人教新版九年级上学期期中必刷常考题
第7讲 二次函数与一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 东莞市期末）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
2．（2022 东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
3．（2022秋 庐阳区校级期中）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
4．（2022秋 海淀区校级月考）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现当x＝3时，y＝﹣6；丙同学发现函数的最小值为﹣8；丁同学发现x＝3是一元二次方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2022秋 孝感期中）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣1
B．当x＝﹣1时，函数有最大值是4
C．当x＝﹣3或x＝1时，函数有最小值是0
D．当﹣1＜x＜1或x＜﹣3时，函数值随值的增大而减小
6．（2021秋 蜀山区期末）关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
7．（2022 开福区校级二模）四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x＝2时，y＝3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2022秋 西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a D．a
9．（2021秋 市南区期末）如图，已知抛物线l1：y＝（x﹣2）2﹣4与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12，则抛物线l2的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
10．（2021秋 纳溪区期末）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．当x＝1时，y的最大值为﹣4
二．填空题（共2小题）
11．（2022 泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ．
12．（2022秋 丹徒区月考）抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2022秋 金安区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
14．（2022 滨海新区二模）已知：抛物线yx2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
15．（2022 游仙区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P在抛物线上，a＝1，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．
人教新版九年级上学期期中必刷常考题
第7讲 二次函数与一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 东莞市期末）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4
答案：D
解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
2．（2022 东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
答案：A
解：当m＞0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＞d﹣c；
当m＜0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．
故选：A．
3．（2022秋 庐阳区校级期中）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
答案：A
解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
4．（2022秋 海淀区校级月考）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现当x＝3时，y＝﹣6；丙同学发现函数的最小值为﹣8；丁同学发现x＝3是一元二次方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案：B
解：当甲同学的结论正确，
即当函数的对称轴是直线x＝1时，，
即b＝﹣2a；
当乙同学的结论正确，
即当x＝3时，y＝﹣6时，9a+3b﹣6＝﹣6，
可得b＝﹣3a；
当丙同学的结论正确，
即当函数的最小值为﹣8时，，
可得b2＝8a；
当丁同学的结论正确，
即当x＝3时，一元二次方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根时，9a+3b﹣6＝0，
可得b＝2﹣3a；
根据b＝﹣3a和b＝2﹣3a不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立b＝﹣2a和b＝﹣3a，
得a＝0，b＝0，不满足a≠0，
故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立b＝﹣2a和b＝2﹣3a，
得a＝2，b＝﹣4，此时满足b2＝8a，
故假设成立；
故选：B．
5．（2022秋 孝感期中）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣1
B．当x＝﹣1时，函数有最大值是4
C．当x＝﹣3或x＝1时，函数有最小值是0
D．当﹣1＜x＜1或x＜﹣3时，函数值随值的增大而减小
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，
故A正确，不符合题意；
令丨x2+2x﹣3丨＝0，可得x2+2x﹣3＝0，
∴（x﹣1）（x+3）＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴（1，0）和（﹣3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
由图象可知，当x＜﹣3时，函数值随x的减小而增大，
当x＞1时，函数值随x的增大而增大，
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，
则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，
故C正确，不符合题意；
综合来看：y＝丨x2+2x﹣3丨≥0，
所以当x＝﹣1时的函数值为4并非最大值，
故B错误，符合题意；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴当﹣1≤x≤1或x＜﹣3时，函数值y随x值的增大而减小，
故D正确，不符合题意；
综上，只有B错误；
故选：B．
6．（2021秋 蜀山区期末）关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
答案：D
解：因为a＝﹣1＜0，所以图象开口向下，
故A正确；
顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故B正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣2．
