浙教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟卷（1）（九上全册）（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把 《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，由题意画出树状图为：
由图可得：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的共有2种等可能的结果数，
故P（ 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》 ）=.
故答案为：B.
2．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】由题意得， 二次函数，
其中a=1，b=-4，c=-1，
a=1＞0，所以抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
，所以抛物线与x轴由两个交点，故B正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为x=2，故C正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
3． 如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若：：，则：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB=3：1，
∴AD：AB=3：4，
∴.
故答案为：D.
4．如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接OB，
∵ E是的中点，
∴，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAE=∠CAE=35°，
∵，
∴∠BOE=2∠BAE=70°，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE==55°.
故答案为：D.
5． 如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
在Rt△AOB中，OA=，AB=10，
∴OB=，
∴BD=2OB=16，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE=BE，
∴∠ABD=∠BAE，
∴∠BAE=∠ADB，
在△ABE和△DBA中，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，即BE=.
故答案为：A.
6．如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解析】∵，
∴，
在Rt△BEO中，由勾股定理得：，
∴，
∴AB是OD的垂直平分线，
∴，
∴△OBD是等边三角形，
∴，
∴的度数为60°，
故答案为：B.
7．已知二次函数的图象过，，，，若，则下列表达式正确的是（ ）
A．对于任意，恒成立
B．不存在实数，使得成立
C．存在实数，使得成立
D．对于任意，恒成立
【答案】A
【解析】∵ ， ，
∴二次函数对称轴为：
∵二次函数的图象过，，且，
若a＞0，则
若a＜0，则
∴对于任意，恒成立，
故答案为：A.
8．将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内，中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点，交BC于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设MD=x，AI=y，则OG=MD=x，过M作BC的垂线，分别交FG、BC于O、P，
∴四边形MOGD是矩形，四边形OGCP是矩形，
∵，∴DG=2x，∴MO=DG=2x，
∵四边形HLGD与四边形JKJB是相同的长方形，
∴HL=DG=IB=KJ=2x.
∵四边形AHEI与四边形FGCJ是相同的正方形，
∴HE=FJ=IE=AI=y.
∵四边形LFKE是正方形，
∴EK=FK，∠EFK=45°，
∵∠GFK=90°，∠EFK+∠GFK+∠MFG=180°，
∴45°+90°+∠MFG=180°，解得∠MFG=45°.
∴FO=MO=2x.
∴FG=FO+OG=2x+x=3x.
∴LF=EK=FK=LE=HE-HL=y-2x.
∴BJ=IK=IE+EK=y+y-2x=2y-2x.
LG=FL+FG=y-2x+3x.
∵BJ=LG，
∴2y-2x=y-2x+3x，即y=3x.
∴
故答案为：A.
9．如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（ ）
A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1
【答案】B
【解析】取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，如下图：
∵∴
∵ ，∴是等边三角形，
∴∴，
∴，
又∵∴ ，
∴
∵G为BF的中点，
∴
∵AB为圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，
∴，
∴AD的最大值为：.
故答案为：B.
10．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线经过点C.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点E作于点H，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴令，，，则，，
∵为的中点，
∴，
由对折可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得（舍去），，
∴，，，
在中，
则，
解得，（负根舍去），
∴，
∴.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某抛物线的顶点为（3，-4），并且经过点（4，-2），则此抛物线的解析式为 .
【答案】
【解析】设抛物线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为（3，-4），
∴，
再将点（4，-2）代入，
可得：，
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：.
12．已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为 ．
【答案】
【解析】由题意得，扇形的面积，半径，
根据得，
弧长.
故答案为：4π.
13．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】二次函数可化为，
∴二次函数的对称轴为x=2，且开口向上，顶点坐标为（2，-3），
在 中，
当x=-1时，二次函数有最大值：y=6，
当x=2时，二次函数有最小值：y=-3，
∴当 时，y的取值范围是：；
故答案为：.
14．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝ ．
【答案】7：8
【解析】设，则
∵是等边三角形，
∴
∴
∵
∴∠AED=∠BDF，
∴，
由折叠得：
∴周长为：
周长为：
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴
故答案为：7：8.
