浙教版2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟卷（3）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
是轴对称图形，故本选项正确．；
故选D．
2．如图，E，F是BD上的两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AD∥BC C．AE＝CF D．AD＝BC
【答案】D
【解析】∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
∵∠AEF=∠CFE，
A、添加∠B=∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意；
B、添加AD∥BC，得出∠B=∠D，利用ASA能判定△AED≌△CFB，不符合题意；
C、添加AE=CF，利用SAS能判定△AED≌△CFB，不符合题意；
D、添加AD=BC，不能判定△AED≌△CFB，符合题意；
故答案为：D.
3．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．65°
C．80° D．50° 或65°
【答案】D
【解析】分两种情况：①当底角为50°时，则底角为50°，②当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为65°，所以底角为50°或65°，故答案为：D。
4．若实数m、n满足等式|m﹣2|+ =0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．8或10 D．10
【答案】D
【解析】∵|m-2|+ =0，
∴m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．
故答案为：D．
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．三角形的外角等于两个内角的和
C．相等的角是对顶角
D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【解析】两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；
三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故B不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故C不符合题意；
全等三角形的对应角相等，是真命题，故D符合题意；
故答案为：D
6．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a+b=21，c=15，则△ABC的面积是（ ）
A．25 B．54 C．63 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵a+b=21，c=15， ∴（a+b）2=441，即a2+b2+2ab=441，
又∵a2+b2=c2=225，
∴2ab=216，∴ ab=54，
即S△ABC=54．
故选B．
7．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
【答案】C
【解析】由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，
故答案为：C．
8．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，∠A=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°，
∴∠CFD=90°-60°=30°，
∴∠AFD=150°，
又由折叠性质知：∠AFE=∠DFE，∠AEF=∠DEF，
∴∠AFE=∠DFE=75°，
∴∠AEF=180°-60°-75°=45°。
故答案为：C。
9．如图，已知 是等腰直角三角形， ， ，将 沿直线 平移到 的位置，当 恰好是 中点时，则AE的长（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接 由平移的性质可得：
为 的中点，
故答案为：A
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AB和BD的长，结合平移的性质得到EB=DB=1，EB⊥DF，继而根据勾股定理求出答案即可。
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y= B．y= C．y= x2 D．y=
【答案】C
【解析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2
= x2．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．用不等式表示“与的和是正数”： ．
【答案】
【解析】与5的和是正数用不等式表示为：+5＞0，
故答案为：．
12．三角形三边长都是整数，有两边长是5和1，则这个三角形的周长是
【答案】11
【解析】∵三角形的两边的长为5和1，
∴第三边的取值范围是4＜x＜6，
∵三角形的三边长都是整数，
∴第三边的长为5，
∴周长为：5+5+1=11，
故答案为：11.
13．一个等腰三角形一边长为 ，另一边长为 ，则这个等腰三角形的周长是
【答案】15或者18
【解析】当4cm为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是4cm，4cm，7cm符合三角形的三边关系，
∴周长为:4+4+7=15cm；
当7cm为等腰三角形的腰时，
三边分别是，7cm，7cm，4cm，符合三角形的三边关系，
∴周长为：7+7+4=18cm，
故答案为：15或18.
