3.3垂径定理 同步分层作业
基础过关
1．如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为 （ ）
A．5 B．10 C． D．
2．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．5
3．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
4．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝ 2cm ．
7.在⊙O中，直径为26cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 ．
8．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为 分米．
10.如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 米．
11．如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB于D，求AD的长．
13．如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD＝BF．
14．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF＝2，EF＝4，求线段AC长．
能力提升
15．如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3 B．3 C．4 D．6
16．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP＝4，则过点P的所有弦中，长度为整数的弦有 条．
17．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝ cm．
18．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
19．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
20．（1）如图1，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC垂足为E，AE＝BC＝16，求⊙O的半径．
（2）在（1）的条件下，将线段AD沿射线EB方向平移，使得BE＝6，如图2所示，求AD的长．
21．已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24．
（Ⅰ）如图，求点O到AB的距离；
（Ⅱ）在⊙O中，弦MN的长为10，且MN∥AB，求MN与AB之间的距离．（直接写出结果即可）
22.如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度．
培优拔尖
23．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．3
24．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若AC＝2，BC＝4，大圆的半径R＝5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）
25．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
答案与解析
基础过关
1．如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，则弓形所在圆的直径长为 （ ）
A．5 B．10 C． D．
【点拨】设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，由勾股定理得到r2＝（r﹣3）2+42，求出r的值，即可得到答案．
【解析】解：设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，
由题意知O、C、D共线，
∵AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
∵高CD＝3，
∴OC＝r﹣3，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴弓形所在圆的直径长2r＝．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
2．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．5
【点拨】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．
【解析】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD，
∵BE＝1，AE＝5，
∴OC＝AB＝＝＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2，
∵Rt△OME中，∠AEC＝30°，
∴OM＝OE＝×2＝1，
在Rt△OCM中，
∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2，
∴CD＝2CM＝2×2＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．
3．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
【点拨】设⊙O的半径是r米，由垂径定理，勾股定理，列出关于r的方程，即可求解．
【解析】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程．
4．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用垂径定理求得OM的最大值与最小值，由此即可得出结论．
【解析】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8．
∴OC＝＝＝6．
∵垂线段最短，
∴点M与点C重合时，OM取得最小值6，当点M与点A，B重合时，OM取得最大值10，
∴6≤OM≤10．
∴OM不可能为5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，正确利用上述定理与性质求得OM的最大值与最小值是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
【点拨】由垂径定理，即可判断．
【解析】解：A、过圆心且垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧，故A不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B不符合题意；
C、垂直于弦的直径平分这条弦，故C不符合题意；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，圆的认识，关键是掌握垂径定理．
6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝ 2cm ．
【点拨】结合题意，由垂径定理可得AB垂直平分CD，然后在Rt△CEO中运用勾股定理求得OE即可求解．
【解析】解：由题意可知，AB垂直平分CD，，
∴，
在Rt△CEO中，OE＝＝＝3（cm），
∴AE＝OA﹣OE＝2cm．
故答案为：2cm．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
7.在⊙O中，直径为26cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 12cm ．
【点拨】根据垂径定理和勾股定理解答．
【解析】解：如图，∵AB⊥OP，OP过圆心，
∴AP＝AB＝×10＝5cm，
∵直径26cm
∴OA＝×26＝13cm，
根据勾股定理OP＝＝＝12cm，
则点O到AB的距离为12cm，
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
8．直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为 2 分米．
【点拨】连接OA，先由垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解析】解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径为10分米，
∴OA＝5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴分米，
∴（分米），
∴积水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．
10.如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 26 米．
【点拨】设圆的半径为R米，由于CD平分弧AB，且CD⊥AB，根据垂径定理的推论得到圆心O在CD的延长线上，再根据垂径定理得到CD平分AB，则AC＝AB＝24，在Rt△OAC中，利用勾股定理可计算出半径R．
【解析】解：如图，设圆的半径为R米，
∵CD平分弧AB，且CD⊥AB，
∴圆心O在CD的延长线上，
∴CD平分AB，
∴AC＝AB＝24，
