上饶市名校 2023-2024 学年上学期高二第一次月考
数学 试卷
考试时间:2023 年 10 月 考试时长:120 分钟 满分:150 分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，上交答题卡。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知直线 x my 3 0的倾斜角为30 ，则实数m的值为（ ）
3 3
A． 3 B． C．1 D．
3 2
2．直线 l1 :mx y 1 0, l2 : 3m 2 x my 2 0，若 l1 l2，则实数m的值为（ ）
1
A．0 B．1 C．0 或 1 D． 3或 1
x2 y2 x2 2
3．若椭圆 2 1(m 0)
y
与双曲线
4 m m2
1有相同的焦点，则 m=（ ）
2
1 1
A． 2 B．1 或 2 C．1 或 2 D．1
4．若点 2,1 在圆 x2 y2 x y a 0的外部，则 a的取值范围是（ ）
1 , 1 1A．
, 4, B． C． D． , 4
1
,
2 2 2 2
x2 y2
5．椭圆 1的两个焦点为F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 A、B两点，若 AB 6，则 AF BF16 9 1 1
的值为 ( )
A．8 B．10 C．16 D．12
6．19 世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发
展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心
x2 y2
的圆上，称为蒙日圆，椭圆 1 a b 0 的蒙日圆方程为 x2 y2 a2 b22 2 .若圆a b
2
x 3 2 y 2 b 9 x与椭圆 y2 1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 b的值为（ ）
3
A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 5
x2 y2
7.已知椭圆方程 1,F是其左焦点，点 A 1,1 是椭圆内一点，点 P是椭圆上任意一点，若 PA PF 的
4 3
最大值为Dmax ，最小值为Dmin ，那么Dmax Dmin （ ）
A． 4 3 B．4 C．8 D．8 3
8．已知圆 x2 y2 4 3y 0的圆心为S，过点T 0, 2 3 的直线m交圆S于C、D两点，过点T作 SC
的平行线，交直线 SD于点M ，则点M 的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABIQYAogCgQhAAAQgCQwEACgGQkBCCAKoORBAAIAIAwQNABAA=}#}
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．过点 A 2, 3 且在两坐标轴上的截距相等的直线 l的方程为 x y 5
B．直线2 m 1 x m 3 y 7 5m 0必过定点 1,3
C．经过点P 1,1 ，倾斜角为 的直线方程为 y 1 tan x 1
D．过 (x1, y1), (x2 , y2 )两点的所有直线的方程为 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1
10．已知实数 x, y满足曲线C的方程 x2 y2 2x 3 0，则下列选项正确的是（ ）
A．点 4,4 到曲线 C上任意点距离最大为 7 B． x2 y2的最大值是 3
y 2 4
C． x y的最小值是1 2 2 D． 的取值范围是 ( , ] [0, )x 3
x2 y2
11．已知点 P在双曲线 C： 1 F F16 9 上， 1， 2分别是双曲线 C的左、右焦点，若
△PF1F2的面
积为 20，则（ ）
50
A． PF1 PF2 8 B． PF1 PF2 3
π
C．点 P到 x轴的距离为 4 D． F1PF2 3
x2 y2
12．已知椭圆C： 1的左右焦点为F1，F2，若 P为椭圆C上一动点，记△PF1F2的内心为4 3
I ，外心为M ，重心为G，且△PF1F2内切圆 I 的半径为 r，△PF1F2外接圆M 的半径为 R，则
（ ）
FPF πA． 1 2的最大值为 B． r的最大值为3 3
R
C． PI PG为定值 D． r 的最小值为 2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．与直线 4x+3y-5=0 平行，并且到它的距离等于 3的直线方程是 ．
2 2
14．由直线 y x上的点向圆 x 4 y 2 1引切线，则切线长的最小值为 .
15．已知直线 l : kx y 2k 3 0与曲线 y 4 x 2 有两个交点，则 k的取值范围为 .
x2 y2
16．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的两个焦点为 F1,F2．点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，a b
且 PQ F
1 2
1F2 ，△PF2Q的面积 S PQ ，则C的离心率的取值范围为 ．8
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题 10 分）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
3
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过 A , 3
和 B 2, 22 两点的椭圆方程；
x2 y2
(2)过点P 2,2 ，且与椭圆 1有相同焦点双曲线方程.
