2024届上学期质量检测二
数学
本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，若集合，，则
A. B. C. D.
2.下列求导运算中正确的是
A. B. C. D.
3.已知函数，当时，，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
4.对于任意实数x，用表示不大于工的最大整数，例如：，，，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是
A.在处取得极大值 B.是函数的极值点
C.是函数的极小值点 D.函数在区间上单调递减
6.2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城，周深在内的兄弟团成员和以刘宇等为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”，节目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲，在活动中，兄弟团成员要从这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为
A． B． C． D．
7.欧拉函数（）的函数值于所有不超过正整数n，且与互质的正整数的个数，例如：，，数列满足，其前n项和为，则
A．1024 B．2048 C．1023 D．2047
8.已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知数据1：，，…，，数据2：，，…，，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有
A.平均数 B.极差 C.中位数 D.标准差
10.已知函数，则
A.在上单调递减 B.的极大值为1
C.方程有两解 D.曲线经过四个象限
11.已知，，e是自然对数的底，若，则的值可以是
A. B.1 C.2 D.3
12.“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，下列说法正确的是
图（1） 图（2）
A.数列与数列均是公比为的等比数列
B.从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为
C.和满足等式
D.设数列的前n项和为，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，则的值域为 .
14.已知函数（，且），曲线在点处的切线与直线平行，则 .
15.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清.每年1次，问每年应还 万元.
16.已知函数，不等式对任意的恒成立，则a的最大值为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）解关于x的不等式.
18.（本小题满分12分）
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球….球数构成一个数列，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求证：.
21.（本小题满分12分）
2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设甲在3次挑战中成功的次数为X，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.
22.（本小题满分12分）
已知函数的导函数为，且.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）证明：在上仅有一个零点，且.
参考答案及解析
高三数学
一、选择题
1.B
【解析】因为，所以.故选B.
2.D
【解析】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选D.
3.C
【解析】由可得，即二次函数的开口向上，对称轴为，画出其函数图象如下图所示：
易知，当时，；当或时，；根据题意当时，并结合图象可知.所以实数m的取值范围是.故选C.
4.A
【解析】对任意的，记，则，若，则，即，则，因为，，则，由不等式的基本性质可得，所以，所以，，即，所以“”“”；若，如取，，则，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选A.
5.C
【解析】由图象可知：当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是函数的极小值点，无极大值.故选C.
6.B
【解析】依题意，10首歌曲任意排列名的试验有个基本事件，恰好猜对2首歌曲的事件B含有个基本事件，所以在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率.故选B.
7.C
【解析】根据欧拉函数的定义可得，，，，一般地，.事实上，表示从1到的正整数中，与互质的正整数的个数，相当于去掉从1到的正整数中所有2的倍数的个数（共个数），因此，．所以，.故选C.
8.D
【解析】作出的函数图象如图所示：
若存在实数，，，且，使得，因为的图象关于直线对称，所以，所以，由图可知，，所以.设，，所以，易知在上单调递增，又，所以当时，，所以在上单调递增，所以.故选D.
二、选择题
9.AC
【解析】设数据1：，，…，的均值为，标准差为s，中位数为t，极差为，则数据2：，，…，的均值为，故A错误，数据2：，，…，的标准差为，故D正确；数据2：，，…，，的中位数为，故C错误；极差为，故B正确.故选AC.
10.ABD
【解析】因为，所以，令，即或；令，即，所以函数在和上单调递增，在（上单调递减，故A正确；当时，取得极大值，故B正确；又，画出大致图象，
结合图象可知函数与只有一个交点，所以方程只有一解，故C错误；由图象可知曲线经过四个象限，故D正确.故选ABD.
11.BCD
【解析】设，则在R上单调递增，∴，∴，即，∴，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，从而，故BCD符合.故选BCD.
12.AC
【解析】对于A选项，由题意知，且，所以，又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，可得，，所以，由得数列与数列均是公比为的等比数列，故A正确；对于B选项，由上，，，，，所以，故B错误；对于C选项，，，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为，且，所以，因为时，是单调递增函数，所以，而，故D错误.故选AC.
三、填空题
13.
【解析】当时，；当时，，根据指数的性质可得，即.综上所述，的值域为.故答案为.
14.e
【解析】函数，，曲线在点处的切线与直线平行，则有，得.故答案为e.
15.
【解析】设每年应还x万元，则有，得，解得.故答案为.
16.1
【解析】因为，所以为R上的奇函数，又，所以在上单调递增，不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，所以，所以当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，所以，设，显然为上的增函数，因为，，所以存在，使得，所以，此时，所以，即a的最大值为1.故答案为1.
四、解答题
17.解：
（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，当时，，
设，则，∴，
∵，
∴，
则.
（2）当时，，，，，，即，
当时，，满足不等式；
当时，，恒成立，
满足不等式，即，
综上所述，不等式的解集为：.
18.解：
（1）因为，，
所以，，
所以当时，，
当时，上式也成立，
所以.
（2）由，
所以.
19.解：
（1）∵，
∴，
①当时，在R上，，
∴在R上单调递增，
②时，由，解得：或.
在上，，在上，，在上，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
综上，
时，在R上单调递增；
时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知，当时，在R递增.
又，，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，符合题意；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
∴，，
若只有一个零点，则，解得：，
综上，a的取值范围是.
20.解：
（1），
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，无极大值.
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
令，，可知，
即，
即，，…，
累加得.
21.解：
（1）由题意得，则P，其中，1，2，3，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
（2）设事件为“乙在第i次挑战成功”，其中，2，3.
所以；
；
；
；
故.
即乙在第三次成功的概率为0.85875.
22.解：
（1）由，则，
所以，
所以，
即，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，则，
当时，，，所以，
所以函数在上单调递增，
当时，，，
所以，
所以函数在 上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以函数在存在唯一零点，
所以，即，
所以，
由，则，
所以，
所以，得证.
