德城区第五中学2023-2024学年九上第一次月考
数学试题
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下列函数中不属于二次函数的是( )
A.y=5x2 B.y=(x+1)2 C.y=2(x+2)2-2x2 D.y=1-x2
2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
3.若m是一元二次方程x2-x-2=0的一个根,则代数式2m2-2m的值为( )
A.0 B.2 C.-2 D.4
4.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>-5且k≠1 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k<5
5.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是( )
A.(1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(-1,2)
6.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12 B.9 C.13 D.12或9
7.已知N=6m-25,M=m2-2m(m为任意实数),则M,N的大小关系是( )
A.M<N B.M>N C.M=N D.不能确定
8.已知(x2+y2+1)(x2+y2-3)=5,则x2+y2的值是( )
A.0 B.4 C.4或-2 D.-2
9.已知点A(0,y1),B(-1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+2)2+k上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2
10.五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大矩形,大矩形的面积是135cm2,则小矩形的宽为( )cm.
A.3 B.3 C.3+ D.
11.函数y=ax-a和y=ax2+2(a为常数,且a≠0),在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
12.如图,抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1,3),过点A做x轴的平行线,分别交两条抛物线于B、C两点,且D、E分别为顶点,则下列结论:
①a=;②AC=AE;
③△ABD是等腰直角三角形;
④当x>1时,y1>y2.其中正确的结论是( )
A.①③④ B.①③④ C.①②④ D.②
二、填空题(共6小题,共24分)
13.把方程2(x-2)2=x(x-1)化为一元二次方程的一般形式为____________;
14.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛30场,共有_______队参加比赛;
15.若关于x的二次方程x2-3x+n=0的两根x1和x2,满足x1+x2-2=x1·x2,则n的值是_______;
16.已知点P(x,y)在二次函数y=(2x+1)2-3的图象上,当-2<x≤1时,y的取值范围是____________;
17.已知m,n是一元二次方程x2+2x-6=0的两根,则2m2+mn+4m的值为__________;
18.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数),当a取不同的值时,其图像构成一个“抛物线系”,如图分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象,它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是______.
三、解答题:(共7道大题,共78分)
19.(8分)解方程:
(1)x(x-2)+x-2=0 (2)2x2-x-1=0
20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解.
21.(10分)今年超市以每件25元的进价购进一批商品,当商品售价为40元时,三月份销售256件,四、五月该商品十分畅销,销售量持续上涨,在售价不变的基础上,五月份的销售量达到400件.
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率;
(2)经市场预测,六月份的销售量将与五月份持平,现商场为了减少库存,采用降价促销方式,经调查发现,该商品每降价1元,月销量增加5件,当商品降价多少元时,商场六月份可获利4250元?
22.(12分)如图,一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1,m)和B(-2,4),与y轴交于点C.
(1)求k、b、a的值;
(2)求△AOB的面积.
23.(12分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动.与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.点P、Q分别从点A,B同时出发,当点Q移动到点C时,两点停止移动.设移动时间为t s.(t>0)
(1)填空:BQ=____________cm,PB=____________cm(用含t的代数式表示).
(2)当t为何值时,PQ的长为5cm?
(3)是否存在t的值,使得△PBQ的面积为4cm2?若存在请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
24.(12分)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与x轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是对称轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当PC+PB的值最小时,求点P的坐标.
25.(14分)如图,已知抛物线y=-(x-3)2+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C.
(1)求出A、B两点的坐标;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点坐标;若不存在,请说明理由.
德城区第五中学2023-2024学年九上第一次月考
数学试题(参考答案)
一、选择题(48分)
1-6:CBDBAA 7-12:BBBACB
二、填空题(24分)
13.x2-7x+8=0 14.6 15.1;
16.-3≤y≤5 17.6 18.y=x-1.
三、解答题(78分)
19.(8分)解方程:
(1)x(x-2)+x-2=0
解:(x-2)(x-1)=0
x1=2,x2=1
(2)2x2-x-1=0
解:(2x+1)(x-1)=0
x1=,x2=1
20.解:(1)=b2-4ac
=(m+2)2-4(2m-1)
=m2+4m+4-8m+4
=m2-4m+8
=(m-2)2+4
∵(m-2)2≥0,∴(m-2)2+4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两根互为相反数,则-(m+2)=0,m=-2,
当m=-2是,原方程为x2-5=0,解得x1=,x2=.
21.(10分)解:
(1)设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为x,
根据题意得:256(1+x)2=400
解得:x1=0.25或x2=-2.25(不符合题意,舍去),
∴x=0.25=25%
答:四五这两个月的月平均增长百分率为25%;
(2)解:设商品降价m元,则每件获利(40-m-25)元,月销售量为(400+5m)件,
根据题意得:(40-m-25)(400+5m)=4250
整理得:m2+65m-350=0.解得:m1=5或m2=-70(不符合题意舍去),
答:当商品降价5元时,商场六月份可获利4250元.
22.(12分)解:(1)把点B(-2,4)的坐标代y=ax中,得4=4a,a=1,
∴二次函数是y=x2.把点A(1,m)的坐标代y=x2中得m=1,∴A(1,1),
把A(1,1)和B(-2,4)坐标分别代入y=kx+b得,解得,
∴a=1,k=-1,b=2.
(2)由(1)知y=-x+2,当x=0时,y=2,∴C(0,2),∴OC=2,
∴S△AOB=S△OCA+S△OCB
=OC·1+OC·|-2|
=×2×3
=3
23.(12分)
解:(1)由题意得:BQ=2t,PB=5-t
(2)在Rt△PBQ中,由勾股定理得:
4t2+(5-t)2=25,解得:
t1=0,t2=2,
∴当t=0或2时,PQ=5;
(3)由题意得=4,解得:t1=1,t2=4(不合题意,舍去)
24.(12分)解:
(1)∵抛物线的顶点为A(1,4),
∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4.
将B(0,3)代入解析式得:3=a(x-1)2+4,解得a=-1,
∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+4
(2)y=-(x-1)2+4中,令y=0,得x1=3,x2=-1,
∴D(3,0),C(-1,0).
由抛物线对称性可知,点C与点D关于抛物线对称轴直线x=1对称,∴PC=PD
∴连接BD交直线x=1于点P,此时PC+PB的值最小,
设直线BD解析式为y=kx+b,将B(0,3)和D(3,0)坐标分别代入y=kx+b
得,解得,∴y=-x+3,当x=1时,y=2,所以P(1,2).
25.(14分)解:
(1)令y=0,则-(x-3)2+=0,解得:x1=-2,x2=8,∴A(-2,0),B(8,0);
(2)当x=0时,y=-×9+=4,∴C(0,4),设直线BC解析式为y=kx+b,
将B(8,0)和C(0,4)坐标分别代入y=kx+b得,解得,
∴线段BC所在直线的解析式为y=-x+4;
(3)存在
理由:∵抛物线的对称轴为直线x=3,设点Q(3,t),
∵A(-2,0),C(0,4),∴AC2=22+42=20,AQ2=52+t2,CQ2=(t-4)2+32,
①当AQ=CQ时,有52+t2=(t-4)2+32,25+t2=t2-8t+16+9,解得t=0;∴Q1(3,0);
②当AC=AQ时,有20=52+t2,t2=-5,此方程无实数根,∴此时△ACQ不能构成等腰三角形;
③当AC=CQ时,有20=(t-4)2+32,整理得t2-8t+5=0,解得t=4±,
∴点Q坐标为:Q2(3,4+),Q3(3,4-).
综上所述,存在点Q使△ACQ为等腰三角形,
点Q的坐标为Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).