连接OA，在Rt△OAC中，AC＝24，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣16，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴R2＝（R﹣16）2+242，
解得R＝26，
即拱桥所在圆的半径26米．
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
11．如图，⊙O的直径是4cm，C是的中点，弦AB、CD交于P，CD＝2cm，求∠APC的度数．
【点拨】作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，根据垂径定理得CH＝DH＝CD＝，在根据勾股定理计算出OH＝1，则利用含30度的直角三角形三边的关系得∠OCH＝30°，由于C是的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE中利用互余即可计算出∠APC的度数．
【解析】解：作OH⊥CD于H，连接OC交AB于E，如图，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝，
在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH＝，
∴OH＝＝1，
∴∠OCH＝30°，
∵C是的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，
∴∠CPE＝60°，
即∠APC的度数为60°．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB于D，求AD的长．
【点拨】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝＝＝25．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CM，且AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CM＝＝12，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即225＝AM2+144，
解得：AM＝9，
∴AD＝2AM＝18．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD＝BF．
【点拨】连接OA，交BF于点E，只要证明△OAD≌△OBE（AAS），推出AD＝BE，再根据垂径定理即可解决问题；
【解析】证明：连接OA，交BF于点E，
∵A是弧BF的中点，O为圆心，
∴OA⊥BF（垂径定理），
∴BE＝BF，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°，
在△OAD与△OBE中，
，
∴△OAD≌△OBE（AAS），
∴AD＝BE，
∴AD＝BF．
【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF＝2，EF＝4，求线段AC长．
【点拨】设OE＝x，根据勾股定理求出x，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD＝OF＝3，根据垂径定理得到答案．
【解析】解：设OE＝x，则OF＝x﹣2，
由勾股定理得，OE2＝OF2+EF2，即x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
∴OF＝3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，
∵OA＝OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，
∴AD＝OF＝3，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2AD＝6．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
能力提升练
15．如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3 B．3 C．4 D．6
【点拨】过A作AD⊥BC于D，连接AB，根据点B和点C的坐标求出BC，再根据垂径定理求出BD＝CD＝4，根据勾股定理求出AD即可．
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，连接AB，
∵半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），
∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，
∵AD⊥BC，AD过圆心A，
∴CD＝BD＝4，
由勾股定理得：AD＝＝＝3，
∴点A的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出BD＝CD＝4是解此题的关键．
16．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP＝4，则过点P的所有弦中，长度为整数的弦有 8 条．
【点拨】求出过P点的弦的长度的取值范围，取特殊解，根据对称性综合求解．
【解析】解：如图，AB是直径，OA＝5，OP＝4，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．
由垂径定理知，点P是CD的中点；
由勾股定理求得，PC＝＝＝3，CD＝2PC＝6，则
CD是过点P最短的弦，长为6；
AB是过P最长的弦，长为10．
所以过点P的弦的弦长可以是7，8，9各两条，总共有8条长度为整数的弦．
故答案为：8．
【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．注意在最短和最长的弦中的弦长为某一整数时有两条．
17．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝ 6 cm．
【点拨】过O作OW⊥CD，垂足为W，求出DW、EW，再根据垂径定理即可求出EF的长．
【解析】解：作OW⊥CD，交CD于点W，
则四边形OWDA，OWCB都是矩形，
∵GB＝8，
∴OG＝OB＝BG＝4cm，
∵AG＝1，
∴OA＝DW＝5，
∵DE＝2，
∴EW＝3，
∵OW⊥EF，
∴EW＝WF，
∴EF＝2EW＝6cm．
【点睛】本题利用了垂径定理和矩形的性质：矩形是轴对称图形求解．
18．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
【点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；
（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．
【解析】（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
【点睛】本题结合勾股定理和全等三角形的证明考查了垂径定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
19．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
【点拨】（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，根据勾股定理计算；
（2）分水位上升到圆心以下、水位上升到圆心以上两种情况，根据垂径定理、勾股定理计算即可．
【解析】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，
由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，
在Rt△OBC中，OC＝＝0.4
CD＝0.5﹣0.4＝0.1，
此时的水深为0.1米；
（2）当水位上升到圆心以下时 水面宽0.8 米
则OC＝＝0.3，
水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，
综上可得，水面上升的高度为 0.1米或 0.7米．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
20．（1）如图1，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC垂足为E，AE＝BC＝16，求⊙O的半径．
（2）在（1）的条件下，将线段AD沿射线EB方向平移，使得BE＝6，如图2所示，求AD的长．
【点拨】（1）连接OC，如图1，根据垂径定理得到BE＝CE＝8，设⊙O的半径为r，利用勾股定理得到（16﹣r）2+82＝r2，然后解方程即可；
（2）过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，如图2，利用垂径定理得到BN＝CN＝8，AM＝DM，再计算出EN＝2，利用四边形OMEN为矩形得到OM＝EN＝2，然后利用勾股定理计算出AM，从而得到AD的长．
【解析】解：（1）连接OC，如图1，
∵AD⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝8，
设⊙O的半径为r，则OE＝16﹣r，
在Rt△OEC中，（16﹣r）2+82＝r2，解得r＝10，
即⊙O的半径为10；
（2）过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，如图2，