∴当x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，
故C正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1）
∴抛物线与x轴没有交点，
故D错误；
故选：D．
7．（2022 开福区校级二模）四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当x＝2时，y＝3，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案：B
解：若甲、丙的结论正确，设抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2，
即y＝x2﹣2x+3；
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+3＝6，所以乙的结论错误；
当x＝2时，y＝x2﹣2x+3＝3，所以丁的结论正确．
故选：B．
8．（2022秋 西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a D．a
答案：B
解：根据图象得：a＜0，b＜0，
∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），
∴，
∴a+b＝﹣3，
∵b＜0，
∴﹣3＜a＜0，
故选：B．
9．（2021秋 市南区期末）如图，已知抛物线l1：y＝（x﹣2）2﹣4与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12，则抛物线l2的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
答案：A
解：∵抛物线l1：y＝（x﹣2）2﹣4与x轴分别交于O、A两点，
∴当y＝0时，得x1＝0，x2＝4，
∴点O（0，0），点A（4，0），
∴OA＝4，
∵由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12，连接BC，
∴矩形OABC的面积为12，
设OC＝a，
∴4a＝12，
解得，a＝3，
∴抛物线l2的函数表达式为：y＝（x﹣2）2﹣4+3＝y＝（x﹣2）2﹣1，
故选：A．
10．（2021秋 纳溪区期末）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．当x＝1时，y的最大值为﹣4
答案：D
解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c中得c＝﹣3，
抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x+1）（x﹣3），
所以：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
当x＝1时，y的最小值为﹣4，
与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；
观察选项，D选项符合题意．
故选：D．
二．填空题（共2小题）
11．（2022 泗洪县一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ﹣6 ．
解：由题意抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣6．
故答案为﹣6
12．（2022秋 丹徒区月考）抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是 2 ．
解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），
∵x1+x2＝﹣4，x1 x2＝3，
∴|x1﹣x2|2，
∴抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2．
故答案为：2．
三．解答题（共3小题）
13．（2022秋 金安区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
解：（1）证明：令y＝0，即mx2﹣2（m+1）x+4＝0，
b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4m×4＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：∵y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝（x﹣2）（mx﹣2）．
因为该函数的图象都会经过两个定点，
所以当x＝0时，y＝4，
当x﹣2＝0，即x＝2时，y＝0，
所以该函数图象始终过定点（0，4）、（2，0）．
14．（2022 滨海新区二模）已知：抛物线yx2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
答案：（Ⅰ）yx2x+4；
（Ⅱ）P（3，5）；
（Ⅲ）222．
解：（Ⅰ）把A（﹣2，0），C（0，4）分别代入yx2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为yx2x+4；
（Ⅱ）当y＝0时，x2x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴B（6，0），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（6，0），C（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为yx+4，
过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
设P（t，t2t+4），则Q（t，t+4），
∴PQ＝（t2t+4）﹣（t+4）t2+2t，
∴S△PBC6×PQ＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，S△PBC的值最大，此时P点坐标为（3，5）；
（Ⅲ）取OC的中点D，连接BD交直线x＝2于点M，如图，则D（0，2），
∵MN∥CD，MN＝CD＝2，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴DM＝CN，
∵MA＝MB，
∴CN+AM＝DM+BM＝BD，
∴此时四边形AMNC周长最小，
∵BD2，AC2，
∴四边形AMNC周长的最小值为222．
15．（2022 游仙区校级开学）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P在抛物线上，a＝1，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．
解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0），
∴B点坐标为（1，0）；
（2）由条件其对称轴为x＝﹣1，即1，
当a＝1时，代入可求得b＝2，
∴抛物线为y＝x2+2x+c，
又∵过B（1，0），代入可求得c＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，且OB＝1，
∴S△BOCOB OC3×1，
∴S△POC＝4S△BOC＝6，
设P到y轴的距离为h，则S△POCOC hh＝6，解得h＝4，
∴P点的横坐标为4或﹣4，
当x＝4时，代入抛物线解析式可求得y＝21，
当x＝﹣4时，代入抛物线解析式可求得y＝5，
∴P点坐标为（4，21）或（﹣4，5）．
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