14．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ．
【答案】②③
【解析】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；②直角三角形的三边有a+b>c(a，b，c中c最大)，而在，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有+>成立，即(+)2>（ ）2，即a+b+2>c(由a+b>c)，则不等式成立，从而满足两边之和大于第三边，则以，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b，c+h，h这三个数中 c+h一定最大，(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h)2=c2+h2+2ch，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴(a+b)2+h2=(c+h)2，根据勾股定理的逆定理即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设a= 3，b=4，c=5，则，的长为，以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误．
15．已知m、n是整数，如果关于x的不等式组 仅有三个整数解：﹣1，0，1，则mn的值为 ．
【答案】-4，-6，-9
【解析】解不等式组，得 ，
由已知条件可知， 且 ，
解得 且 ，
∵m、n是整数，
∴ 且 ，
所以mn＝－4，－6，－9．
故答案为：-4，-6，-9
16．如图所示，在 中， ， ，中线 ，则 长为 ．
【答案】
【解析】延长 至 ，使 ，连接 ，
是 的中线，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
在 中， ，
，
故答案为： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
18．如图，已知，，，与交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
≌
（2）解：，，
，
由知≌，
．
，
．
19．如图， 是等腰三角形， ， ，过点B作 于点C，在 上截取 ，连接 、 并延长 交 于点P
（1）求证： ；
（2）试说明 平分 ．
【答案】（1）证明：∵BC⊥AE，∠BAE=45°，
∴∠CBA=∠CAB，
∴BC=CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE．
（2）解：∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠BDP=∠ADC，
∴∠BPD=∠DCA=90°，
∵AB=AE，
∴AD平分∠BAE．
20．海华商店为庆祝开业要购入一批花篮，若购入2个A型花篮和1个B型花篮需要680元；若购入1个A型花篮和3个B型花篮需要840元．
（1）求每个A型花篮和每个B型花篮各需多少元；
（2）该商店计划购入两种花篮共20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型花篮多少个？
【答案】（1）解：设每个A型花篮x元，每个B型花篮y元，由题意可得：
，解得：，
∴每个A型花篮240元，每个B型花篮200元，
答：每个A型花篮240元，每个B型花篮200元．
（2）解：设至少购进B型花篮a个，则购进A型花篮个，由题意得：
，
解得：，
∴a的最小值为：10，
答：至少购进B型花篮10个．
21．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）解：∵t＝3秒，
∴BP＝CQ＝1×3＝3（厘米），
∵AB＝10厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝5厘米．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8厘米，
∴PC＝8﹣3＝5（厘米），
∴PC＝BD．
∵AB＝AC，所以∠B＝∠C，
∴△BPD≌△CQP（SAS）
（2）解：∵点Q与点P的运动速度不相等，所以BP≠CQ，
当△BPD≌△CPQ时，因为∠B＝∠C，AB＝10厘米，BC＝8厘米，
∴BP＝PC＝4厘米，CQ＝BD＝5厘米，
∴点P，点Q运动的时间为4秒，
∴VQ＝ 厘米/秒，即当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
22．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”.
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， 和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图， 中， ， ， 为 的中线，若 是平方倍三角形，求 的面积.
【答案】（1）解：此三角形是平方倍三角形，理由如下：
∵ ，满足是平方倍三角形的定义，
∴三边长分别是 ， 和2的三角形是平方倍三角形；
（2）解：在Rt ABC中，如图所示，则 ①，
∵Rt ABC是平方倍三角形，
∴②，
把①代入②得： ，即：a=b，
把a=b代入①得：c= ，
∴该直角三角形的三边之比=1：1： ；
（3）解：∵ 中， ， 为 的中线，
∴CD= AB=AD=BD，
设CD= AB=AD=BD=x，则AB=2x，
∵AB＞BC，
∴2x＞5，即：x＞ ，
∵ 是平方倍三角形，
①当 ，则 ，解得： ，
∴AB=2x= ，AC= ，
∴ 的面积= ，
②当 ，则 ，解得： ，
∴AB=2x= ，AC= ，
∴ 的面积= ，
综上所述， 的面积为 或 .
23．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．
（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
【答案】（1）解：①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，
∵AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
②成立，理由如下：如图2：
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，
∵AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°
∴CF⊥BD
（2）解：如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∴∠CAE=90°
∴∠EAD+∠CAD=90°，∠ECA+∠CEA=90°
∵△ADF是等腰直角三角形
∴AF=AD，∠FAD=90°，
∴∠CAF+∠CAD=90°，
∵∠EAD+∠CAD=90°
∴∠CAF=∠EAD，
∵CF⊥BD
∴∠FCA+∠ACE=90°而∠ECA+∠CEA=90°
∴∠ACF=∠CEA
在△ACF和△AED中，
∵∠ACF=∠DEA，∠CAF=∠EAD，AF=AD，
∴△ACF≌△AED(AAS)，
∴AC=AE，而∠CAE=90°
∴∠BCA=45°.