则BN＝CN＝8，
∵BE＝6，
∴EN＝2，
∵AD⊥BC，OM⊥AD，ON⊥BC，
∴四边形OMEN为矩形，
∴OM＝EN＝2，
∵OM⊥AD，
∴AM＝DM，
在Rt△OAM中，AM＝＝4，
∴AD＝2AM＝8．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
21．已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24．
（Ⅰ）如图，求点O到AB的距离；
（Ⅱ）在⊙O中，弦MN的长为10，且MN∥AB，求MN与AB之间的距离．（直接写出结果即可）
【点拨】（I）如图1，作辅助线；首先求出BC的长度；直接运用勾股定理求出OC的长度，即可解决问题．
（II）分两种情况进行讨论：①弦AB和MN在圆心同侧；②弦AB和MN在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解析】解：（I）如图1，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C；
则AC＝BC＝12；
由勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2，而OB＝13，BC＝12，
∴OC＝5，
则点O到AB的距离是5；
（II）分两种情况进行讨论：
①当弦AB和MN在圆心同侧时，如图2，
∵AB＝24cm，MN＝10cm，
∴AE＝12cm，MF＝5cm，
∵OA＝OM＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图3，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，MF＝5cm，
∵OA＝OM＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF+OE＝12+5＝17cm；
∴AB与MN之间的距离为7cm或17cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
22.如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度．
【点拨】（1）利用垂径定理得到圆心O在BA的延长线上，CA＝DA＝1.6，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA＝（r﹣0.8）米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+（r﹣0.8）2＝r2，然后解方程即可；
（2）过G点作GE⊥AB于E点，如图，先证明四边形AHGE为矩形得到AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理计算出OE＝1.6米，然后计算AE的长，从而得到支撑杆HG的高度．
【解析】解：（1）∵AB垂直平分CD，
∴圆心O在BA的延长线上，
连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA＝（r﹣0.8）米，∵OB⊥CD，
∴CA＝DA＝CD＝×3.2＝1.6（米），
在Rt△OAC中，1.62+（r﹣0.8）2＝r2，
解得r＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过G点作GE⊥AB于E点，如图，
∵DH＝0.4米，
∴AH＝AD﹣DH＝1.2米，
∵∠GEA＝∠EAH＝∠GHA＝90°，
∴四边形AHGE为矩形，
∴AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，
在Rt△OEG中，OE＝＝＝1.6（米），
∵OA＝OB﹣AB＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴AE＝OE﹣OA＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
∴GH＝0.4米．
即支撑杆HG的高度为0.4米．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用：运用垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
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23．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．3
【点拨】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，根据垂径定理可计算出AE、CE，根据勾股定理可表示出OA、OC，进而计算出CD．
【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA、OD，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝6，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝3，
∴CE＝3﹣2＝1，
设OE＝x，
在Rt△OAE中，OA2＝x2+9，
在Rt△OCE中，OC2＝x2+1，
∵CD⊥OC，
∴CD2＝OD2﹣OC2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，
∴CD＝（舍负）．
故选C．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，解题关键是熟知垂径定理．
24．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若AC＝2，BC＝4，大圆的半径R＝5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）
【点拨】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC、OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
（3）连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE＝BE．由勾股定理可得：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2＝（AE+CE）（AE﹣CE）＝BC AC＝12，则可求得圆环的面积．
【解析】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接OC、OA，如图2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝2+4＝6，
∴AE＝3，
∴CE＝AE﹣AC＝3﹣2＝1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2＝OA2﹣AE2＝52﹣32＝16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2＝CE2+OE2＝12+16＝17，
∴OC＝，即小圆的半径r为；
（3）解：连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE＝BE．
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2＝（AE+CE）（AE﹣CE）＝（BE+CE） AC＝BC AC＝12，
∴OA2﹣OC2＝12，
∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝12π．
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
25．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．
（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【点拨】（1）首先利用待定系数法求函数解析式再根据题意得出y＝3时，求出x的值即可；
（2）首先构造直角三角形利用BW2＝BC2+CW2，再在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，求出即可．
【解析】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，
∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），
∴，
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，
∵要使高为3米的船通过，
∴y＝3，则3＝﹣x2+4，
解得：x＝±5，
∴EF＝10米；
（2）设圆半径r米，圆心为W，
∵BW2＝BC2+CW2，
∴r2＝（r﹣4）2+102，
解得：r＝14.5；
在Rt△WGF中，由题可知，WF＝14.5，WG＝14.5﹣1＝13.5，
根据勾股定理知：GF2＝WF2﹣WG2，
即GF2＝14.52﹣13.52＝28，
所以GF＝2，
此时宽度EF＝4米．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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