，DE＝5，
∴＝．
∴BC＝．
21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF CG＝DF BG．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
（1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
在△ADF和△ACG中，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC；
（2）在△AEF和△ABG中，
，
∴△AEF∽△ABG，
∴，
在△ADF和△AGC中，
，
∴△ADF∽△AGC，
∴，
∴，
∴EF CG＝DF BG．
22．如图，已知直线l的函数表达式为y＝﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标．
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出（2）中当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y＝﹣x+8，
当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，x＝6，
答案为：点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8）．
（2）此题有两种情况：
在△ABO中∠BOA＝90°，OA＝6，OB＝8，由勾股定理得：AB＝10，
∵∠BAO＝∠BAO，BQ＝2t，AQ＝10﹣2t，AP＝t，
第一种情况：
＝时，△AQP∽△ABO，
即＝，
解得：t＝，
第二种情况：
当＝时△AQP∽△AOB，
即＝，
解得：t＝．
答案为：当t为或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．
（3）∵以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，
当t＝时，
＝，
解得：PQ＝
当t＝时，
＝，
解得PQ＝，
答案为：当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是或．
23．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：2EF＝BD，
（2）四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DC＝AC，CF为∠ACB的平分线，
∴AF＝DF，
∵AE＝EB，AF＝DF，
∴EF为△ABD的中位线，
∴2EF＝BD．
（2）解：∵EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，2EF＝BD，
∴△AEF∽△ABD
∴两三角形相似比K＝1：2，
∴＝K2＝，
则4（S△ABD﹣6）＝S△ABD，
解得：S△ABD＝8．
24．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED；
（2）∵△ACD∽△BED，
∴＝，
又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，
∴AD＝6，DE＝10，
∵BD＝8，
∴＝，即＝．
∴DC＝．
25．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF BD，求证：DF＝BE．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，
∴＝，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB＝∠EBC，＝，
∴AD∥EB，
∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∴；
（2）∵BE2＝BF BD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF＝∠BDE，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF＝BE．
26．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC BD＝AD BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）如图1，延长CD交AB于E，
∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD，
∠BDE＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB+90°．
∴∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵AC BD＝AD BC，BD＝BE，
∴，
∴△ACD∽△BCE；
②如图2，连接DE，
∵BE⊥BD，BE＝BD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵△ACD∽△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵，
∴△ACB∽△DCE，
∴，
∴＝＝＝＝．
27．已知：如图，点 D、F分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足BD CF＝BC2．
求证：（1）△ADB∽△FAC；
（2）AF AD＝BC DF．
【答案】（1）证明过程见解答部分；
（2）证明过程见解答部分．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝120°，
∵BD CF＝BC2，
∴BD CF＝AB AC，即BD：AC＝AB：CF，
∴△ADB∽△FAC；
（2）由（1）知，△ADB∽△FAC，
∴∠DAB＝∠F，
∵∠D＝∠D，
∴△ADB∽△FDA，
∴AD：DF＝AB：AF，即AD AF＝AB DF，
∴AF AD＝BC DF．
七．位似变换（共3小题）
28．已知，直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
【答案】A
【解答】解：∵E（﹣4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：A．
29．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
【答案】C
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选：C．
30．已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点A′的坐标为（ ）
A．（） B．（4，2）
C．（1，）或（﹣1，） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
【答案】D
【解答】解：如图，
则点A′的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故选：D．
八．作图-位似变换（共1小题）
31．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
（3）求出△OA2B2的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求；
（2）如图所示：△OA2B2即为所求；
（3）△OA2B2的面积＝×5×（2+2）＝10．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第4单元 图形的相似（易错31题8个考点）
一．比例的性质（共1小题）
1．已知，则a：b＝ ．
二．比例线段（共2小题）
2．已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 cm．
3．3与4的比例中项是 ．
三．平行线分线段成比例（共4小题）
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（ ）
A． B． C．6 D．10
6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝4cm，则线段BC＝ cm．
四．相似三角形的性质（共1小题）
8．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 ．
五．相似三角形的判定（共3小题）
9．如图所示，在 ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
六．相似三角形的判定与性质（共16小题）
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：
13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
15．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，S四边形BCFE＝8，则S△ABC＝（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
16．如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BE AB
C．DE2＝AD BE D．AC BC＝AE BD
17．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C．＝ D．＝
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．
19．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
20．如图．已知BD是∠ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．
21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF CG＝DF BG．
22．如图，已知直线l的函数表达式为y＝﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标．
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出（2）中当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度．
23．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：2EF＝BD，
（2）四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
24．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
25．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF BD，求证：DF＝BE．
26．如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC BD＝AD BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
27．已知：如图，点 D、F分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足BD CF＝BC2．
求证：（1）△ADB∽△FAC；
（2）AF AD＝BC DF．
七．位似变换（共3小题）
28．已知，直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
29．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
30．已知点A的坐标是（2，1），以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点A′的坐标为（ ）
A．（） B．（4，2）
C．（1，）或（﹣1，） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
八．作图-位似变换（共1小题）
31．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
（3）求出△OA2B2的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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