9 4
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABIQYAogCgQhAAAQgCQwEACgGQkBCCAKoORBAAIAIAwQNABAA=}#}
18．（本小题 12 分）已知 ABC的顶点B 2,0 ， AB边上的高所在的直线方程为 x 3y 26 0．
(1)求直线 AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角 A的平分线所在直线方程为 x y 2 0；
②BC边上的中线所在的直线方程为 y 3．
若________________，求直线 AC的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19．（本小题 12 分）已知圆C： x2 y2 8y 12 0，直线 l过点P 2,0 .
（1）若直线 l与圆C相切，求直线 l的方程.
（2）若直线 l与圆C相交截得的弦为 AB，且 AB 2 2，求直线 l的方程.
2
20．（本小题 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，设二次函数 f x x 2x b x R 的图像与两
坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.
(1)求实数 b的取值范围；
(2)请问圆 C是否经过某定点（其坐标与 b无关）？请证明你的结论.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABIQYAogCgQhAAAQgCQwEACgGQkBCCAKoORBAAIAIAwQNABAA=}#}
2
21．（本小题 12 分）已知圆 M： x2 y 1 8，点N 0, 1 ，P是圆 M一动点，若线段 PN 的垂直
平分线与 PM 交于点 Q．
(1)求点 Q的轨迹方程 C；
(2)若点 A是曲线 C上的动点，求OA AN的最大值（其中 O为坐标原点）．
22．（本小题 12 分）平面内与两定点 A1 a, 0 ， A2 a,0 a 0 连线的斜率之积等于非零常数 m
的点的轨迹，加上 A1， A2两点所成的曲线记为曲线 C.
(1)求曲线 C的方程，并讨论 C的形状与 m值的关系；
(2)若m 1时，对应的曲线为C1；对给定的m 1,0 0, ，对应的曲线为C2 .设F1，F2是C2
2
的两个焦点，试问：在C1上是否存在点 N，使得△F1NF2的面积 S m a ，并证明你的结论.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABIQYAogCgQhAAAQgCQwEACgGQkBCCAKoORBAAIAIAwQNABAA=}#}月考 一答案
一、单选题
1．已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.
故选：A.
2．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
【答案】C
【详解】，即，解得或.
故选：C.
3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（ ）
A． B．1或2
C．1或 D．1
【答案】D
【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即，
又，解得，
所以.故选：D
4．若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
5．椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则的值为
A．8 B．10 C．16 D．12
答案．B
【详解】由椭圆的定义可得：，
，
故选B．
6．19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
B． C． D．
答案.B
【详解】由题意得，椭圆的蒙日圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆的方程为：，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
可得两圆外切，所以，解得.
故选：B.
7．已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义转化为的最值问题，数形结合即可求解.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，
则，
如图：
当点P在位置M时，取到最大值，
当点P在位置N时，取到最小值，
所以的取值范围是，即，
所以的最大值，最小值，
所以.
故选：C.
8．已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】D
【详解】，即圆，故，，
因为平行与，，所以，故，
故点的轨迹为双曲线.
故选：D
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B．直线必过定点
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．过两点的所有直线的方程为
【答案】BD
【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点，
可设直线方程为，又直线过点，则，即，
此时直线方程为，满足题意，所以A错误；
对于B中：直线可化为，由方程组，解得，
即直线必过定点，所以B正确；
对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以C错误；
对于D中，由两点，
当时，此时过两点的所有直线的方程为，即，
当时，此时过两点的所有直线的方程为或，适合上式，
所以过两点的所有直线的方程为，所以D正确.
10．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是 3
C．的最小值是 D．的取值范围是
【答案】ACD
【详解】易知曲线的方程，如图所示，
设，圆心，半径，连接AC延长交圆C于B点，
此时长为点到曲线C上任意点距离最大值，
易得，故A正确；
，即为圆上一点到原点距离的平方，
延长OC交圆C于D点，则，故B错误；
令，则的值为过圆上一点的直线在纵轴上的的截距，
显然该直线与圆在相切时取得最值，即到直线的距离为半径时，
，故C正确；
，即为圆C上一点与点的斜率，易知与圆C相切时斜率取得端点值，
可设该切线方程为，则有或，
由图象可知，故D正确.
故选：ACD.
