江西省名校联盟2023-2024学年高一上学期10月质量检测
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版必修第一册第一章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.若实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知图中是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
5.设集合，若，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7.若都是正数，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.6 C. D.
8.已知为的必要条件，为的充分条件，为的必要条件，为的必要条件.若增加条件使得中的任意一个均为的必要条件，则这个条件可以为（ ）
A.为的必要条件 B.为的必要条件
C.为的充分条件 D.为的必要条件
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ）
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.实数都可以写成小数形式
D.一定存在没有最大值的二次函数
10.已知或，若是的充分不必要条件，则的取值可以是（ ）
A.-3 B.-5 C.2 D.1
11.二次函数的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
12.对任意集合，记且，则称为集合的对称差.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A.若且，则
B.若且，则
C.存在，使得
D.若且，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则与的大小关系为__________.
14.满足条件 的集合的个数是__________.
15.新学期开始，南京金陵中学高一年级先后举办了多个学科的课余活动.已知南大班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，15名同学同时参加了数学 物理两个学科的活动，则这个班中数学和物理活动都没有参加的同学人数是__________.
16.设，且，则的最小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合.求：
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）
已知命题，命题为真命题时实数的取值集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的真子集，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
20.（本小题满分12分）
已知集合.
（1）若，均有，求实数的取值范围；
（2）若 ，设，求证：是成立的必要条件.
21.（本小题满分12分）
为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
22.（本小题满分12分）
已知不等式，其中.
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
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数学
参考答案 提示及评分细则
1.A 因为集合，所以.故选A.
2.B “”的否定为“”.故选B.
3.C 对于A，因为，所以，故A错误；对于，因为，当时，，故B错误；对于，因为，所以，所以，即，即，故C正确；对于D，若，显然有，故D错误.故选C.
4.D 由Venn图知，阴影部分的元素既不属于集合，也不属于集合，所以阴影部分表示的集合是.故选D.
5.C 由，得或.当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，，则或1，由上知不合适，故，则.故选C.
6.D 由不等式的解集为，知是方程的两实数根，由根与系数的关系，得解得，所以不等式可化为，解得或，故不等式的解集为.故选D.
7.C 若都是正数，且，当且仅当时等号成立.故选C.
8.B 因为为的必要条件，为的充分条件，为的必要条件，为的必要条件，所以，即.对于，若为的必要条件，即，则，易得不是的必要条件，故错误；对于，若为的必要条件，即，则，所以互为充要条件，则中的任意一个均为的必要条件，故B正确；对于，若为的充分条件，即，则，易得不是的必要条件，故错误；对于，若为的必要条件，即，则且，易得不是的必要条件，故D错误.故选B.
9.AC A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；B选项中，所有的自然数都是整数，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题.故选AC.
10.AB 或是的充分不必要条件，故，对比选项知满足条件.故选.
11.BCD 由题意得，对称轴，则，当时，，故A错误；当时，，则，故B正确；当时，，则，故C正确；设一元二次方程的两根分别为，由图象可知，整理可得，故D正确.故选BCD.
12.ABC 对于，因为，所以且，即与是相同的，所以，即是真命题；对于，因为，所以且，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即是真命题；对于时，是真命题；对于，因为，所以且，所以，即是假命题.故选.
13. 因为，所以，故.
14.7 因为集合 ，所以集合可以是，，共7个.
15.9 以集合分别表示该班参加数学 物理活动的同学组成的集合，表示这个班所有的同学构成的集合，如图所示，由图可知，这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为.
16. 因为，所以，所以，当且仅当时取等号.
17.解：（1）因为，
所以.
（2）因为全集，
所以或或，
因此，或.
18.解：（1）由命题为真命题，得方程有解，即，得，
.
（2）是的真子集，
解得，经检验，当或1时， ，即实数的取值范围是.
19.解：（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25.
20.（1）解：.
因为，均有，所以.
当时，，满足题意；
当时，由或，解得或，所以.
综上，或，即的取值范围是（.
（2）证明：若为真命题，则为假命题.
先求为真命题时的范围，
因为 ，所以，即.由，得.
则，且，解得或，所以.
因为为假命题，所以.
综上，若 ，则是成立的必要条件.
21.解：（1）设阴影部分直角三角形的高为，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知，
海报纸的周长为.
故海报纸的周长为.
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，.
故选择长 宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.
22.解：（1）若，则不等式变形为，
即，
解得，
故不等式的解集为.
（2）不等式对恒成立.
当时，，即；
当时，恒成立.
（当且仅当即时，等号成立）
；
当时，恒成立.
（当且仅当，即时，等号成立），
.
综上，的取值范围为.
