长沙市雅礼教育集团2024届高三上学期月考(二)
数学
得分：___________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则
A. B. C. D.
2.全集，集合，，则阴影部分表示的集合是
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致是
A. B.
C. D.
4.在边长为3的正方形中，点满足，则
A.4 B.3 C. D.
5.某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）
A.3045.6g B.1565.1g C.972.9g D.296.1g
6.已知数列为等比数列，其前项和为，，则“公比”是“对于任意，”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若存在实数，对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，，且在上递增，则的解集为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于实数，，，下列选项正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则， D.若，，则
10.已知函数，则下列说法正确的是
A.
B.函数的最小正周期为
C.函数的对称轴方程为
D.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
11.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是
A.若，则是数列的最大项
B.若数列有最小项，则
C.若数列是递减数列，则对任意的，均有
D.若对任意的，均有，则数列是递增数列
12.如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），则下列说法正确的是
A.四面体的体积为定值
B.当，分别为棱，的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行
C.直线与平面所成角的正切值的最小值为
D.当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为五边形
答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答案
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数的图象在处的切线斜率为3，则__________.
14.在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，点，在圆上，若射线平分，，则点的坐标为__________.
15.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________.
16.已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
18.（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，的内切圆半径为，求的周长.
19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，，且平面.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，求四边形面积的最大值.
21.（本小题满分12分）如图所示，是圆锥的一部分，是底面圆的圆心，，是弧上一动点（不与、重合），满足，是的中点，.
（1）若平面，求的值；
（2）若四棱锥的体积大于，求三棱锥体积的取值范围.
22.（本小题满分12分）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性.假设一组样本有个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为.目前，我们采用人混管病毒检测，定义成本函数，这里指该组样本个人中患病毒的人数.
（1）证明：；
（2）若，.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
长沙市雅礼教育集团2024届高三上学期月考(二)
数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D B C A B D ABD AB BD ACD
1.C 【解析】.故选：C.
2.C 【解析】韦恩图的阴影部分表示的集合为，而全集，集合，，所以，故选：C.
3.D 【解析】易知的定义域为，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；又，排除选项C.故选：D.
4.B 【解析】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，且边长为3，所以，，，，所以，，所以.故选：B.
5.C 【解析】设半球的半径为，因为，所以，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以，
所以该实心模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为.故选：C.
6.A 【解析】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故充分性成立；若，且，则，
所以由“对于任意，”，推不出“”，故必要性不成立；
所以“公比”是“对于任意，”的充分不必要条件.故选：A.
7.B 【解析】在同一坐标系中，作出和的图象，
当时，要使不等式恒成立，只有，
当时，在上，必须要求和的图象不在的同一侧.
∴由图可知的最大值是.故选：B.
8.D 【解析】函数，满足，则关于直线对称，
所以，即，又在上递增，所以在上递减，则可得函数的大致图象，如下图：
所以由不等式可得，或，解得或，
故不等式的解集为.故选：D.
9.ABD 【解析】对选项A，因为，所以，，所以，故A正确；对选项B，，，所以，因为，所以，即，故B正确；对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误；对选项D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD.
10.AB 【解析】，所以A正确；
对于B，函数的最小正周期为，所以B正确；
对于C，由，，得，，所以函数的对称轴方程为，，所以C不正确；
对于D，的图象向右平移个单位长度，得，所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，所以D不正确.故选：AB.
11.BD 【解析】取数列为首项为4，公差为的等差数列，，故A错误；
等差数列中，公差，，是关于的二次函数，当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B正确；取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，故C错误；
若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有.故若对任意，均有，有数列是递增数列，故D正确.故选：BD.
12.ACD 【解析】，在棱，上运动时，到距离始终为2，到平面的距离始终为2，所以恒为定值，故A正确；
在正方体中，棱可分为三类，分别是与，，平行的棱，又，，不与平面平行，所以在正方体中，不存在棱与平面平行，故B错误；
设正方体棱长为2，如图1，过作于，则平面，所以与平面所成角即为，所以；又长度的最大值为，所以与平面所成角的正切值的最小值为，故C正确；
如图2，取中点，连接，则，过作的平行线交于点，此时，所以，即为过，，三点的平面与平面的交线，连接，在上取点，使得，则，再过点作的平行线交于点，此时，则，即为过，，三点的平面与平面的交线；连接，则可得五边形即为正方体中过，，三点的截面，故D正确.故选：ABD.
三、填空题
13. 【解析】因为，所以.又函数的图象在处的切线斜率为3，则，所以.故答案为：.
14. 【解析】由题意可知圆的半径为，设，由题意可知，，则点的横坐标为，点的纵坐标为.故答案为：.
15. 【解析】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，
即，②
联立①②可得，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故答案为：.
16. 【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，则，，所以即为二面角的平面角，所以，
设，即，在中，，
即，解得，即，所以，
所以与是边长为的等边三角形.
记与的重心分别为，，则，，即，
因为与都是边长为的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心，
记该几何体的外接球球心为，连接，，
根据球的性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，所以与全等，因此，所以，
因为，，，且平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
连接，则外接球半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
四、解答题
17.【解析】（1）依题意可得，当时，，，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又数列为正项数列，
故可得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
（2）证明：由（1）可知，所以，
，所以成立.
18.【解析】（1）因为，
由正弦定理可得①，
因为，所以，
代入①式整理得，
又因为，，，则，所以，
又因为，解得.
（2）由（1）知，，因为内切圆半径为，
所以，即，
所以②，
由余弦定理，得，所以③，
联立②③，得，解得，
所以的周长为.
19.【解析】（1）因为平面，平面，所以，
因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，所以.
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，，所以，
设二面角的大小为，因为，
所以，所以二面角的正弦值为.
20.【解析】（1）因为为椭圆上一点，所以.
又因为，，可得，即，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，所以直线的方程为，
联立，整理得，
解得，，则.
设点，到直线的距离为和，则，.
因为直线与椭圆相交于，两点，
联立，整理得，解得，.
则.
设四边形面积为，
则.
设，则，
所以，当，即，即时，四边形面积有最大值.
21.【解析】（1）取的中点，连接.
因为为的中点，则，
所以平面，平面，则平面.
由题设，当平面时，
因为，所以平面平面，
因为平面，则平面.
因为平面，平面平面，
则，所以，，
在中，由正弦定理可得，故.
（2）四棱锥的体积，其中表示四边形的面积，
则，
所以，可得，
因为，则，故，解得.
设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由于是的中点，则.
22.【解析】（1）由题意可得满足二项分布，，
由，知，当且仅当时取等号.
（2）记，
（混管中恰有例阳性），，
令，，则，
当时，，为单调递减，
当时，，为单调递增，所以，
且，，
所以当，，即，两边取自然对数可得，
所以当，时，
所以，
则.
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