11．已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A． B．
C．点P到x轴的距离为4 D．
答案．BC
【详解】故A错误．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
设点．因为双曲线，所以．
又，所以.故C正确
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
12．已知椭圆：的左右焦点为，，若为椭圆上一动点，记的内心为，外心为，重心为，且内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．为定值 D．的最小值为2
【答案】ACD
【详解】对于A：在椭圆中，，，则，即点、，
由椭圆的定义可得，，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以
，
又，所以，即的最大值为，故A正确；
对于B：，
当点为椭圆的短轴的顶点时，取最大值，
，即的最大值为，故B错误；
对于C：
如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，又，分别为的重心和内心．
则，，，
所以，
所以
，
即为定值，故C正确；
对于D：，所以，
又，所以，
则
，所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．与直线4x+3y-5=0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是 ．
【答案】4x+3y+10=0或4x+3y-20=0
【详解】设所求直线方程为4x+3y+m=0，
由 ，得m=10或-20,
故答案为：4x+3y+10=0或4x+3y-20=0
14．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 .
【答案】
【详解】圆的圆心为，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
故答案为：.
已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】，即过定点，
，即曲线为原点为圆心，2为半径的半圆，
如图所示，设与曲线切于点C，曲线与横轴负半轴交于点B，
则，，故.
16．已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】连接，由题意得，，
又，所以四边形为矩形，故，
所以，故，
又，由勾股定理得，
即，，
故，即，故，
解得，
又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故，
所以，即，所以，，解得，
综上，的离心率的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；
(2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可设椭圆一般方程为，
将和两点代入可得，解方程组可得；
所以椭圆的标准方程为.….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….…5分
（2）由题意可知椭圆的焦点坐标为；
所以可设双曲线标准方程为，其中；
代入点可得，联立解得；
所以双曲线标准方程为..….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….….…10分
18．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为．
若________________，求直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为：，即；….….….….….….….….….….….….….….…4分
（2）若选①，角的平分线所在直线方程为，
由，解得，所以点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
又点在直线上，所以的斜率，
所以直线的方程为，即．….….….….….….….….….….….…….…12分
若选②：边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，
所以，即，又点在直线上，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为． ….….….….….….….….….….….…….…12分
19．已知圆：，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程.
（2）若直线与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【分析】（1）设直线的方程为，根据直线与圆相切，由求解.
（2）设直线的方程为：，由，利用圆心到的距离求解.
【详解】（1）设直线的方程为：，则，
因为直线与圆相切，
所以圆心到的距离等于半径，即，
所以：，
又∵也满足题意，
故切线的方程为或. ….….….….….….….….….….….…….…6分
（2）设直线的方程为：，则，
因为，
所以圆心到的距离，
即：，即 ，
解得 或，
∴或，
故直线的方程为或. ….….….….….….….….….….….…….…6分
20．在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
【答案】(1)，且
(2)过定点和，证明见解析.
【详解】（1）令得抛物线与轴交点是；
令，
由题意，且，解得，且．
即实数的取值范围，且． ….….….….….….….….….….…….….….…4分
（2）设所求圆的一般方程为，
由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，
令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．
令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，
∴圆的方程为（，且）．
把圆的方程改写为，令，
解得或，故圆过定点和． ….….….….….….….….….….….…….…12分
21．已知圆M：，点，P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）．
答案．(1) (2)
【详解】（1）圆的圆心，半径为，
由题意可知，又点是圆上的点，则，
且，则，
由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，
则点的轨迹方程； ….….….….….….….….….….….…….…5分
（2）设，则，
进而①
又，所以，将其代入①得 ，
由椭圆的有界性可知 ，所以当 时，取最大值 .….….….….….….…….…12分
22．平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所成的曲线记为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
(2)若时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为.设，是的两个焦点，试问：在上是否存在点N，使得的面积，并证明你的结论.
【答案】(1)；答案见解析
(2)存在；证明见解析
【详解】（1）设动点为，其坐标为，
当时，由条件可得，
即，
又的坐标满足.
所以曲线C的方程为.
当时，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为是圆心在原点的圆；
当时，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线的方程为是焦点在轴上的双曲线. ….….….….….….….….…6分
（2）在上存在点N，使得的面积，证明如下：
由（1）知，当时，曲线的方程为，
当时，的焦点分别为，
对于给定的，上存在点，使得的面积的充要条件为
由(1)得，由(2)得，
所以，解得或，满足，
所以存在点使得. ….….….….….….….….….….….…….…12分