24．已知：在 中， ，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 .
（1）如图1，若 ， ， ，求线段 的长度；
（2）如图2，若 ，点 是线段 延长线上一点，连接 与 交于点 ，且 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为 的中点，过点 作 交 于点 ，连接 ，若 ，请直接写出线段 、 、 的关系.
【答案】（1）解：∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+CE2=17，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2=9+17=26，
∴AB=
（2）解：如图2，过点B作BN⊥CE于N，
∵BN⊥CE，EF⊥CE，
∴∠BNC=∠CEA=90°=∠ACB，
∴∠BCN+∠CBN=90°=∠BCN+∠ACE，
∴∠CBN=∠ACE，
又∵AC=BC，
∴△BCN≌△CAE（AAS），
∴CN=AE，BN=CE，
∵AC=BC，∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠DAE+∠ACE+∠BAC+∠E=180°，
∴∠DAE+∠ACE=45°，
又∵∠DAE=∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE=45°，
∴∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，
∴EF=EC，
又∵CN=AE，BN=CE，
∴EF=EC=BN，NE=AF，
∵∠BNG=∠E=90°，∠BGN=∠FGE，EF=BN，
∴△BGN≌△FGE（AAS），
∴GN=GE，
∴AF=2GE
（3）解： ，
理由如下：如图3，连接CH，
∵点M为CE的中点，HM⊥CE，
∴CH=HE，
∴∠HEC=∠HCE，
∵∠HEC+2∠ACE=90°，
∴∠HCE+2∠ACE=90°，
又∵∠HCE+∠BCH+∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠BCH=∠ACE，
∴∠BCH+∠B=∠ACE+∠CAB，
∴∠CHD=∠CDH，
∴CH=CD，
∴HE=CD=CH，
∵CE=CD+DE=HE+DE， ，
∴ .
()
浙教版2023-2024学年八年级上学期期中数学模拟卷（3）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，E，F是BD上的两点，BE＝DF，∠AEF＝∠CFE，添加下列一个条件后，仍无法判定△AED≌△CFB的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AD∥BC C．AE＝CF D．AD＝BC
（第2题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
3．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．50° 或65°
4．若实数m、n满足等式|m﹣2|+ =0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．8 C．8或10 D．10
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．三角形的外角等于两个内角的和
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的对应角相等
6．在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a+b=21，c=15，则△ABC的面积是（ ）
A．25 B．54 C．63 D．无法确定
7．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
8．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 是等腰直角三角形， ， ，将 沿直线 平移到 的位置，当 恰好是 中点时，则AE的长（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y= B．y= C．y= x2 D．y=
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．用不等式表示“与的和是正数”： ．
12．三角形三边长都是整数，有两边长是5和1，则这个三角形的周长是
13．一个等腰三角形一边长为 ，另一边长为 ，则这个等腰三角形的周长是
14．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ．
15．已知m、n是整数，如果关于x的不等式组 仅有三个整数解：﹣1，0，1，则mn的值为 ．
16．如图所示，在 中， ， ，中线 ，则 长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：（1）； （2）．
18．如图，已知，，，与交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
19．如图， 是等腰三角形， ， ，过点B作 于点C，在 上截取 ，连接 、 并延长 交 于点P
（1）求证： ；
（2）试说明 平分 ．
20．海华商店为庆祝开业要购入一批花篮，若购入2个A型花篮和1个B型花篮需要680元；若购入1个A型花篮和3个B型花篮需要840元．
（1）求每个A型花篮和每个B型花篮各需多少元；
（2）该商店计划购入两种花篮共20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型花篮多少个？
21．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
22．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”.
（1）若一个三角形的三边长分别是 ， 和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；
（3）如图， 中， ， ， 为 的中线，若 是平方倍三角形，求 的面积.
23．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．
（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
24．已知：在 中， ，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 .
（1）如图1，若 ， ， ，求线段 的长度；
（2）如图2，若 ，点 是线段 延长线上一点，连接 与 交于点 ，且 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为 的中点，过点 作 交 于点 ，连接 ，若 ，请直接写出线段 、 、 的关系.
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