15．已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图象上，则；④．其中一定正确的结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴y=a(x+2)(x-m)，
∵抛物线与y轴交于正半轴上一点，∴x=0时，y>0，∴-2ma>0，
∵2
∵抛物线的对称轴直线
又∵当m=3时，对称轴直线x=，这时点 ， 关于对称轴对称，即y1=y2，故③错误；
∵抛物线过点A（-2，0），∴4a-2b+c=0，∴2b=4a+c，
又2
故答案为：①②④.
16．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 .
【答案】5
【解析】如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5.
故答案为：5.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球其他颜色球的数量没有改变，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
【答案】（1）解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：个，
故盒子中黑球的个数为：个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：
（2）解：任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出个，
．
18．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案.
【答案】（1）解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得
当时，，
解之得，.
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元.
答：每件衬衫应降价20元.
（2）解：商场每天盈利.
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元.
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.
19．如图，在中，弦、相交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）如果的半径为，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
，
在与中，，
≌，
；
（2）解：过作与，于，连接，，
根据垂径定理得：，，
，
，
在与中，，≌，
，
，四边形是正方形，
，
设，
则，
，即：，
解得：，舍去，
，
．
20．如图，在中，、、分别是、上的点，且，．
（1）当，时，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
．
21．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，的最大值是，求当时，的最小值；
（3）抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值的范围．
【答案】（1）解：令得，
，
，
二次函数图象的对称轴是直线；
（2）解：由可知抛物线开口向下，
对称轴是直线，当时，的最大值是，
最大值在顶点处取得，
，解得，
二次函数表达式为，
抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，
当时，有最小值，；
（3）解：的取值的范围或．
22．如图，在锐角中，，过点A作于点D，过点B作于点E，与相交于点H，连接.的平分线交于点F，连接交于点G.
（1）求证：
（2）试探究线段，，之间的数量关系；
（3）若，求的长.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交于点，
则：，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
过点作，垂足为，
则：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作，交于点，
则：，
∴，即：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴.
23．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴于点，如图：
设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，，
解得与重合，舍去或，；
当，为对角线，则，的中点重合，，
解得舍去或，；
当，为对角线，则，的中点重合，，
解得或，或，
综上所述，的坐标为或或或．
24．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接.
（1）若的度数是，求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，经过圆心，求的长.
（4）在（3）的前提下，连接，，交于点G，求的长.
【答案】（1）解：如图1中，连接，设交于H.
∵的度数是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：∵是直径，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即平分.
（3）解：如图2中，设交于H.
∵是直径，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴.
（4）解：如下图所示，连接，，交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
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浙教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟卷（1）（九上全册）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小
3． 如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若：：，则：的值为（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．已知二次函数的图象过，，，，若，则下列表达式正确的是（ ）
A．对于任意，恒成立 B．不存在实数，使得成立
C．存在实数，使得成立 D．对于任意，恒成立
8．将2张相同的正方形纸片和2张相同的小长方形纸片按如图所示摆放在矩形ABCD内，中间留有一个小正方形未被覆盖.经过EF的直线交AD于点，交BC于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题）
9．如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（ ）
A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1
10．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线经过点C.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（第10题） （第14题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某抛物线的顶点为（3，-4），并且经过点（4，-2），则此抛物线的解析式为 .
12．已知扇形面积为，半径为，则扇形的弧长为 ．
13．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
14．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝ ．
15．已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图象上，则；④．其中一定正确的结论的序号是 ．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球其他颜色球的数量没有改变，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
18．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案.
19．如图，在中，弦、相交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）如果的半径为，，，求的长．
20．如图，在中，、、分别是、上的点，且，．
（1）当，时，求的长；
（2）求证：．
21．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，的最大值是，求当时，的最小值；
（3）抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值的范围．
22．如图，在锐角中，，过点A作于点D，过点B作于点E，与相交于点H，连接.的平分线交于点F，连接交于点G.
（1）求证：
（2）试探究线段，，之间的数量关系；
（3）若，求的长.
23．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接.
（1）若的度数是，求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，经过圆心，求的长.
（4）在（3）的前提下，连接，，交于点G，求的长.
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